ELEMENTI DI GEOMETRIA SOLIDA Postulati: 1 ... - Ivan Cervesato

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Un prisma retto si dice inscritto in (circoscritto a) un cilindro quando le sue basi sono inscritte nelle (circoscritte alle) basi del cilindro (fig. 7). Un prisma regolare risulta sempre inscrittibile e circoscrittibile ad un cilindro. Cono: solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un cateto, che costituisce l’altezza del cono. L’ipotenusa genera la superficie laterale e rappresenta l’apotema del cono; l’altro cateto è il raggio del cono e genera la superficie di base. Un cono si dice equilatero se l’apotema è congruente al diametro di base. Fig. 7. Una piramide retta si dice inscritta in (circoscritta a) un cono se il suo vertice è il vertice del cono e la sua base è inscritta nella (circoscritta alla) base. Tronco di cono: solido generato dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo T attorno alla sua altezza; il lato obliquo di T genera la superficie laterale del tronco, ed è detto apotema o lato del tronco. Sfera (si vedano le illustrazioni riportate più oltre nel Formulario): solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro; la superficie generata dalla rotazione completa di una semicirconferenza attorno al diametro è detta superficie sferica. Zona sferica: parte di superficie sferica compresa tra due piani paralleli che taglino la superficie. Calotta: ciascuna parte in cui la superficie sferica resta suddivisa da un piano secante. Segmento sferico a due basi: parte di sfera individuata da due piani secanti paralleli. Segmento sferico a una base: ciascuna delle parti solide in cui una sfera è divisa da un piano secante. Settore sferico: parte di sfera generata dalla rotazione di un settore circolare attorno a un diametro che giace nel piano del settore ma non lo attraversa. Fuso sferico: parte di superficie sferica delimitata da due semipiani diametrali. Spicchio sferico: parte di sfera limitata da un fuso e dai due semicerchi massimi corrispondenti ai lati del fuso. Principio di Cavalieri (condizione sufficiente ma non necessaria per l’equivalenza dei solidi): se due solidi si possono disporre rispetto a un dato piano α in modo che le sezioni fatte nei due solidi con un piano qualunque parallelo ad α siano equivalenti, allora essi sono equivalenti. Volume della sfera Data una sfera di centro O, si consideri il cilindro equilatero ad essa circoscritto ed i due coni aventi vertice in O e le basi coincidenti con quelle del cilindro. Il solido che si ottiene dal cilindro togliendo i due coni è detto anticlessidra. Teorema 8: la sfera è equivalente all’anticlessidra. Fig. 8a. Fig. 8b. 4
Dim.: consideriamo due sezioni del cilindro equilatero in cui è inscritta una sfera. Sia x=OC la distanza del piano α che seca la sfera ed il cilindro, parallelamente alle basi di questo. Allora l’area 2 2 2 del cerchio di centro C e raggio CD è A1 = π CD = π ( R − x ) , dove R è il raggio della sfera (uguale al raggio del cilindro circoscritto). Inoltre risulta R = OF = GF, quindi x = OA = BA (in quanto 2 OGF è simile ad OAB); l’area del cerchio di centro A e raggio AB = x è quindi A 2 = π x ; l’area 2 del cerchio di centro A e raggio AE = R è banalmente A 3 = π R , quindi per ogni x risulta A1 = A 3 − A 2 . In base al principio di Cavalieri, la sfera risulta quindi equivalente all’anticlessidra, il cui volume si ottiene semplicemente sottraendo dal volume del cilindro il volume dei due coni: 1 4 V R 3 3 3 3 3 sf = Vcil − 2Vcono = 2π R − 2 π R = π . FORMULARIO Legenda: A L = area laterale; A B = area di base; A T = area totale; P B = perimetro di base; h = altezza; V = volume. Parallelepipedo rettangolo A = 2 a + b c d = diagonale Prisma retto Piramide retta A L T V = abc d = = A a ( ) 2 L + + b A L = PBh A T = A L + 2A V = A h B A L = PBa/2 A T = A L + A V = A h/3 B 2ab B a = apotema 2 B + c 2 5
Page 1 and 2: PROF. IVAN CERVESATO - L.S. EINSTEI
Page 3: Piramide: parte di angoloide delimi
Page 7: Sfera A = 4πR 2 4 V = πR 3 Calott

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