Matematica e architettura - Alexis Carrel

Curve in matematica
E’ relativamente facile disegnare una curva: gli artisti lo fanno continuamente e gli architetti
le usano per progettare quegli edifici che vogliono seguire delle forme sinuose. Le curve
però non sono solo un elemento estetico. Esse hanno proprietà che le rendono spesso
essenziali per la riuscita di un progetto.
Ma alla domanda su che cosa sia una curva tuttavia non è facile rispondere.
I Greci avevano chiamato curve piane quelle che
potevano essere costruite con riga e compasso, curve
solide le sezioni coniche e curve lineari tutte le altre,
quali la concoide, la spirale, la squadratrice e la
cissoide. Le curve lineari venivano chiamate dai
Greci anche meccaniche perché era necessario un
qualche speciale meccanismo per costruirle.
Cartesio con l’introduzione della geometria analitica
elimina la costruibilità con riga e compasso di una
curva come criterio di esistenza e afferma che sono
curve geometriche quelle che possono essere espresse
da un’unica equazione algebrica.
Nella geometria analitica una curva può essere descritta mediante:
Ampliando il concetto di curve ammissibili, Cartesio
compì•un equazione passo fondamentale: cartesiana: è un’equazione non soltantoche ridiede lega tra loro le coordinate x e y del generico punto della
cittadinanza curva. a curve Se l’equazione in passato è polinomiale, respinte, mailallargò suo grado definisce l’ordine della curva. Aggiungendo una
l’intero campo terza variabile delle curve z a xperché, e y si hanno data una curve qualsiasi nello spazio
equazione • equazione algebrica parametrica: a due le incognite, coordinate è cartesiane possibile x e y del generico punto della curva sono espresse in
trovare funzione la curva di corrispondente un parametro variabile in un sistema t. di
riferimento • Equazione di assipolare: cartesiani, la posizione e ottenere del così generico curvepunto
P della curva è specificata assegnando la sua
completamente distanzanuove, r da uncome punto adfisso esempio O (ille polo) cubiche. e l’angolo q formato da OP con una semiretta di origine O.
In base alla loro equazione cartesiana, le curve possono essere classificate in:
• Curve algebriche: nella loro equazione compaiono solo operazioni di tipo algebrico (addizione,
sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza)
• Curve trascendenti: nella loro equazione compaiono operazioni trascendenti (logaritmo,
esponenziale, funzioni goniometriche).
Con la nascita dell’analisi fu reso necessario non
solo l’ampliamento del concetto di funzione ma
anche la costruzione di funzioni molto particolari
quali le funzioni continue ma non derivabili. La
conseguenza di questo è il fatto che curve che
rappresentano tali funzioni non ammettono retta
tangente in ogni suo punto, se non in alcuno (ad
esempio la funzione di Weierstrass)!
Si ripropose il problema di definire cosa sia una
curva.
Nel 1887 il matematico Jordan diede una definizione
di curva: è l’insieme di punti rappresentati da
funzioni continue x=f(t) e y=g(t) per t 0 ≤t≤t 1 con
f(t)≠f(t’) se t≠t’ e con f(t 0 )=f(t 1 ); ovvero curve
“semplici” (cioè che non si incrociano) e “chiuse”
(cioè non hanno inizio né fine).
Nel 1890 l’italiano Giuseppe Peano fece scalpore
dimostrando che, in base alla definizione di Jordan,
un quadrato pieno può essere considerato una
curva: egli infatti riuscì a disporre i punti di un
quadrato in modo che fossero tutti “rappresentati”
0

Le Coniche
Apollonio, vissuto tra il III e il II secolo a. C., definisce la conica come intersezione di un
cono fisso e un piano secante ad inclinazioni diverse.
Se il piano è perpendicolare all’asse del
cono si ottiene una circonferenza
Se il piano è parallelo rispetto all’asse del
cono si ottiene un’ iperbole
Se il piano è inclinato rispetto all’asse del
cono si ottiene un’ellisse
Se il piano è inclinato rispetto all’asse
del cono si ottiene una parabola
In un piano, fissati una retta l e un punto F non appartenente alla retta l ,le coniche
possono essere definite con luoghi geometrici : esse infatti rappresentano l’insieme di tutti
e soli i punti P tali che il rapporto tra la distanza di P da F con la differenza di P da d sia
costante; ovvero detto D la proiezione di P su l si ha:
• Se 0 < e < 1 la conica risulterà essere
un’ellisse
• Se e = 1 la conica risulterà una parabola
• Se e > 1 a conica risulterà un iperbole
1

La Circonferenza
Definizione
La circonferenza è il luogo geometrico di
tutti e soli i punti che equidistano da un
punto dato detto centro. Tale distanza r è
chiamata raggio della circonferenza.
Equazione Cartesiana
Rispetto ad un sistema di riferimento
cartesiano la cui origine coincide con il
centro della circonferenza l’equazione
della circonferenza é:
x
2
y
2
r
2
Equazione parametrica
x r cost
y
r
sent
Equazione polare
=r
Definizione
L’ellisse è il luogo geometrico di tutti e soli i punti per i
quali la somma delle distanza da due punti fissi detti
fuochi, è costante.
L’Ellisse
Equazione cartesiana
Rispetto ad un sistema di riferimento
cartesiano i cui assi coincidono con
gli assi di simmetria della curva,
l’equazione é:
x
a
2
2
Equazione parametrica
x
y
1 t
t b
1
a
t
2
2
Equazione polare
2
y
b
2
2
1
a
2 2
a sen
2
b
b
2
2
cos
2
Proprietà
Il raggio riflesso di un raggio uscente da
uno dei due fuochi passa per l’altro
fuoco.
2

La Parabola
Definizione
La parabola è il luogo geometrico di tutti e soli i
punti che equidistano da un punto F, detto fuoco,
e da una retta d, detta direttrice.
Equazione cartesiana
Rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano il
cui asse delle ordinate e l’origine coincidono
rispettivamente con l’asse di simmetria della curva
e con il vertice della parabola, l’equazione è:
2
y ax
dove a è uguale a 1/4c con c uguale alla
semidistanza tra fuoco e direttrice.
Equazione parametrica
x
t
2
y at
Equazione polare
sen
a
2
cos
Proprietà
Il raggio riflesso di un raggio che incide su uno specchio
parabolico in direzione parallela all’asse della parabola
passa per il fuoco.
L’Iperbole
Definizione
L’iperbole è il luogo di tutti e soli i punti per i quali è
costante il modulo della differenza delle distanze da
due punti detti fuochi.
Equazione cartesiana
Rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano i
cui assi coincidono con gli assi di simmetria della
curva, l’equazione è:
2 2
x y
1
2 2
a b
dove a è il semiasse trasverso e b è il semiasse non
trasverso.
Equazione polare
x
y
1 t
t b
1
a
t
2
2
Equazione parametrica
2
2
a
2
b
Proprietà
2 2
a sen
2 2
b cos
Un raggio uscente da un fuoco si riflette sulla superficie di sezione iperbolica lungo la retta che
proviene dall’altro fuoco.
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Circonferenza nell’architettura
La storia dell’arco parte dal sistema trilitico, elemento architettonico composto da due elementi verticali, i
piedritti e un elemento orizzontale, l’architrave. La grande limitazione del sistema trilitico è non poter
sopportare un peso troppo elevato, perchè altrimenti viene eccessivamente sollecitato l’architrave. La
prima soluzione a questo problema viene fornita attraverso un triangolo di scarico posto sopra
l’architrave. La porta dei leoni, Micene , 1300 a.C. circa.
La porta, posta all’ingresso della città, presenta un sistema trilitico
sormontato da un triangolo di scarico, che distribuisce equamente
il peso sui due piedritti, invece che concentrarlo sull’architrave,
sulla quale poggia invece una lastra decorata più leggera.
Micene, 1300 a.C. circa,Tomba a tholos
Questi luoghi a carattere funerario risalenti alla civiltà micenea sono costituiti da
anelli concentrici aggettanti composti da pietre che venivano poi sagomate,
dando origine ad una primitiva cupola.
ARCO A TUTTO SESTO
Gli Etruschi sono i primi a sistematizzare
l’utilizzo della struttura architettonica dell’arco a
tutto sesto nel IV secolo a.C..
L’arco è formato da due piedritti che reggono la struttura e da una
successione di conci, che permettono di scaricare in modo migliore
il peso a terra. Il concio centrale viene chiamato chiave di volta; nel
momento in cui viene tolto un concio la struttura dell’arco crolla.
La struttura venne adottata soprattutto dai romani per un uso
strettamente funzionale.
Acquedotto di Pont du Gard, Francia,19 a.C.
L’acquedotto romano è formato da tre ordini di archi sovrapposti, che lo rendono più
leggero e lo innalzano permettendogli di superare grossi dislivelli.
Ponte Pietra, Verona,
Questo ponte risalente all’epoca romana, distrutto nella Seconda Guerra
mondiale e successivamente ricostruito, è costituito da una sequenza rettilinea
di archi che fungeva da porta d’ingresso per chi arrivava da nord. Per la
realizzazione degli archi venivano utilizzate le centine, strutture in legno
provvisorie atte a sostenere la costruzione di archi e volte durante
l’esecuzione del lavoro.
Basilica di Sant’Ambrogio, Milano, 386.
La chiesa in stile romanico, costituita da tre navate, presenta nelle
navate laterali due ordini di archi sovrapposti. Essi creano varie
zone d’ombra che spingono il fedele verso l’abside, orientato ad
est, dal quale proviene la luce, simbolo di Cristo Redentore.
CUPOLA
Dalla rotazione dell’arco a tutto sesto su un asse di 180 gradi, si ottiene una semisfera che prende il nome di
cupola.
Pantheon, Roma, 27 a.C.
Il Pantheon (letteralmente “Tempio destinato a tutti gli dei”) costruito in epoca
adrianea, è composto da un cilindro e da una sfera compenetrati.
Parte della cupola, all’esterno, è stata inglobata nel cilindro in modo da contenere
le spinte laterali di questa imponente copertura.
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ARCO A SESTO ACUTO
Un altro tipo di arco è quello a sesto acuto. Esso è formato dall’intersecazione di due archi di cerchio con
centro diverso che si congiungono formando una punta al vertice.
Questa nuova tipologia di arco permette un maggiore sviluppo della costruzione verso l’alto e un
migliore contenimento delle spinte laterali. Veniva soprattutto utilizzato per la costruzione delle
cattedrali dal periodo gotico.
Cattedrale di Reims, Parigi, 1200.
L’arco a sesto acuto e le nervature di questa cattedrale gotica trasmettono
una tensione verso l’alto, introducendo un modo di concepire lo spazio
completamente diverso da quello romanico.
Le grandi aperture permettono una maggiore illuminazione e grazie
all’utilizzo dei contrafforti (elementi atti a contenere le spinte laterali)
vengono raggiunte altezze maggiori.
Cupola di S. Maria del Fiore, Brunelleschi
La chiesa è raccordata alla cupola mediante un tamburo di forma ottagonale (simbolo
del battesimo). Sul tamburo sono presenti otto fori da cui entra la luce. Il progetto
originale prevedeva una cupola semisferica, ma per limitarne la spinta laterale essa
viene realizzata a sesto acuto. A causa dell’altezza della cupola non era possibile
utilizzare la struttura della centina, perciò viene rafforzato l’anello più alto del tamburo
in modo da contenere la spinte e vengono costruite delle nervature che hanno dei
contrafforti inglobati nel tamburo.
Ellissi nell’architettura
Colonne di piazza San Pietro da
uno dei due fuochi dell’ellisse
Colosseo
L’anfiteatro Flavio venne utilizzato per
spettacoli e giochi. E’ di forma ellittica,
gli assi dell’ellisse esterno misurano
188x156m. Grazie alle proprietà
dell’ellisse gode di un ottima acustica.
Piazza San Pietro
In Piazza San Pietro l’ellisse è utilizzato
per le sue potenzialità espressive; i fedeli
provenienti da tutto il mondo vengono
accolti e abbracciati dalle braccia della
Madonna, due colonnati formati da
quattro file di colonne che si
sovrappongono perfettamente se
osservate dai fuochi dell’ellisse.
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La Spirale
Equazione polare
x
= k
Equazione cartesiana
2
Equazione parametrica
y
y
2
x t cos
t
2
k artg
sen
2
t
k
t
k
x
y
0
Definizione
La spirale di Archimede è una curva piana che si avvolge in
infiniti giri attorno ad un punto e la sua curvatura diminuisce
man mano che ci si allontana da esso.
Tale curva è definita come traiettoria di un punto P che si
muove di moto rettilineo uniforme su una semiretta r, mentre
quest’ultima si muove di moto circolare intorno alla sua origine
con velocità sempre costante.
Il fatto che ci sia un moto rotatorio suggerisce di cercare l’equazione di
questa curva in coordinate polari, ponendo in modo spontaneo il
riferimento polare in modo da far coincidere il polo O con l’origine
della semiretta r.
La forma dell’equazione cartesiana rivela la natura non algebrica della
curva, perché vi compare una funzione trascendente.
Archimede utilizza la spirale per risolvere due dei classici problemi greci:
La trisezione di un angolo
L’angolo da trisecare è AOP, ove OA è la semiretta che ruota vista
nell’istante iniziale, e P giace sulla spirale. Si costruiscano i punti R e S
che dividono il segmento OP in tre parti uguali, e si traccino le
circonferenze di centro O e raggi OR e OS rispettivamente. Si segnino
quindi i punti U e V di intersezione di queste con la spirale. Le semirette
OU e OV dividono l’angolo AOP in tre parti uguali.
La rettificazione della circonferenza
Si supponga che la retta ruotante OA abbia compiuto un giro
completo e si prenda la tangente alla spirale in questo punto; dal
centro di rotazione si tracci la perpendicolare alla retta OA: il
segmento perpendicolare OB compreso fra il centro di rotazione e
il punto di intersezione fra la perpendicolare e la tangente è uguale
alla circonferenza del "primo cerchio", ovvero il cerchio che ha
come raggio il segmento compreso fra il centro di rotazione e il
punto di tangenza. Archimede dunque riconduce il problema a
quello di tracciare la tangente alla spirale.
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La Spirale nell’Arte
La spirale ha un largo utilizzo nell’arte perché esprime contemporaneamente un ritmo vorticoso, grazie alla sua
caratteristica di tendere al centro, e un ritmo armonioso, dato dalla ripetizione del movimento infinito.
abside basilica di San Clemente
(1106)
Hokusai rappresenta l’onda, che travolge le barche e sconvolge con la sua
armoniosa curva la staticità data dal monte sullo sfondo, con una spirale
di Fibonacci.
cielo stellato, Van Gogh (1889)
Gustav Klimt decora tutta la superficie attraverso i rami a spirale
dell’albero che, fondendosi con lo spazio costruiscono un’armonia
e un equilibrio nel continuo vortice che riempie la tela.
In questo mosaico della basilica di San Clemente i rami
dell’albero sono rappresentati attraverso la curva della spirale,
che racchiude vari episodi della realtà. La spirale in questo
caso funge da cornice ai diversi oggetti e persone ricreando il
ritmo vorticoso della quotidianità, che trova la sua armonia,
cioè una disposizione ordinata, solo attorno alla croce.
onda, Hokusai (1823-29)
L’immagine del cielo stellato nel quadro di Van Gogh rende
attraverso le spirali un continuo rincorrersi e avvolgersi di forme e
luci. Il cielo viene quindi mostrato come una forza fisica che travolge
l’uomo e la natura nella sua onda.
“… come se il cielo, passando attraverso i suoi gialli e i suoi azzurri,
diventasse un irradiarsi di luci in moto per incutere un timor panico
agli umani che sentono il mistero della natura.”
Albero della vita, Gustav Klimt (1905- 1909)
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Nella land-art, dove la natura diventa sia il materiale sia il
soggetto, viene riproposta da Smithson la spirale. Le particolarità
di questa curva sono esaltate dall’osservazione dell’opera da tre
diversi punti di vista. Infatti se guardata dall’alto viene percepita
nel suo sviluppo geometrico, se guardata da terra essa si staglia
sull’orizzonte, se è guardata dall’interno sembra che ti avvolga.
Spiral jetty, Smithson (1970)
La lanterna del Borromini a forma di spirale conduce lo sguardo
dell’osservatore dalla facciata in un’ascesa verso il globo sovrastato dalla
croce, descrivendo in questo modo la tensione dell’uomo verso l’infinito
(verso Dio).
lanterna di Sant’Ivo alla Sapienza (1642 – 1660)
Scala a chiocciola di una torre della Sagrada Familia
Viene utilizzata da Gaudì nelle torri della
Sagrada Familia l’elica, che rimanda alle
forme presenti in natura, come quella delle
conchiglie.
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La Catenaria
Definizione
La catenaria è una particolare curva iperbolica, il cui andamento è quello caratteristico di una fune
omogenea, flessibile e non estensibile, i cui due estremi siano vincolati e che sia lasciata pendere,
soggetta soltanto al proprio peso.
Il primo ad occuparsi della catenaria fu Galileo Galilei, nel 1638,
pensando erroneamente che la forma di una fune appesa per i suoi
estremi e sotto la forza di gravità fosse una parabola. Huygens affermò
che ciò non era corretto e dimostrò, servendosi soprattutto di
ragionamenti fisici, che se il peso totale della corda e dei carichi che vi
sono sospesi è distribuito uniformemente e in direzione orizzontale
allora la curva è una parabola. Per la catenaria, invece, il peso è
distribuito uniformemente lungo il cavo.
Equazione cartesiana
Nel 1691 quasi contemporaneamente Huygens, Leibniz e i
fratello Bernulli dimostrarono che tale curva non è una curva
algebrica determinandone la sua equazione cartesiana:
y= a/2 (e x/a + e -x/a )
dove a è la distanza della curva dall’ asse delle ascisse.
Nel caso più semplice, ossia quello in cui a è uguale a 1, l’equazione diventa :
y= 1/2 (e x + e -x )
È semplice disegnare, in modo approssimato, tale grafico come media algebrica di due funzioni
esponenziali semplici: y = e x e y = e -x .
Si ottiene così la curva disegnata nella figura sotto.
La catenaria e la parabola
La catenaria dunque non è una parabola in quanto si ottiene partendo dalla funzione esponenziale che
è trascendente. Però dalla parabola è possibile descrivere geometricamente la catenaria: traslando e
ruotando la parabola lungo una retta, il fuoco della conica descrive come traiettoria una catenaria.
Eulero trovò che la superficie laterale del solido di rotazione
generato da una catenaria che ruota attorno all´asse, la
catenoide, è la superficie minima tra due circonferenze della
stessa grandezza. La superficie di rotazione della catenaria è
l´unica superficie di rotazione, insieme al piano, ad essere
superficie minima; questo si può vedere immergendo in una
vasca piena di acqua e sapone due circonferenze uguali
distanziate: la bolla di sapone che si formerà si disporrà per
avere superficie minima e questa avrà proprio la forma di una
catenoide.
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La Catenaria
nell’architettura
In considerazione del fatto che una catenaria ha la proprietà di avere in ogni suo punto una distribuzione
uniforme del suo peso totale, questa curva è stata spesso utilizzata per realizzare manufatti e strutture
architettoniche. Le strutture realizzate secondo tale curva subiscono soltanto sforzi attrazione, come le
funi di sostegno nei ponti sospesi, oppure, in alternativa, a compressione, quando la struttura realizzata
ha la forma di una catenaria riflessa rispetto ad una retta orizzontale, come nelle strutture di cupole e
ponti.
Interno cripta colonia Guell, Gaudì
Ponte Strallato di Reggio Emilia,
Santiago Calatrava.
Facciata della passione, Sagrada Familia
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La cicloide (dal greco kykloeidés, kýklos 'cerchio' e -oeidés 'forma', cioè che è fatto da un cerchio) è la
curva tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta senza strisciare.
Questo tipo di cicloide viene detta
ordinaria mentre, se il punto P non si
trova sulla circonferenza, si parla di
cicloide accorciata quando il punto è
interno, di cicloide allungata se il punto
è al di fuori della circonferenza.
Equazione parametrica
Per l’equazione la definizione stessa suggerisce di arrivare ad esprimere le
coordinate di un punto della cicloide in funzione di un parametro: perché il
raggio R del disco è assegnato, il parametro sarà un angolo legato alla
rotazione.
Rispetto al sistema di riferimento in figura l’equazione parametrica
risulterà essere:
x
y
R
R
Rsen
R cos
Se si fa variare la distanza h di P rispetto al centro del disco si ha in generale:
x
y
R
R
hsen
hcos
Essa rappresenta l’equazione della cicloide ordinaria se h = R, della cicloide accorciata se h < R e della
cicloide allungata se h > R.
Equazione cartesiana
Alla semplicità delle equazioni parametriche si contrappone la più complessa equazione cartesiana
ottenuta eliminando il parametro:
Proprietà
•l´area sottostante un ramo di cicloide è tre volte l´area del cerchio usato per generarla ovvero
•la lunghezza di un arco di cicloide è quattro volte il diametro usato per descriverla
•la cicloide ha la proprietà brachistocrona (dal greco brachistos=più corto e
chronos=tempo): infatti essa è la curva su cui una massa che scivola impiega meno tempo
per percorrere il tragitto fra due punti dati.
•una scodella di forma cicloidale è tautocrona (dal greco tauto=identico e
chronos=tempo), poichè uguali oggetti,quali sferette, posti a varie altezze del recipiente
raggiungeranno il fondo nello stesso tempo.
•la cicloide ha la proprietà brachistocrona (dal greco brachistos=più corto e chronos=tempo): infatti essa è
la curva su cui una massa che scivola impiega meno tempo per percorrere il tragitto fra due punti dati.
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