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Stabilità delle strutture soggette
all’azione del vento
3.1 Premesse
In modo intuitivo è possibile dire che una struttura presenta una configurazione di
equilibrio stabile se piccole perturbazioni inducono oscillazioni di entità limitata, i.e.
confinate nell’intorno della configurazione stessa, mentre quest’ultima è instabile in
caso contrario. Tale concetto di stabilità si riferisce alla teoria di Liapunov relativa
alle condizioni di stabilità dinamica 1 .
Si consideri un sistema conservativo, i.e. un sistema per il quale è possibile
introdurre un potenziale e quindi un’energia potenziale Π. Il problema dinamico
1 [3.5]Si consideri una struttura la cui evoluzione dinamica sia governata da equazioni differenziali
che, nello spazio delle fasi, siano riconducibili ad un sistema del primo ordine del tipo:
˙z(t) = f(z(t), t) z(0) = Zo
La soluzione z(t) di tale problema è detta stabile, secondo Liapunov, se per ogni arbitrario
ε > 0 è possibile trovare un δ(ε) > 0 tale che ad ogni variazione V delle condizioni iniziali Zo,
rispettosa della condizione V < δ(ε), consegue una variazione nella risposta v(t) che soddisfa la
disuguaglianza
v(t) < ε ∀ t > 0
essendo · una data norma. Se inoltre risulta, per la generica componente k-esima di v(t)
lim
t→∞ vk(t) = 0 ∀ k
la soluzione z(t) viene detta asintoticamente stabile.
71

72 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
può rappresentarsi, in forma linearizzata 2 e secondo un approccio alla Galerkin 3 ,
mediante la seguente equazione di governo:
M¨q(t) + Kq(t) = 0 (3.1)
dove q è il vettore di spostamenti generalizzati, M è la matrice generalizzata delle
masse, K = ∂2
Π
la matrice tangente di rigidezza del sistema, valutata in
q
∂q 2
corrispondenza della condizione di equilibrio q.
Nell’ambito di una analisi lineare di stabilità è sufficiente considerare solo per-
turbazioni nel tempo di tipo armonico, in quanto ogni evoluzione dinamica della
struttura può essere decomposta in una serie di contributi armonici (modi) at-
traverso uno sviluppo alla Fourier. Assegnata allora una perturbazione armonica
q(t) = qoe iωt e le relative condizioni al contorno, il sistema di equazioni differenziali
(3.1), che governa la risposta della struttura, ha come soluzione tutti i modi banali,
i.e. non eccitati, eccetto quelli relativi alle pulsazioni ω che soddisfano l’equazione
caratteristica:
det[M −1 K − ω 2 I] = 0 (3.2)
È noto che per i sistemi conservativi le pulsazioni caratteristiche possono risultare
reali (in questo caso il sistema è stabile) o puramente immaginarie (sistema instabi-
le). Pertanto, affinchè lo stato di equilibrio da stabile diventi instabile è necessario
che la più piccola delle pulsazioni caratteristiche assuma valore nullo o, equivalente-
mente, che la matrice di rigidezza della struttura presenti una singolarità. In altri
termini, lo stato di equilibrio è instabile se esiste un’altra possibile configurazione
di equilibrio stabile in un intorno di quella in considerazione. Conseguentemente, se
l’equilibrio è instabile, la struttura a seguito di una perturbazione abbandona la sua
2 In generale, l’analisi completa delle equazioni del moto espresse in forma non lineare non può
compiersi in modo agevole, quasi mai in ambito pratico. Si procede allora ricorrendo ad una
linearizzazione del problema in esame in un intorno di una sua soluzione. Si può dimostrare che,
l’instabilità intesa in senso lineare implica l’instabilità anche in senso non lineare, ma in generale la
stabilità linearizzata non comporta necessariamente stabilità non lineare.
3 Considerato un sistema strutturale e detta ϕ(P, t) la soluzione che caratterizza la sua evoluzione
dinamica in funzione della posizione P e del tempo t, è possibile dimostrare che essa può porsi
equivalentemente nella forma:
np
ϕ(P, t) = ϕ(P, t) + N j (P )qj(t)
essendo ϕ(P, t) funzioni che soddisfano le condizioni al contorno essenziali del problema, N j (P )
funzioni linearmente indipendenti, dette funzioni di forma, che soddisfano le condizioni al contorno
omogenee, qj(t) parametri incogniti detti spostamenti generalizzati, i quali possono raccogliersi
nell’unico vettore q. È il caso di osservare che tale approccio, di base per numerosi metodi numerici
di approssimazione, consente di rappresentare in modo esatto la soluzione ϕ(P, t) qualora np → ∞.
j=1

Premesse 73
configurazione per raggiungerne un’altra stabile. Tale forma di instabilità è detta
divergenza o biforcazione statica dell’equilibrio e, com’è noto, la sua caratterizzazio-
ne può compiersi senza ricorrere necessariamente ad un approccio di tipo dinamico
(teoria euleriana della stabilità dell’equilibrio).
È il caso di sottolineare che per i sistemi conservativi la stabilità dell’equilibrio
può studiarsi in modo equivalente tramite un approccio di natura energetica. In
particolare, si dimostra (teorema di Dirichlet-Lagrange) che per i sistemi conservativi
una configurazione di equilibrio è stabile se corrispondentemente l’energia potenziale
Π del sistema presenta un punto di minimo isolato 4 [3.5].
Si considerino ora sistemi non conservativi la cui evoluzione dinamica, a partire
da uno stato di equilibrio, sia rappresentata in forma linearizzata sempre tramite
una condizione differenziale del tipo (3.1). In generale, in questo caso, a seguito
della perdita di simmetria di K le pulsazioni caratteristiche possono essere sia reali
che complesse coniugate (a parte reale non nulla). Pertanto, l’instabilità del sistema
si verifica quando la più piccola di tali pulsazioni assume valore nullo, come nel caso
dei sistemi conservativi, oppure quando due pulsazioni tendono l’una all’altra fino a
coincidere e quindi a diventare complesse coniugate.
Il caso corrispondente ad una pulsazione caratteristica nulla è simile a quello che
si ha per i sistemi conservativi e può caratterizzarsi mediante l’approccio euleriano,
pur essendo il sistema non conservativo. In questo caso l’instabilità è ancora detta
di divergenza anche se, in generale, può non esistere una configurazione alternativa
di equilibrio in cui la struttura possa portarsi. Numerosi autori hanno caratterizzato
le condizioni sotto le quali sistemi non conservativi del tipo (3.1) presentano solo
instabilità da divergenza ([3.9],[3.14],[3.29]). Tali sistemi sono anche detti sistemi
conservativi del secondo tipo.
Il caso relativo a pulsazioni caratteristiche complesse coniugate corrisponde ad
un’instabilità detta di flutter e la condizione di carico per la quale si ha la coincidenza
di due pulsazioni caratteristiche è detto carico di flutter. Se la condizione di carico è
maggiore di quella di flutter la perturbazione iniziale indurrà oscillazioni armoniche
della struttura di pulsazione pari alla parte reale delle pulsazioni caratteristiche
complesse coniugate e con ampiezza di oscillazione crescente esponenzialmente nel
tempo, in funzione della loro parte immaginaria.
Pertanto, tale evenienza individua una soluzione dinamica instabile indipendente
dalla presenza di una soluzione di equilibrio ad essa contigua (i.e. in assenza di
condizioni di singolarità per K). In altri termini, i sistemi non conservativi possono
presentare una condizione di biforcazione ad una soluzione totalmente dinamica.
4 Per converso, si dimostra che un punto di massimo dell’energia potenziale corrisponde ad una
configurazione di equilibrio instabile (Teorema di Liapunov).

74 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
Come premesso, il fenomeno del flutter configura una risposta armonica della
struttura caratterizzata da ampiezza, velocità ed accelerazione crescenti nel tempo
e conseguentemente da un aumento dell’energia cinetica del sistema. Chiaramente,
tale energia deve essere fornita dalle forze esterne. Se esse però sono di tipo conser-
vativo il loro lavoro viene compiuto a spese di un potenziale ed è quindi limitato. Si
comprende, allora, come il fenomeno del flutter possa presentarsi solo per effetto di
forze non conservative.
Tipiche forze a carattere non conservativo sono le forze esercitate dal vento, le
quali possono introdurre in modo non limitato energia in un sistema strutturale.
Poichè il fenomeno del flutter presuppone la presenza di pulsazioni complesse co-
niugate, per i sistemi strutturali non conservativi rappresentabili tramite la (3.1) (i.e.
privi di contributi di smorzamento), esso può destarsi solo quando questi abbiano
almeno due gradi di libertà. Si parla in questi casi di flutter accoppiato.
D’altro canto, come evidenziato nella (2.62), le azioni aeroelastiche che si origina-
no per effetto del moto della struttura all’interno di una corrente sono caratterizzate
da contributi sia di rigidezza che di smorzamento, i quali vanno a sommarsi agli
eventuali contributi strutturali corrispondenti. Conseguentemente, la presenza di
contributi di smorzamento fa sì che la condizione critica di flutter accoppiato non
sia necessariamente caratterizzata dalla coincidenza di due pulsazioni caratteristi-
che, come mostrato in ambito deterministico da Lin [3.15]. Inoltre, riferendosi a
strutture snelle ’a nastro’, quali possono essere considerati i cavi delle linee di di-
stribuzione elettrica o gli stessi ponti di grande luce, è possibile dimostrare che può
verificarsi instabilità dinamica attivando in pratica anche un solo grado di libertà
della struttura. Si distinguono, in questi casi, l’instabilità dinamica di galloping ed
il flutter ad un grado di libertà.
La differenza fra le due tipologie di instabilità è fissata sulla base della natura
del flusso circostante la struttura. In altri termini, ferma restando una condizione di
separazione del flusso per effetto della natura geometrica non profilata delle strutture
in esame, se si verifica un riattacco della vena fluida sul profilo si parla di flutter,
altrimenti l’instabilità è detta di galloping (figura 3.1).
Va inoltre tenuto presente che, a seguito del distacco periodico di vortici dalla
struttura (fenomeno che può avvenire indipendentemente dal suo stato di moto) su di
essa agiscono delle forze pulsanti le quali, se sufficientemente elevate ed in risonanza
con una delle frequenze naturali di vibrazione del sistema, possono indurre su di esso
sensibili oscillazioni (sincronizzazione o lock-in).

U
B/H >>1
Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 75
FLUSSO NON SEPARATO FLUSSO SEPARATO
Flutter accoppiato
ASSENZA DI RIATTACCO
B/H < 2.8
U
Galloping
B
H
Vibrazioni da vortex-shedding
U
RIATTACCO DI VENA
B/H > 2.8
Flutter ad un grado di libertà
Flutter accoppiato
Vibrazioni da vortex-shedding
Fig. 3.1: Classificazione delle instabilità dinamiche in relazione alla condizione del flusso
circostante la struttura.
3.2 Cilindro rigido investito da una corrente 2-D
Si consideri un cilindro rigido di sezione trasversale S e per il quale valgano le con-
venzioni introdotte nel capitolo 2 (cf. figura 2.14). In dettaglio, si assuma che detto
cilindro abbia linea d’asse rettilinea di lunghezza infinita e sia immerso in una cor-
rente bidimensionale la cui direzione media risulti ad essa ortogonale. Inoltre, si
assuma che detta struttura sia vincolata elasticamente e siano K e C rispettivamen-
te le relative matrici di rigidezza e smorzamento strutturale. Nell’ipotesi di piccole
perturbazioni della struttura e di piccole condizioni di turbolenza incidente, que-
st’ultima assunta non interagente in frequenza con eventuali fenomeni di distacco di
vortici, le equazioni del moto possono scriversi come:
M¨q(t) + C ˙q(t) + Kq(t) = ¯ F + F(t) + Fa(t) (3.3)
essendo M la matrice delle masse,
q(t) = u(t), v(t), θ(t)
T
(3.4)
il vettore degli spostamenti di S nel suo piano di rappresentazione ed avendo indicato
(cf. equazione (2.61)) con ¯ F il vettore di forze generalizzate medie aerodinamiche,
F(t) le relative componenti fluttuanti dipendenti dalla turbolenza incidente e dalle
condizioni di vortex-shedding, Fa(t) il vettore delle forze generalizzate aeroelastiche
che si destano a seguito delle condizioni di moto di S.

76 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
Nell’ipotesi ulteriore che le frequenze di oscillazione di S nei suoi gradi di libertà
risultino molto minori delle relative frequenze di vortex-shedding, i.e. K/2π ≪
St, l’esperienza conferma che è possibile ritenere adeguata una rappresentazione
quasi-stazionaria delle azioni aeroelastiche:
Fa(t) = −C o ˙q(t) − K o q(t) (3.5)
essendo C o e K o rispettivamente le matrici di smorzamento e rigidezza aerodinamiche
introdotte nelle (2.64-2.65). Nel caso di sezioni da ponte caratterizzate da oscillazioni
sinusoidali con frequenze molto lontane da quelle proprie del fenomeno di vortex-
shedding la precedente relazione si rifrasa per il tramite delle matrici delle derivate
aerodinamiche C o (K), K o (K) introdotte nelle (2.106-2.107), i.e.
Fa(t) = −C o (K) ˙q(t) − K o (K)q(t) (3.6)
D’altra parte, opportune matrici di derivate aerodinamiche C o ∗(K), K o ∗(K) con-
sentono in generale di rappresentare le forze aeroelastiche anche nel caso in cui
l’ammettenza meccanica del sistema interagisca con la frequenza caratteristica di
distacco di vortici, i.e. qualora risulti K/2π ∼ St. Se le oscillazioni della struttura
coinvolgono solo un suo modo, caratterizzato dalla frequenza ridotta naturale Ko,
dette matrici possono linearizzarsi in un intorno di Ko e pertanto, nel caso di con-
dizioni di vento prossime a quelle che inducono il distacco di vortici, i.e. (cf. eq.
(2.2)) U ∼ Uw = nwB/St, si può porre:
Fa(t) = −C o ∗(Ko) ˙q(t) − K o ∗(Ko)q(t) (3.7)
In definitiva, le equazioni del moto (3.3) si riscrivono come:
avendo posto
M¨q(t) + C + C o ˙q(t) + K + K o q(t) = ¯ F + F(t) (3.8)
C o = C o , K o = K o
C o = C o ∗(K) ∼ = C o ∗(Ko)
K o = K o ∗(K) ∼ = K o ∗(Ko)
per K
2π
per K
2π
≪ St approccio quasi-stazionario (3.9)
∼ Ko
2π
∼ St approccio unimodale linearizzato
Poichè C e K sono matrici simmetriche e definite positive, in assenza di vento ed
in presenza di una perturbazione la struttura manifesta un comportamento dinamico
stabile. D’altro canto, la comparsa di condizioni di vento induce in generale la
perdita di simmetria e di definitezza positiva dello smorzamento e della rigidezza
totale del sistema e quindi la possibilità dell’insorgere di condizioni di instabilità
dinamica.

Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 77
Nello spazio di stato il sistema di n = 3 equazioni differenziali del secondo ordine
(3.8) si trasforma nel sistema di 2n = 6 equazioni del primo ordine:
avendo posto 5 :
z(t) =
G =
p(t) =
˙z(t) = Gz(t) + p(t) (3.10)
q(t), ˙q(t)
T
O
−M
I
−1 K + K o
−M−1 C + C o
0, M−1 T ¯F + F(t)
(3.11)
Le condizioni di stabilità del sistema si caratterizzano considerando la sua ri-
sposta libera e quindi il sistema omogeneo associato alla (3.10), il cui integrale
particolare risulta: z(t) = de λt . Pertanto, le soluzioni non banali si deducono dal-
la valutazione degli autovalori λk (k = 1, ..., 2n) di G i quali devono soddisfare
l’equazione caratteristica:
det [G − λI] = 0 (3.12)
Com’è noto, l’integrale generale del sistema omogeneo associato alla (3.10) si
esprime attraverso la combinazione lineare dei 2n integrali particolari, i.e.
z(t) =
2n
k=1
Akdke λkt
(3.13)
essendo Ak costanti dipendenti dalle condizioni iniziali e dk gli autovettori associati
agli autovalori λk. Questi ultimi sono detti poli del sistema e, presupponendo una
risposta oscillatoria della struttura, sono in generale a valore complesso e coniugati
a coppie: λk = µk + iωk. La loro parte immaginaria ωk definisce la componente
oscillatoria della soluzione mentre la parte reale µk, a seconda del suo segno, ne
caratterizza lo smorzamento o l’amplificazione:
3 × 3.
z(t) =
In definitiva, il sistema risulta:
2n
Akdke µkt iωkt
e
k=1
- asintoticamente stabile se tutte le parti reali µk sono strettamente negative;
(3.14)
5 Si indicano con O e I rispettivamente la matrice nulla e di indentità, in questo caso di ordine

78 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
q q q q q
Stabilità asintotica Stabilità marginale Instabilità
k
t t t t t
* * * * *
* * * * *
q q q q q
t t t t t
Fig. 3.2: Condizioni di stabilità al variare della posizione dei poli nel piano di Argand-
Gauss.
- instabile se almeno una delle µk è positiva;
- marginalmente stabile se µk ≥ 0, ∀k.
La figura 3.2 illustra in modo sintetico le differenti possibilità nel piano dei poli
di Argand-Gauss.
D’altra parte, è evidente che la posizione dei poli del sistema nel piano di Argand-
Gauss è fortemente influenzata dalla condizione di velocità media U della corrente
incidente. In particolare, come schematicamente rappresentato in figura 3.3, l’au-
mento di U può portare il sistema da uno stato stabile ad uno instabile ed il punto
di biforcazione dinamica ne caratterizza la condizione critica al limite di stabilità.
3.2.1 Equazioni del moto linearizzate disaccoppiate
Si assuma che le n = 3 equazioni differenziali linearizzate (3.8), le quali governano
l’evoluzione dinamica della struttura perturbata dalla sua condizione di equilibrio,
possano ritenersi disaccoppiate. In altri termini, si assume che i tre gradi di libertà
del cilindro siano attivabili in modo indipendente l’uno dall’altro. Ciò approssima
tutte quelle situazioni reali in cui le matrici strutturali K e C risultano praticamente
diagonali ed i termini fuori diagonale di K o e C o non hanno intensità sufficiente ad
attivare in modo significativo i gradi di libertà cui essi si riferiscono.
Sotto queste ipotesi ed assumendo che il centro elastico della sezione coincida
con il suo centro di massa e che ad esso si riferiscano le azioni del vento, l’equazione
di governo per il generico grado di libertà ε = u, v, θ può porsi nella forma:
¨ε(t) + 2(ζε + ζ o
ε)ωε ˙ε(t) + ω 2 ε(1 + Ω o
ε)ε(t) = ¯ Fε + Fε(t)
mεε
k
(3.15)

1
Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 79
U = U 1 ) Stabilità asintotica
2
k
3
k
U = U 2 ) Stabilità marginale ) punto di biforcazione
U = U 3 ) Instabilità
Fig. 3.3: Evoluzione qualitativa della generica coppia di poli complessi coniugati nel piano
di Argand-Gauss al crescere della velocità media del vento incidente U.
essendo: mεε la massa generalizzata per il grado di libertà ε, pari alla massa per
unità di lunghezza della struttura m quando ε = u, v ed al momento di inerzia
polare specifico Iθ rispetto al centro di massa se ε = θ; ζε =
Cεε
2 √ mεεKεε
il coefficien-
te di smorzamento strutturale rapportato alla condizione di smorzamento critico;
ωε = 2πnε =
Kεε
mεε la pulsazione naturale in aria calma della struttura (nε è la cor-
rispondente frequenza); ζ o
ε =
C o
εε
2 √ mεεKεε
rapportato alla condizione di smorzamento critico; Ω o
ε = Ko
il coefficiente di smorzamento aerodinamico
εε
Kεε
un termine che esprime
la variazione di ωε a seguito dei fenomeni di interazione vento-struttura; Cεε e Kεε
i termini diagonali di C e K.
In virtù di quanto detto in precedenza, è evidente che i valori assunti da ζ o
ε e Ω o
ε
caratterizzano le condizioni di stabilità del sistema relativamente al grado di libertà
ε considerato. In dettaglio, ζ o
ε caratterizza le condizioni di instabilità dinamica,
mentre Ω o
ε consente di caratterizzare quelle di instabilità statica (o euleriana).
Risposta dinamica nella direzione del vento
Si consideri il grado di libertà nella direzione della corrente media incidente, i.e.
ε = u (cf. figura 2.14). In questo caso l’esperienza conferma che la risposta della
struttura non è praticamente influenzata dalla condizione di distacco di vortici e
quindi l’approccio quasi-stazionario può ritenersi soddisfacente, i.e. C o = C o , K o =
K o . Pertanto, utilizzando le (2.64-2.65), risulta :

80 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
ζ o
u =
u = Kouu
Kuu
Ω o
C o
uu
2 √ mεεKεε
= ρUBCd
2mωu
(3.16)
= 0 (3.17)
Poichè si verifica sempre la condizione Cd = CdT (α) ≥ 0, è chiaro che il coeffi-
ciente di smorzamento aerodinamico nella direzione della corrente media non è mai
negativo e quindi la risposta della struttura relativamente a tale grado di libertà
risulta sempre stabile in senso dinamico sotto qualunque condizione di vento.
D’altro canto, la condizione (3.17) assicura che la frequenza naturale di vibra-
zione della struttura nella direzione media della corrente non sia influenzata dai
fenomeni di interazione vento-struttura e che quindi, nelle ipotesi dette, non possa-
no occorrere condizioni di instabilità di natura euleriana, i.e. singolarità di rigidezza
del sistema.
Nel caso di sezioni da ponte, soggette ad oscillazioni di tipo sinusoidale con
frequenza ridotta K ed in assenza di condizioni di vortex-shedding, le relazioni (3.16)
e (3.17) si riscrivono, in virtù delle (2.106-2.107), come:
ζ o
u = − ρUBKP ∗ 1 (K)
4mωu
Ω o
u = − ρU 2 K 2 P ∗ 4 (K)
2Kuu
(3.18)
(3.19)
In questo caso, la condizione di stabilità sia euleriana che dinamica è confermata
dai risultati sperimentali ottenuti da Singh et al. [3.25] i quali hanno determinato per
tipiche sezioni da ponte valori negativi sia per P ∗ 1 che, nell’intervallo della frequenza
ridotta dove non risulta trascurabile, per P ∗ 4 .
Risposta dinamica nella direzione ortogonale al vento
Nel caso di cilindro rigido con attivo il solo grado di libertà nella direzione ortogonale
alla corrente media, i.e. ε = v, la riposta dinamica della struttura può essere si-
gnificativamente influenzata dal fenomeno di vortex-shedding. D’altra parte, un
approccio quasi-stazionario è comunque adottabile qualora la frequenza naturale di
oscillazione della struttura nv risulti lontana da quella di distacco di vortici nw (in
particolare per nv ≪ nw). In questa ipotesi, dalle relazioni (2.64-2.65), risulta:
ζ o
v =
v = Kovv
Kvv
Ω o
C o
vv
2 √ mKvv
= ρUB(Cd + C ′ ℓ )
4mωv
(3.20)
= 0 (3.21)

Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 81
La condizione di stabilità dinamica è quindi dipendente dal segno della quantità
(Cd + C ′ ℓ ). In particolare, per (Cd + C ′ ℓ ) > 0 la risposta dinamica della struttura
è sempre stabile. D’altronde, condizione necessaria affinchè vi sia instabilità è la
cosiddetta condizione di Glauert-Den Hartog ([3.7], [3.6]): (Cd + C ′ ℓ ) ≤ 0. La condizione
sufficiente di instabilità risulta invece ζv + ζ o
v < 0. In altri termini, ricavata
dalla condizione al limite di stabilità ζv + ζ o
v = 0 la velocità critica
si ha:
Uvc = − 4mωvζv
ρB(Cd + C ′ ℓ )
U < Uvc ⇒ ζv + ζ o
v > 0 ⇒ sistema stabile
U = Uvc ⇒ ζv + ζ o
v = 0 ⇒ condizione critica
U > Uvc ⇒ ζv + ζ o
v < 0 ⇒ sistema instabile
(3.22)
Inoltre, la condizione (3.21) assicura che la frequenza naturale di vibrazione
della struttura nella direzione ortogonale alla corrente non risulti sostanzialmente
influenzata dai fenomeni di interazione vento-struttura e che quindi non si verifichino
condizioni di instabilità di natura euleriana, i.e. singolarità di rigidezza del sistema.
Nel caso in cui si considerino sezioni trasversali non profilate e condizioni critiche
di vento tali da non consentire il riattacco della vena fluida al profilo, l’instabilità
dinamica illustrata prende il nome di galloping trasversale. Essa è tipica di strutture
snelle con sezioni trasversali rettangolari (disposte con il lato maggiore contro-vento)
o di forma a ’D’, quali possono essere le sezioni effettive, a seguito della formazione di
ghiaccio sulla loro superficie, dei cavi di distribuzione elettrica 6 o di quelli di sostegno
per ponti di grande luce. Le frequenze che caratterizzano tale fenomeno sono di
norma, a parità di sezione trasversale, inferiori rispetto a quelle di vortex-shedding.
Se invece si verifica una condizione di riattacco di vena sulla struttura l’instabilità
dinamica in esame prende il nome di flutter trasversale ad un grado di libertà. In
particolare, ciò può verificarsi per sezioni non profilate allungate nella direzione della
corrente incidente, quali sono ad esempio le tipiche sezioni dei ponti di grande luce.
Nel caso di sezioni da ponte, soggette ad oscillazioni di tipo sinusoidale con
frequenza ridotta K ed in assenza di condizioni di vortex-shedding, le relazioni (3.20)
e (3.21) si riscrivono, in virtù delle (2.106-2.107), come:
6 Nel caso di due cilindri investiti da una corrente, uno dei quali è posizionato nella scia dell’altro,
sotto determinate condizioni il cilindro a valle può presentare oscillazioni da galloping indotte dalla
scia del cilindro a monte [3.24]. Ciò può verificarsi, ad esempio, nel caso dei cavi di distribuzione
elettrica disposti a gruppi.

82 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
ζ o
v = − ρUBKH∗ 1 (K)
4mωv
(3.23)
Ω o
v = − ρU 2K 2H ∗ 4 (K)
∼= 0
2Kvv
(3.24)
indicando tendenza all’instabilità dinamica per H ∗ 1 (K) > 0. La condizione di
velocità critica di flutter trasversale ad un grado di libertà si scrive pertanto come:
Uvc = −
4mωvζv
ρBKvcH ∗ 1 (Kvc)
e la corrispondente pulsazione critica di oscillazione risulta:
essendo Kvc = Bωvc/U.
ωvc = ωv
1 − ρU 2 K 2 vcH ∗ 4 (Kvc)
2Kvv
(3.25)
(3.26)
Nel caso in cui la frequenza naturale del sistema sia prossima a quella di distacco
di vortici, i.e. nv ∼ nyw = nw, l’approccio quasi-stazionario non può più adottarsi in
modo soddisfacente. Ricorrendo allora ad un approccio nel dominio della frequenza,
considerando condizioni linearizzate in un intorno della frequenza ridotta Kv ∼
Kw = 2πSt ed utilizzando le (3.7), si ricava:
ζ o
v = Co ∗ vv (Kv)
4mωv
(3.27)
Ω o
v = Ko ∗ vv (Kv)
∼= 0 (3.28)
Kvv
La risposta della struttura è allora stabile se risulta ζv + ζ o
v > 0 con U ∼ = Uw,
altrimenti si ha una condizione di instabilità dinamica detta di sincronizzazione o
di lock-in. Tale instabilità è caratterizzata da una condizione di sincronizzazione,
appunto, tra le oscillazioni della struttura ed il fenomeno di distacco di vortici.
La condizione critica al limite di stabilità ζv + ζ o
v = 0 conduce allora, in regime
linearizzato, alla relazione:
C o ∗ vv (Kv) = −4mωvζv
(3.29)
La trascurabilità di Ω o
v, espressa nella (3.28) e confermata dall’esperienza, assicura
inoltre che la frequenza naturale di vibrazione della struttura nella direzione orto-
gonale alla corrente continui a non essere sostanzialmente influenzata dai fenomeni
di interazione vento-struttura anche in presenza di vortex-shedding.

-4m v v
C d+C’
C o vv (K v )
*
U w
U vc
Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 83
U
-4m v v
C d +C’
C o vv (K v )
[ 0 ] [ C -4mvv ] [U Uw ] Lock-in
o vv (Kv )
Cd +C’
*
[ < 0 ] [( C > -4mvv ) (Uw > Uvc )] [U Uvc ] Galloping (o flutter)
o vv (Kv )
Cd +C’
[ < 0 ] [ C -4mvv ] [Uw < Uvc ]
U Uvc U Uw Galloping (o flutter)
Lock-in
o vv (Kv )
Cd +C’
*
*
Fig. 3.4: Regioni di instabilità dinamica per la risposta in direzione ortogonale alla corrente.
La figura 3.4 riassume le regioni di instabilità dinamica per la risposta in direzione
ortogonale alla corrente incidente. Si noti come per U ∼ = Uw possa sussistere una
condizione di interazione fra il fenomeno di lock-in e l’instabilità di galloping (o
flutter) qualora Uw > Uvc.
Il modello sin qui considerato porterebbe a ritenere che per U ∼ Uw e C o ∗ vv (Kv) <
−4mωvζv si verifica una condizione di oscillazione della struttura con un’ampiezza
divergente, come nel caso del galloping o del flutter. In realtà, si osserva sperimental-
mente che nelle ipotesi dette la frequenza di oscillazione della struttura si sincronizza
con quella di distacco dei vortici controllandola. In altri termini, anche quando si
verificano variazioni di qualche percento della velocità della corrente rispetto a quel-
la nominale di distacco di vortici, quest’ultima connessa al numero di Strouhal, si
osserva (figura 3.5) che detta frequenza resta praticamente ’bloccata’ (fenomeno di
lock-in). Inoltre, il fatto che le oscillazioni meccaniche controllino il fenomeno di
vortex-shedding e conseguentemente la scia a valle della struttura, comporta che
l’ampiezza delle oscillazioni in condizioni di lock-in non sia in generale divergente 7 .
7 Riferendosi a strutture flessibili ed in particolare ai ponti di grande luce, le cui tipiche sezioni
sono caratterizzate da numeri di Strouhal generalmente molto inferiori all’unità, si osserva che le
velocità del vento che inducono sincronizzazione con i modi di vibrare del ponte sono di intensità
modesta e pertanto, tenuto anche conto degli inevitabili fenomeni di dissipazione, non comportano
accumulo di elevate quantità di energia. Se ciò da un lato conferma che il fenomeno di sincroniz-
zazione non induce generalmente effetti disastrosi per la struttura, dall’altro è evidente che la sua
comparsa deve portarsi in conto in merito all’analisi dei cicli di fatica dei diversi elementi strutturali
sollecitati.
*
U vc
U w
U

84 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
Frequenza
naturale della
struttura
n w
arctg(St/B)
Regione di
lock-in
Fig. 3.5: Andamento della frequenza di distacco dei vortici al variare della velocità del vento
per una struttura elastica [3.24].
Il fenomeno può essere descritto in modo soddisfacente mediante un modello di
oscillatore alla Van der Pol [3.26]. In particolare, l’equazione di governo che accoppia
l’oscillazione verticale della struttura ed il fenomeno di distacco di vortici si pone
nella forma [3.24]:
¨v + 2ζvωvv + ω 2 vv = ρU 2 BKH ∗ 0
2m
U
1 − τ v2
B2
˙v
U
(3.30)
essendo H∗ 0 e τ parametri da determinare sperimentalmente in condizioni di sincronizzazione.
L’ampiezza del ciclo limite, cioè del ciclo ad ampiezza massima,
può allora ottenersi imponendo che, per una oscillazione stazionaria con ωv ∼ ωw,
l’energia media dissipata per ciclo sia nulla. Assumendo le oscillazioni a carattere
praticamente sinusoidale, i.e. v = vo cos ωwt, si ricava:
vo
B
H∗ o − 8πScrSt
= 2
τH ∗ 0
essendo Scr il numero di Scruton definito come:
Risposta dinamica torsionale
Scr = ζvm
ρB 2
1/2
(3.31)
(3.32)
Nel caso in cui si consideri attivo, per la struttura in esame, il solo grado di libertà
corrispondente all rotazione intorno al proprio asse, i.e. ε = θ, e per nθ = nθw = nw
(in particolare nθ ≪ nw), utilizzando l’approccio quasi-stazionario si ricava (cf. eq.
(2.64-2.65)):

ζ o
θ =
Ω o
Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 85
θ = Koθθ
Kθθ
C o
θθ
2 √ IθKθθ
= ρUB2 RoC ′ m
4Iθωθ
= ρU 2 B 2 C ′ m
2Kθθ
(3.33)
(3.34)
Pertanto, se si considerano sezioni compatte (per le quali risulta Ro ∼ 0) o
comunque sezioni per le quali C ′ m ≥ 0, si ha che la risposta dinamica torsionale è
stabile. Viceversa, se risulta Ro > 0 e C ′ m < 0 si ha una condizione di instabilità
dinamica del sistema detta di galloping torsionale (o di flutter torsionale ad un grado
di libertà, a seconda della natura del flusso circostante la struttura, cf. figura 3.1).
La condizione critica al limite di stabilità ζθ + ζ o
θ = 0 fornisce la corrispondente
velocità critica della corrente:
Uθc = − 4Iθωθζθ
ρB2RoC ′ (3.35)
m
Inoltre, dalla (3.34) si deduce che, qualora C ′ m assuma valore negativo, può
risultare Ω o
θ = −1. Tale condizione è equivalente a considerare una singolarità nella
rigidezza del sistema (cf. eq. (3.15)) ed è quindi indicativa di una instabilità di
divergenza di tipo euleriano. Ricavata allora la velocità critica di divergenza come
Uθd =
− 2Kθθ
ρB 2 C ′ m
il sistema risulta staticamente instabile per U > Uθd.
(3.36)
Per sezioni da ponte, soggette ad oscillazioni di tipo sinusoidale con frequenza
ridotta K ed in assenza di vortex-shedding, le relazioni (3.33-3.34) si riscrivono, in
virtù delle (2.106-2.107), come:
ζ o
θ = − ρUB3 KA ∗ 2 (K)
4Iθωθ
Ω o
θ = − ρU 2 B 2 K 2 A ∗ 3 (K)
2Kθθ
(3.37)
(3.38)
La (3.37) indica tendenza all’instabilità dinamica per A∗ 2 (K) > 0 ed in particolare
la condizione di velocità critica di flutter torsionale ad un grado di libertà e la
corrispondente pulsazione critica di oscillazione risultano:
ωθc = ωθ
Uθc = −
4Iθωθζθ
ρB 3 KθcA ∗ 2 (Kθc)
1 − ρU 2 B 2 K 2 θc A∗ 3 (Kθc)
2Kθθ
(3.39)
(3.40)

86 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
essendo Kθc = Bωθc/U.
Inoltre, sempre imponendo la condizione critica Ω o
θ = −1 e sfruttando la relazione
(3.38), si ricava la velocità critica di divergenza 8
Uθd = lim
K→0
equivalente alla (3.36) in quanto risulta
2Kθθ
ρB 2 K 2 A ∗ 3 (K)
lim
K→0 K2 A ∗ 3(K) = −C ′ m
(3.41)
(3.42)
i.e. quando il periodo di oscillazione diviene infinitamente grande, ovvero la frequen-
za ridotta tende a zero, le componenti di velocità della struttura divengono picco-
lissime, le forze di smorzamento aerodinamico corrispondentemente svaniscono e le
derivate aerodinamiche si portano sui corrispondenti valori di rigidezza aerodinamica
(cf. eq. (2.108)).
Nel caso in cui la frequenza naturale del sistema sia prossima a quella di distacco
di vortici, i.e. nθ ∼ nθw, ricorrendo ad un approccio nel dominio della frequenza
linearizzato in un intorno della frequenza ridotta Kθ ∼ Kθw, si ricava:
ζ o
θ = Co ∗ θθ (Kθ)
4Iθωθ
Ω o
θ = Ko ∗ θθ (Kθ)
Kθθ
(3.43)
(3.44)
In particolare, la risposta della struttura è stabile se risulta ζθ + ζ o
θ > 0 con
U ∼ = Uw, altrimenti si ha una condizione di instabilità dinamica analoga a quella
relativa al caso di risposta nella direzione ortogonale alla corrente e detta, anche in
questo caso, di sincronizzazione. La condizione critica al limite di stabilità ζθ+ζ o
θ = 0
conduce, in regime linearizzato, alla relazione:
C o ∗ θθ (Kθ) = −4Iθωθζθ
(3.45)
La quantità Ω o
θ definita nella (3.44) è in generale non significativa se il grado di
libertà torsionale θ non risulta sostanzialmente accoppiato con quello trasversale v.
La figura 3.6 riassume le regioni di instabilità dinamica per la risposta torsionale
della struttura. Per essa valgono considerazioni analoghe a quelle svolte per la figura
3.4.
8 Si tenga presente che si considera la condizione limite per K → 0, i.e. ω → 0, in quanto
l’instabilità di divergenza rappresenta, come più volte detto, un fenomeno di natura statica.

-4I
R oC’ m
C o (K )
*
U w
Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 87
min{U c, U d}
[ RoC’ m 0 ] [ C -4I ] [U Uw ] Lock-in
o (K )
*
[ RoC’ m < 0 ] [( C > -4I ) (Uw > U*)] [U U* ] Galloping (o flutter) / Divergenza
o (K )
[ RoC’ m < 0 ] [ C -4I ] [Uw < U*]
U U*
U Uw Galloping (o flutter) / Divergenza
Lock-in
o (K )
*
*
U
-4I
R o C’ m
C o (K )
*
min{U c, U d}
U*=min{U c, U d}
Fig. 3.6: Regioni di instabilità dinamica per la risposta torsionale.
È il caso di osservare che, per le strutture snelle con sezioni trasversali non
compatte, qualora l’angolo medio di incidenza della corrente risulti prossimo a quello
di stallo statico per la sezione può presentarsi una particolare condizione di flutter
torsionale ad un grado di libertà, detto stall flutter (o stallo dinamico).
In particolare, il termine stall flutter è generalmente associato alle vibrazioni
periodiche autoeccitate di una struttura dotata di determinate caratteristiche di
inerzia e di elasticità sulla quale, durante il suo moto di oscillazione, si presenta una
condizione di accentuata o totale separazione dello strato limite del flusso [3.28].
La differenza fondamentale quindi tra il flutter classico e lo stall flutter risiede nel
carattere del flusso circostante la struttura. Il fenomeno, osservato ed analizzato ini-
zialmente in campo aeronautico oltre che, in particolari condizioni, su pale di turbine
e compressori, può dar luogo alla perdita di funzionalità e di integrità strutturale
anche nel caso di ponti di grande luce. Esso si manifesta tramite vibrazioni di pre-
dominante carattere torsionale, le quali, rispetto al caso di flutter classico perdono
di armonicità. Inoltre, l’esperienza mostra che la frequenza principale di oscillazione
risulta praticamente coincidente con quella naturale torsionale della struttura in aria
calma.
Come premesso, il fenomeno detto si verifica quando l’angolo di incidenza medio
del flusso diviene prossimo a quello di stallo statico αst, i.e. all’angolo di incidenza, a
profilo fisso nella corrente, per il quale si determina una perdita brusca di momento
U w
U

88 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
U
Fig. 3.7: Definizione dell’angolo medio di incidenza γ.
aerodinamico e/o di portanza. Da un punto di vista sperimentale si osserva che
generalmente la condizione critica di stall flutter si attinge in corrispondenza di una
velocità della corrente notevolmente inferiore rispetto a quella che caratterizza la
corrispondente instabilità dinamica per angoli medi di incidenza prossimi a zero.
Riferendosi a sezioni da ponte, se si assume che le oscillazioni della struttura
attorno alla posizione di stallo statico avvengano, in prima approssimazione, in mo-
do sinusoidale secondo una legge del tipo θ(t) = θ + θoe iωt , il momento torcente
aeroelastico può rappresentarsi tramite una relazione lineare alla Scanlan (cf. eq.
(2.95)) ([3.13], [3.17])
M a 1
θ (t) =
2 ρU 2 B 2
KA ∗ 2(K, αst) B ˙ θ(t)
U + K2A ∗
3(K, αst)(θ(t) − θ)
(3.46)
essendo θ l’angolo medio di torsione della struttura associato al contributo medio di
momento aerodinamico ed assumendo (figura 3.7) αst ∼ = γ = α − θ.
Le condizioni critiche per la velocità della corrente incidente e per la pulsazione
della struttura possono allora determinarsi tramite le relazioni (3.39-3.40), note che
siano le funzioni A∗ 2 (K, αst) e A∗ 3 (K, αst).
Se si considera una sezione trasversale profilata l’analisi dello stall flutter può
compiersi mediante l’approccio di Ragget [3.19] secondo il quale, in un intorno del-
l’angolo di stallo statico, il momento torcente aeroelastico (3.46) può esprimersi
ponendo:
KA ∗ 2 = − SM
π
+ FM +
4 2SM
4GM
K
K 2 A ∗ 3 = − KSM
2FM GM
−
2 K 2
(3.47)
(3.48)
essendo SM la pendenza dell’andamento del momento torcente statico al variare
dell’angolo di incidenza ed in prossimità dell’angolo di stallo statico, i.e. SM =

dCm
dγ
αst
Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 89
9 . Nelle relazioni (3.47-3.48) le quantità FM e GM rappresentano funzioni
del tipo quelle di Theodorsen, modificate rispetto a queste ultime al fine di portare
in conto le condizioni di distacco del flusso in corrispondenza della parte posteriore
del profilo. Esse si approssimano come:
π + 2SM
FM(K) = 1 −
2SM 1 + π
+
0.6 2
K 2SM 1 + (3.49)
6 2
K
0.3(π + 2SM)
GM(K) = −
KSM 1 + 3π
+
0.6 2
K KSM 1 + (3.50)
6 2
K
È il caso di osservare che l’approccio di Ragget, pur basandosi sulla considera-
zione di sezioni profilate di tipo aeronautico, può fornire utili indicazioni di massima
anche nel caso di sezioni con un limitato carattere geometrico di tipo bluff-body,
usuali nei moderni ponti di grande luce per i quali l’aspetto aerodinamico è divenuto
peculiare di una corretta progettazione [3.17].
3.2.2 Flutter accoppiato
Alla luce delle considerazioni sin qui svolte è possibile osservare che nel caso di
sezioni profilate, quali quelle adottate in ambito aeronautico, il fenomeno del flutter
presenta peculiarità differenti da quelle relative a sezioni di tipo bluff-body.
Per un profilo alare, assumendo che il suo centro di massa non sia eccessivamente
discosto dal centro elastico (a ∼ = 0, cf. figura 2.15) e che α ∼ = 0, si ha che l’insorgere
di una condizione di flutter ad un solo grado di libertà è praticamente impossibile.
Infatti, in questo caso i coefficienti di Scanlan H ∗ 1 e A∗2 risultano sempre negativi
qualunque sia il valore di K (cf. figure 2.19, 2.20). Conseguentemente oscillazioni
disaccoppiate nei gradi di libertà v e θ sono sempre smorzate positivamente (cf.
equazioni (3.23), (3.37)). Pertanto, l’unica tipologia di flutter che può occorrere
nel caso di profili alari è quello di tipo accoppiato, i.e. connesso all’oscillazione
combinata relativa a più gradi di libertà.
Di contro, le strutture con sezioni di tipo non profilato, vista la possibilità concre-
ta che H∗ 1 e A∗2 assumano valori positivi, possono essere caratterizzate da condizioni
di flutter ad un grado di libertà. È questo il caso dei ponti di grande luce con par-
ticolari sezioni trasversali (cf. figure 2.19, 2.20), quale quella del primo ponte di
Tacoma.
Va detto comunque che, anche nel caso di sezioni non profilate, qualora risulti
significativa nella risposta della struttura l’influenza dei termini di accoppiamento,
9 Si noti che SM tende a −π/2 quando αst tende a zero, in accordo con la teoria classica dei
profili alari.

90 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
l’instabilità detta si presenta interessando contemporaneamente più gradi di libertà.
In particolare, di notevole interesse pratico è la considerazione del fenomeno del
flutter accoppiato flesso-torsionale, i.e. relativo ai gradi di libertà v e θ.
Si consideri per il cilindro fin qui esaminato una sezione trasversale S non com-
patta, quale ad esempio un profilo alare o una tipica sezione da ponte. Si adotti la
notazione introdotta nella figura 2.18 e si assuma che detta sezione possa subire spo-
stamenti lungo i suoi tre gradi di libertà nel piano. Inoltre, si assuma, senza perdere
troppo di generalità, che le condizioni di smorzamento e rigidezza strutturali siano
disaccoppiate nei tre gradi di libertà e che il centro elastico CE di S sia coincidente
con il suo centro di massa CM, posizionato per simmetria nella mezzeria della corda
principale della sezione. Indicati con m e Iθ rispettivamente la massa ed il momento
di inerzia polare (rispetto a CM) per unità di lunghezza della struttura, le equazioni
omogenee del moto possono allora porsi nella forma:
m ü(t) + 2ζuωu ˙u(t) + ω 2 uu(t) = F a x (t) (3.51)
m ¨v(t) + 2ζvωv ˙v(t) + ω 2 vv(t) = F a y (t) (3.52)
¨θ(t) + 2ζθωθ ˙ θ(t) + ω 2 θθ(t)
Iθ
= M a θ (t) (3.53)
avendo assunta valida la simbologia precedentemente introdotta ed avendo indicato
con F a x , F a y e M a θ le azioni aeroelastiche riferite a CM 10 . Queste, nel caso di pertur-
bazioni del sistema di tipo armonico ed in assenza di fenomeni di vortex-shedding,
possono esprimersi per il tramite delle relazioni (2.93-2.95) 11 . In questo caso, vista
la dipendenza delle forze aeroelastiche dalla frequenza ridotta di oscillazione, la ca-
ratterizzazione analitica delle condizioni di instabilità da flutter non è agevole come
nel caso prettamente quasi-stazionario.
Ricordando che la condizione al limite di stabilità corrisponde al caso in cui i
poli dell’equazione caratteristica risultino a parte reale nulla, in condizioni critiche
la soluzione delle equazioni (3.51-3.53) si può porre nella forma:
10 La trattazione che si presenta resta formalmente identica, a meno di una corretta interpreta-
zione dei simboli, qualora sia le azioni aeroelastiche del vento che le componenti di spostamento
della sezione siano rappresentate nel riferimento (O, xo, yo), i.e. (cf. figura 2.18) rispetto agli
assi orizzontale e verticale piuttosto che rispetto alla direzione della corrente media ed alla sua
ortogonale.
11 Si vuole far notare che descrivendo le azioni aeroelastiche tramite le (2.93-2.95) non si tengono
in conto in modo diretto gli eventuali effetti di interazione connessi alla turbolenza del flusso inci-
dente. Questi possono tuttavia considerarsi in modo indiretto, come già osservato in precedenza (cf.
capitolo 2), valutando le derivate di flutter in regime turbolento. D’altra parte, è possibile verificare
[3.22] che l’utilizzo delle derivate di flutter estratte in regime laminare è conservativo relativamente
alla condizione di stabilità della struttura.

assumendo ω reale.
u = uoe iωt
Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 91
v = voe iωt
θ = θoe iωt
(3.54)
Sostituendo le (3.54) nelle (3.51-3.53) si ottiene un sistema di tre equazioni omo-
genee nelle tre incognite uo, vo, θo. La soluzione non banale si ricava allora imponen-
do nullo il determinante di tale sistema. Da tale condizione, in generale complessa,
considerando uguagliata a zero sia la sua parte reale che quella immaginaria, si
deducono due equazioni reali. In particolare, la parte reale fornisce:
mentre da quella immaginaria risulta:
r6Ω 6 + r5Ω 5 + r4Ω 4 + r3Ω 3 + r2Ω 2 + r0 = 0 (3.55)
g5Ω 5 + g4Ω 4 + g3Ω 3 + g2Ω 2 + g1Ω + g0 = 0 (3.56)
avendo posto Ω = ω
ωv .
Introducendo i seguenti parametri adimensionali:
φ = ωθ
ωv
ψ = ωu
ωv
i coefficienti del tipo rj, gj risultano pari a:
1
r2 = −
2 H∗
4 β + 1
r0 = ψ 2 φ 2
−4ζu (ζθ + ζvφ) φψ −
β = ρB2
m
φ 2 + 4ζvζθφ + 1
1 + 1
2 P ∗ 4 β
Γ = mB2
Iθ
2 A∗
3βΓ + 1
φ 2
ψ 2
(3.57)
(3.58)
(3.59)
r3 = β (H ∗ 1 ζθφ + ζvA ∗ 2Γ) ψ 2 ∗
+ βζu H1 φ 2 + A ∗ 2Γ ψ + βP ∗ 1 φ (ζvφ + ζθ) (3.60)
r4 = 1 ∗
4 − (H3 A
4
∗ 4 − H ∗ 4 A ∗ 3 − H ∗ 2 A ∗ 1 + H ∗ 1 A ∗ 2) Γβ 2 + 2 (A ∗ 3Γ + H ∗ 4 ) β ψ 2
+2ζu [ζθ (H ∗ 4 β + 2) φ + ζv (A ∗ 3βΓ + 2)] ψ + 2ζvζθ (P ∗ 4 β + 2) φ (3.61)
+ 1
4
(−H ∗ 6 P ∗ 6 + P ∗ 4 H ∗ 4 + H ∗ 5 P ∗ 5 − P ∗ 1 H ∗ 1 ) β 2 + 2(H ∗ 4 + P ∗ 4 )β + 4 φ 2
+ 1
4 (A∗ 5P ∗ 2 − A ∗ 6P ∗ 3 + P ∗ 4 A ∗ 3 − P ∗ 1 A ∗ 2) Γβ 2 + 1
2 (A∗ 3Γ + P ∗ 4 )β + 1

92 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
1
r5 = −ζuβ
2 (H∗ 4 A ∗ 2 + H ∗ 1 A ∗ 3 − H ∗ 3 A ∗ 1 − H ∗ 2 A ∗ 4) Γβ + (H ∗ 1 + A ∗
2Γ) ψ
1
−ζvβ
2 (P ∗ 4 A ∗ 2 + P ∗ 1 A ∗ 3 − A ∗ 6P ∗ 2 − A ∗ 5P ∗ 3 ) Γβ + (P ∗ 1 + A ∗
2Γ) (3.62)
1
−ζθβ
2 (P ∗ 1 H ∗ 4 − H ∗ 6 P ∗ 5 − H ∗ 5 P ∗ 6 + P ∗ 4 H ∗ 1 ) β + (P ∗ 1 + H ∗
1 ) φ
r6 = 1
8 [(H∗ 5 P ∗ 3 + H ∗ 6 P ∗ 2 − P ∗ 1 H ∗ 3 − P ∗ 4 H ∗ 2 ) A ∗ 1
+ (P ∗ 4 H ∗ 1 − P ∗ 5 H ∗ 6 − P ∗ 6 H ∗ 5 + H ∗ 4 P ∗ 1 ) A ∗ 2
+ (P ∗ 1 H ∗ 1 − H ∗ 5 P ∗ 5 + H ∗ 6 P ∗ 6 − P ∗ 4 H ∗ 4 ) A ∗ 3
+ (H ∗ 5 P ∗ 2 − H ∗ 6 P ∗ 3 + P ∗ 4 H ∗ 3 − P ∗ 1 H ∗ 2 ) A ∗ 4
+ (P ∗ 6 H ∗ 2 − P ∗ 2 H ∗ 4 − P ∗ 3 H ∗ 1 + P ∗ 5 H3) A ∗ 5
+ (P ∗ 3 H ∗ 4 + P ∗ 5 H ∗ 2 − P ∗ 6 H ∗ 3 − P ∗ 2 H ∗ 1 ) A ∗ 6] Γβ 3
+ 1
4 {[−H∗ 2 A ∗ 1 + (P ∗ 1 + H ∗ 1 )A2 − (H ∗ 4 + P ∗ 4 )A ∗ 3 + H ∗ 3 A ∗ 4
−A ∗ 5P ∗ 2 + A ∗ 6P ∗ 3 ] Γ − P ∗ 4 H ∗ 4 + P1H1 − H ∗ 5 P ∗ 5 + H ∗ 6 P ∗ 6 } β 2
− 1
2 (P ∗ 4 + H ∗ 4 + A ∗ 3Γ)β − 1
(3.63)
g0 = 2(ζvφ 2 + ζθφ)ψ 2 + 2ζuφ 2 ψ (3.64)
g1 = − 1
2 β (H ∗ 1 φ 2 + A ∗ 2Γ)ψ 2 + P ∗ 1 φ 2
g2 = − [ζθ(H ∗ 4 β + 2)φ + ζv(A ∗ 3βΓ + 2)] ψ 2
(3.65)
+ ζu(H ∗ 4 β + 2)φ 2 + 8ζuζvζθφ + ζu(A ∗ 3βΓ + 2) ψ (3.66)
+ [ζv(P ∗ 4 β + 2)φ + ζθ(P ∗ 4 β + 2)] φ}
g3 = 1
4 β [(H∗ 4 A ∗ 2 + H ∗ 1 A ∗ 3 − H ∗ 3 A ∗ 1 − H ∗ 2 A ∗ 4)Γβ + 2(H ∗ 1 + A ∗ 2Γ)] ψ 2
+2ζuβ(H ∗ 1 ζθφ + ζvA ∗ 2Γ)ψ + 2βP ∗ 1 ζvζθφ (3.67)
+ 1
4 β [(H∗ 4 P ∗ 1 − P ∗ 6 H ∗ 5 − H ∗ 6 P ∗ 5 + H ∗ 1 P ∗ 4 )β + 2(P ∗ 1 + H ∗ 1 )] φ 2
+ 1
4 β [(−A∗ 6P ∗ 2 − P ∗ 3 A ∗ 5 + A ∗ 2P ∗ 4 + A ∗ 3P ∗ 1 )Γβ + 2(A ∗ 2Γ + P ∗ 1 )]

Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 93
1
g4 = ζuβ
2 (H∗ 2 A ∗ 1 − H ∗ 3 A ∗ 4 + H ∗ 4 A ∗ 3 − H ∗ 1 A ∗ 2)Γβ + (A ∗ 3Γ + H ∗
4 ) ψ
1
+ζvβ
2 (P ∗ 4 A ∗ 3 − A ∗ 6P ∗ 3 + A ∗ 5P ∗ 2 − P ∗ 1 A ∗ 2)Γβ + (A ∗ 3Γ + P ∗
4 )
1
+ζθβ
2 (−P ∗ 1 H ∗ 1 + P ∗ 4 H ∗ 4 − H ∗ 6 P ∗ 6 + H ∗ 5 P ∗ 5 )β + (H ∗ 4 + P ∗
4 ) φ
+2(ζuψ + ζθφ + ζv)
g5 = 1
8 [(−P ∗ 1 H ∗ 2 + H ∗ 5 P ∗ 2 + P ∗ 4 H ∗ 3 − H ∗ 6 P ∗ 3 )A ∗ 1
+(P ∗ 1 H ∗ 1 − P ∗ 4 H ∗ 4 + H ∗ 6 P ∗ 6 − H ∗ 5 P ∗ 5 )A ∗ 2
+(P ∗ 6 H ∗ 5 − H ∗ 1 P ∗ 4 + H ∗ 6 P ∗ 5 − H ∗ 4 P ∗ 1 )A ∗ 3
+(−H ∗ 6 P ∗ 2 + P ∗ 1 H ∗ 3 − H ∗ 5 P ∗ 3 + P ∗ 4 H ∗ 2 )A ∗ 4
+(−P ∗ 6 H ∗ 3 − P ∗ 2 H ∗ 1 + P ∗ 5 H ∗ 2 + P ∗ 3 H ∗ 4 )A ∗ 5
+(−P ∗ 5 H ∗ 3 − P ∗ 6 H ∗ 2 + P ∗ 2 H ∗ 4 + P ∗ 3 H ∗ 1 )A ∗ 6] Γβ 3
+ 1
4 {[H∗ 3 A ∗ 1 − (P ∗ 4 + H ∗ 4 )A ∗ 2 − (H ∗ 1 + P ∗ 1 )A ∗ 3 + H ∗ 2 A ∗ 4 + P ∗ 3 A ∗ 5
+A ∗ 6P ∗ 2 ] Γ − H ∗ 1 P ∗ 4 + P ∗ 6 H ∗ 5 + H ∗ 6 P ∗ 5 − H ∗ 4 P ∗ 1 } β 2
− 1
2 (H∗ 1 + A ∗ 2Γ + P ∗ 1 )β
(3.68)
(3.69)
Le equazioni (3.55) e (3.56), risolte in modo iterativo al variare della frequenza
ridotta K, consentono di determinare i valori critici di flutter Kc e Ωc, i.e. equiva-
lentemente Uc e ωc, essendo Uc la condizione critica di velocità del vento incidente
e ωc la pulsazione critica di oscillazione della struttura.
Nel caso in cui si considerino significativi solo i due gradi di libertà v e θ del
sistema, dalle (3.55-3.56) è possibile banalmente ricavare le corrispondenti equazioni
caratteristiche di flutter accoppiato flesso-torsionale. In particolare, dalla (3.55)
risulta:
Ω 4
1
4 (H∗ 2 A ∗ 1 − H ∗ 1 A ∗ 2 − H ∗ 3 A ∗ 4 + H ∗ 4 A ∗ 3)Γβ 2 + 1
2 (A∗3Γ + H ∗
4 )β + 1
+Ω 3 [β(H ∗ 1 ζθφ + ζvA ∗ 2Γ)] (3.70)
−Ω 2
mentre dalla (3.56) si ha:
(1 + 1
2 H∗ 4 β)φ 2 + 4ζvζθφ + 1 + 1
2 A∗
3βΓ
+ φ 2 = 0

94 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
U
C A
Forza
aerodinamica
B/4
y o
CE=C M
x o
Fig. 3.8: Riduzione della coppia aerodinamica tramite l’aggiunta della massa eccentrica
∆m.
m
C A
C M

Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 95
essendo ∆m la massa eccentrica per unità di lunghezza posta all’ascissa ˆx ed avendo
posto:
µm = ∆m
m
Iθ = Iθ + mˆx 2
ωv = ωv
m = m(1 + µm) e = ˆx µm
1 + µm
1 −
1
µm
1 + µm
1 + µm
2
2
µm
µm +
1 + µm
ωθ = ωθ
Iθ
Iθ
(3.74)
(3.75)
(3.76)
dove m, Iθ, ωv, ωθ si riferiscono alla struttura senza massa eccentrica ∆m, mentre
con (·) si indicano le corrispondenti quantità nel caso in cui questa sia presente.
In definitiva, le equazioni caratteristiche di flutter, analoghe alle (3.70-3.71),
assumono per il caso in esame la seguente forma:
Ω 4
1
4 (H∗ 2 A ∗ 1 − H ∗ 1 A ∗ 2 − H ∗ 3 A ∗ 4 + H ∗ 4 A ∗ 3) Γ β 2 + 1
2 (A∗3 Γ + H ∗ 4 )
β + 1
− Ω 4
Γe2 1
+
B2 2B β Γ(A ∗ 4 + H ∗
3 )e
+ Ω 3 β(H ∗
1 ζθ φ + ζvA ∗ 2
Γ)
(3.77)
− Ω 2
(1 + 1
2 H∗ 4 β) φ 2 + 4ζvζθ φ + 1 + 1
2 A∗3 β
Γ + φ 2 = 0
Ω 3
1
4 (H∗ 4 A ∗ 2 − H ∗ 2 A ∗ 4 − H ∗ 3 A ∗ 1 + H ∗ 1 A ∗ 3) Γ β 2 + 1
2 (A∗2 Γ + H ∗ 1 )
β
− Ω 3
1
2B β
Γ(H2 + A1)e
−
2
Ω (H ∗ 4 ζθ β + 2ζθ) φ + ζvA ∗ 3 β
Γ + 2ζv
− Ω
βH ∗ 2 1 φ + βA ∗ 2Γ + 2
2
φ(ζv φ + ζθ) = 0
(3.78)
È immediato osservare che, rispetto alle (3.70-3.71), l’eccentricità e modifica
solo il termine del quarto ordine per l’equazione derivante dalla parte reale della
condizione di flutter e quello del terzo ordine per l’equazione relativa alla parte
immaginaria.

96 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
3.3 Strutture flessibili: i ponti di grande luce. Approc-
cio modale
3.3.1 Equazioni del moto
Si consideri la travata di un ponte di grande luce soggetta alle azioni del vento,
supposto incidente ortogonalmente alla sua linea d’asse e con caratteristiche, come
sin qui assunto, praticamente bidimensionali. A differenza di quanto sino ad ora
analizzato, si assuma la struttura flessibile ed a comportamento elastico lineare.
Detta z la coordinata lungo la linea d’asse della sua generica sezione trasversale e
supposta quest’ultima indeformabile e simmetrica rispetto ad un asse ortogonale alla
sua corda principale, le funzioni che ne caratterizzano lo spostamento nel suo piano
di rappresentazione risultano: u = u(z, s), v = v(z, s), θ = θ(z, s), avendo introdotto
il tempo adimensionale s = Ut/B ed essendo B la dimensione della corda principale
del profilo, supposta costante con z.
Utilizzando un approccio di decomposizione modale [3.24] è possibile porre:
u(z, s) =
v(z, s) =
θ(z, s) =
N
uj(z)Bξj(s) (3.79)
j=1
N
vj(z)Bξj(s) (3.80)
j=1
N
θj(z)ξj(s) (3.81)
j=1
essendo uj(z), vj(z) e θj(z) rispettivamente le funzioni di forma relative al modo
naturale j-esimo e ξj(s) la coordinata adimensionale generalizzata ad esso relativa 13 .
Si assuma, senza perdere troppo di generalità, che i diversi modi naturali sia-
no disaccoppiati dal punto di vista strutturale e che siano mutuamente ortogonali
rispetto all’operazione di media pesata con la massa della struttura per unità di
lunghezza m(z) 14 e con il momento di inerzia polare specifico Iθ(z) valutato rispetto
al centro di massa della sezione, i.e.
ℓ
0
B 2 m(z) [ui(z)uj(z) + vi(z)vj(z)] + Iθ(z)θi(z)θj(z) dz = 0 (i = j) (3.82)
essendo ℓ la lunghezza dell’impalcato.
13 È appena il caso di osservare che tale rappresentazione è esatta per N → ∞.
14 Si assume implicitamente che la distribuzione di massa m(z) non presenti eccentricità lungo la
linea d’asse della struttura.

Strutture flessibili: i ponti di grande luce. Approccio modale 97
Introducendo al solito la notazione ˙
(·) = d(·)
dt
U d(·)
= B ds
moto per il modo j-esimo risulta allora ([3.11], [3.23]):
ξ ′′
j + 2ζjKjξ ′ j + K 2 j ξj = B2
U 2
Qj(s)
Ij
= U
B (·)′ , l’equazione del
(3.83)
essendo, per il modo in esame, Kj = ωjB
U la frequenza ridotta naturale, ζj il coefficiente
di smorzamento strutturale relativo alla condizione di smorzamento critico e
Ij l’inerzia generalizzata del sistema definita come
Ij =
ℓ
0
B 2 m(z) u 2 j(z) + v 2 j (z) + Iθ(z)θ 2 j (z) dz (3.84)
Inoltre,la quantità Qj(s) rappresenta la forza generalizzata relativa al modo j-
esimo ed è definita come:
Qj(s) =
ℓ
0
[D(z, s)uj(z)B + L(z, s)vj(z)B + M(z, s)θj(z)] dz (3.85)
essendo D(z, s), L(z, s) e M(z, s) rispettivamente le azioni totali per unità di lun-
ghezza di resistenza, portanza e momento prodotte dal vento ed esprimibili in
generale nella forma (2.112), i.e. come somma delle aliquote medie di buffeting,
aeroelastiche e di interazione.
Se si assumono trascurabili i contributi di interazione tra le forze di buffeting
e quelle aeroelastiche ed inoltre, se la configurazione di riferimento della struttura
rispetto alla quale si valutano le funzioni u, v, θ è assunta coincidente con quella
deformata sotto l’azione delle forze aerodinamiche medie stazionarie, risulta:
D = Dae + Db L = Lae + Lb M = Mae + Mb (3.86)
essendo le quantità aeroelastiche (ae) definite rispettivamente tramite le (2.113),
(2.115), (2.117) e quelle di buffeting dalle (2.37-2.39). D’altro canto, nel caso di
oscillazioni puramente sinusoidali ed in assenza di fenomeni di vortex-shedding, le
azioni aeroelastiche si rappresentano, al solito, nel formato alla Scanlan espresso
dalle (2.93-2.95) (cf. nota 11 di questo capitolo).
risulta:
La trasformata di Fourier dell’equazione del moto (3.83) per il modo j-esimo
2
Kj − K 2
+ 2iζjKKj ξj = Qaej (K) + Qbj (K) (3.87)

98 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
essendo dalle (2.41) e (2.103-2.105)
Qaej (K) =
Qbj (K) = ρB4 ℓ
2Ij
ρB4K 2 N
ℓ
2Ij
n=1
ξn
(iH ∗ 1 + H ∗ 4 ) vnvj + (iH∗ 2 + H ∗ 3 ) θnvj +
+ (iH ∗ 5 + H ∗ 6 ) unvj + (iA∗ 1 + A ∗ 4) vnθj + (iA∗ 2 + A ∗ 3) θnθj
+ (iA ∗ 5 + A ∗ 6) unθj + (iP ∗ 1 + P ∗ 4 ) unuj + (iP ∗ 2 + P ∗ 3 ) θnuj
+ (iP ∗ 5 + P ∗ 6 ) vnuj
ℓ
0
dz
Cdb(z, K)uj + Cℓb(z, K)vj + Cmb(z, K)θj
ℓ
(3.88)
(3.89)
Nella relazione (3.88) le quantità del tipo (F )rnqj (K) con rj, qj = uj, vj o θj sono
definite come:
(F )rnqj (K) =
ℓ
0
F (z, K)rn(z)qj(z) dz
ℓ
(3.90)
Pertanto, si perviene al sistema di equazioni nel dominio della frequenza che in
forma matriciale risulta:
essendo
E(K)ξ = Qb(K) (3.91)
Ejn(K) = −K 2 δjn + iKAjn(K) + Bjn(K) (3.92)
dove δjn rappresenta il simbolo di Kronecker e
Ajn(K) = 2ζjKjδjn − ρB4 Kℓ
2Ij
(H ∗ 1 )vnvj + (H∗ 2 )θnvj + (H∗ 5 )unvj
(3.93)
+ (A ∗ 1)vnθj + (A∗ 2)θnθj + (A∗ 5)unθj + (P ∗ 1 )unuj + (P ∗ 2 )θnuj + (P ∗ 5 )vnuj
Bjn(K) = K 2 j δjn − ρB4 K 2 ℓ
2Ij
(H ∗ 3 )θnvj + (H∗ 4 )vnvj + (H∗ 6 )unvj
(3.94)
+ (A ∗ 3)θnθj + (A∗ 4)vnθj + (A∗ 6)unθj + (P ∗ 3 )θnuj + (P ∗ 4 )unuj + (P ∗ 6 )vnuj
Nelle relazioni (3.88) e (3.89) si è implicitamente assunto che sia i termini del
tipo Cpb (p = d, ℓ, θ) che le derivate di flutter dipendano in generale dalla coordinata
z. Tale dipendenza deriva dalla variazione con z dell’angolo di incidenza medio
γ ed inoltre dalle condizioni di turbolenza, i.e. dalla variabilità stocastica delle
componenti fluttuanti di velocità del vento ũ e ˜v, oltre che dalla perdita di coerenza
laterale causata dall’effettiva tridimensionalità del flusso circostante la struttura.

Strutture flessibili: i ponti di grande luce. Approccio modale 99
3.3.2 Condizioni di instabilità
Riferendosi alla notazione introdotta in figura 3.7, al fine di caratterizzare l’angolo
medio di incidenza della corrente γ(z) oltre che la condizione critica di divergenza,
è necessario valutare l’angolo medio di torsione θ(z) della travata, i.e. l’angolo di
torsione relativo alle componenti delle forze aerodinamiche medie.
In particolare, relativamente al grado di libertà θ ed attraverso un approccio
modale di tipo statico, concreto nell’utilizzo della relazione (3.83) priva dei termini
derivati nel tempo, risulta:
γ(z) = α − θ(z) = α −
N
j=1
θj(z) ρB4 ℓ
2I ∗ j K2 j
ℓ
0
[C eq
m (γ(z))θj(z)] dz
ℓ
(3.95)
essendo C eq
m il coefficiente di momento torcente equivalente, i.e. relativo al momento
torcente aerodinamico riferito non già al centro di massa della sezione ma al centro
effettivo di rotazione [3.24]. Analogamente I ∗ j
rappresenta l’inerzia generalizzata as-
sociata al momento di inerzia polare specifico rispetto al centro di rotazione effettivo.
In particolare, si pone:
C eq
m (γ) = Cm(γ) − xcrCℓ(γ) + ycrCd(γ) (3.96)
dove Cd, Cℓ e Cm sono riferiti al centro di massa della sezione e xcr, ycr rappresentano
le coordinate del centro effettivo di rotazione nel piano di S.
È evidente che la soluzione dell’equazione (3.95) per una data velocità U del vento
non può che essere ottenuta iterativamente ed inoltre che il processo convergerà per
ogni valore della velocità del vento eccetto che per la velocità critica di divergenza.
Il problema è in un certo senso semplificato se si assume che C eq
m (γ) sia approssimabile
in modo lineare in un intorno di α:
C eq
m (γ) = C eq
m (α) − dCeq
m
dγ
cosicchè dalla condizione di equilibrio statico globale risulta:
essendo
Dξ = M ⇒ γ(z) = α −
Dij = δij + ρB4 ℓ
ℓ
α
θ(z) (3.97)
N
θj(z) D −1 M
j=1
dC eq
m
dγ
2I∗ i K2
i 0 α
Mi = ρB4ℓ 2I∗ i K2 ℓ
C
i 0
eq
m (α)θi(z) dz
ℓ
θi(z)θj(z) dz
ℓ
j
(3.98)
(3.99)
(3.100)

100 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
La condizione critica di divergenza è allora espressa banalmente come:
det[D] = 0 (3.101)
Per quanto riguarda la stabilità dinamica della struttura, in virtù delle conside-
razioni sin qui svolte e vista la natura lineare dell’equazione (3.91), è chiaro che essa
non risulta influenzata dai termini di buffeting. In particolare, la condizione critica
di flutter è espressa imponendo che il sistema omogeneo
E(K)ξ = 0 (3.102)
non abbia soluzione banale e quindi, equivalentemente, imponendo che
det[E(K)] = 0 (3.103)
Tale relazione è rappresentata da un’equazione complessa e quindi equivale ad
imporre a zero sia la parte immaginaria che quella reale del determinante della
matrice di impedenza E. Ciò corrisponde, nel senso di un’analisi multimodale, al
raggiungimento di una soglia di smorzamento totale negativo per il sistema. La
velocità del vento critica di flutter è banalmente determinata una volta caratterizzata
la più alta frequenza ridotta che verifica la (3.103).
A fronte delle prove condotte in galleria del vento su modelli completi di ponti
di grande luce, l’esperienza mostra comunque che generalmente diviene instabile per
una certa velocità del vento un solo modo, il quale domina, in condizioni critiche
di flutter, la risposta dell’intero impalcato. Ciò è giustificabile a partire dalla consi-
derazione che spesso i contributi di accoppiamento modale dovuti al vento possono
ritenersi poco significativi.
È allora fondamentale caratterizzare la condizione di flutter nel caso in cui si
assuma che la risposta della struttura sia unimodale. In particolare, dall’equazione
del moto (3.87), imponendo che lo smorzamento totale del sistema sia negativo, si
ricava la condizione critica di flutter unimodale per il modo j-esimo [3.16]:
(P ∗ 1 )ujuj + (P ∗ 5 + H ∗ 5 )ujvj + (P ∗ 2 + A ∗ 5)ujθj + (H∗ 1 )vjvj
+(H ∗ 2 + A ∗ 1)vjθj + (A∗ 2)θjθj
4Ijζj
≥
ρB4 Kj
ℓ K
(3.104)
dove la quantità 4Ijζj
ρB4 può vedersi come una variante del numero di Scruton introdot-
ℓ
to nella (3.32). Inoltre, in condizioni di flutter incipiente il rapporto fra la pulsazione
naturale relativa al modo in esame e la pulsazione critica di flutter risulta:

Strutture flessibili: i ponti di grande luce. Approccio modale 101
K2 j
K2 = ω2 j
ω2 = 1 + ρB4ℓ ∗
(P4 )ujuj
2Ij
+ (P ∗ 6 + H ∗ 6 )ujvj + (P ∗ 3 + A ∗ 6)ujθj
+(H ∗ 4 )vjvj + (H∗ 3 + A ∗ 4)vjθj + (A∗ 3)θjθj
(3.105)
Vista la possibile perdita di coerenza lungo la coordinata z dei coefficienti di
Scanlan, è utile ricavare un criterio medio di flutter. In particolare, posto:
Æζj (z, K) = P ∗ 1 (K)u 2 j(z) + H ∗ 1 (K)v 2 j (z) + A ∗ 2(K)θ 2 j (z) (3.106)
+[P ∗ 5 (K) + H ∗ 5 (K)]uj(z)vj(z) + [P ∗ 2 (K) (3.107)
+A ∗ 5(K)]uj(z)θj(z) + [H ∗ 2 (K) + A ∗ 1(K)]vj(z)θj(z)
Ækj (z, K) = P ∗ 4 (K)u 2 j(z) + H ∗ 4 (K)v 2 j (z) + A ∗ 3(K)θ 2 j (z)
+[P ∗ 6 (K) + H ∗ 6 (K)]uj(z)vj(z) + [P ∗ 3 (K) (3.108)
+A ∗ 6(K)]uj(z)θj(z) + [H ∗ 3 (K) + A ∗ 4(K)]vj(z)θj(z)
la condizione (3.104) può riscriversi nella forma:
ℓ
0
Æζj (z, K)dz − 2ζj
ℓ
ℓ
0
Ækj (z, K)dz
ℓ
≥ 4Ijζj
ρB 4 ℓ
(3.109)
Moltiplicando entrambi i membri della (3.109) ciascuno per il corrispondente
complesso coniugato si ottiene il seguente criterio medio di flutter unimodale:
ℓ ℓ
0
−4ζj
+4ζ 2 j
Æζj (z1, K)Æζj (z2, K) dz1
ℓ
0
ℓ ℓ
0 0
ℓ ℓ
0
0
dz2
ℓ
Ækj (z1, K)Æζj (z2, K) dz1
ℓ
Ækj (z1, K)Ækj (z2, K) dz1
ℓ
dz2
ℓ
dz2
ℓ ≥
4Ijζj
ρB4 2 ℓ
(3.110)
In particolare, per ciascuno dei termini del tipo D ∗ i (z1, K)D ∗ j (z2, K), dove D ∗ i =
P ∗
i , H∗ i , A∗ i
è la generica derivata di flutter (i = 1, ..., 6), possono considerarsi leggi
esponenziali di perdita di coerenza del tipo (2.132):
D ∗ i (z1, K)D ∗ j (z2, K) = D ∗ i (K)D ∗ j (K)e − c D ij |z 1 −z 2 |
ℓ (3.111)
essendo D∗ i (K) la distribuzione uniforme lungo l’asse della struttura del generi-
co coefficiente di Scanlan e cDij un coefficiente valutabile sperimentalmente che
caratterizza il decadimento esponenziale.

102 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
È il caso di rimarcare che in presenza di corrente incidente turbolenta le prove
in galleria del vento hanno mostrato solo condizioni di miglioramento della stabilità
della struttura, pur essendo possibile, in linea di principio, un decremento della
velocità critica di flutter ([3.22], [3.23]).
Dalla (3.87), per la frequenza ridotta che tende a zero, si ricava infine la condi-
zione critica di divergenza unimodale imponendo l’uguaglianza a zero della rigidezza
totale del sistema (strutturale più aerodinamica) associata al modo j-esimo [3.16]:
U (j)
d
= lim
K→0
Ijω 2 j
ρB 2 K 2 ℓ
ℓ
3.3.3 Risposta alle azioni di buffeting
0
Ækj (z, K)dz
ℓ
− 1
2
(3.112)
Le vibrazioni della struttura connesse alle azioni di buffeting possono caratterizzarsi,
in termini di densità spettrali dei parametri di risposta, attraverso la soluzione del
sistema (3.91) utilizzando un’analisi standard di vibrazioni random. In particolare,
dalla considerazione del vettore Qb(K) dei termini di buffeting trasformati secondo
Fourier e definito tramite la (3.89), si introduce la matrice delle densità spettrali
SQb (K)
2
SQb (K) = lim
T →∞ T Qb(K) ⊗ Q ∗
b(K) (3.113)
di modo che, sfruttando la (3.91), la matrice delle densità spettrali relativa al vettore
delle coordinate generalizzate ξ risulta:
Sξ(K) = lim
T →∞
2
ξ(K) ⊗ ξ∗(K)
= [E(K)]
T −1 SQb (K)[E∗ (K)] −T
(3.114)
essendo E ∗ (K) la matrice complessa coniugata di E(K) ed avendo indicato con il
simbolo ⊗ l’operazione di prodotto tensoriale.
Assumendo trascurabili nelle (2.41) i termini quadratici e misti in ũ e ˜v e ri-
tenendo valida la corrispondente notazione, il generico termine di SQb
a:
[SQb ]ij =
ρB4 2
ℓ 1
2U
IiIj
ℓ ℓ
0
0
Sũ(z1, z2, K)Y ũũ
ij (z1, z2, K)
si pone pari
+S˜v(z1, z2, K)Y ˜v˜v
ij (z1, z2, K) + Sũ˜v(z1, z2, K)Y ũ˜v
ij (z1, z2, K)
+S˜vũ(z1, z2, K)Y ˜vũ
ij (z1, z2, K) dz1 dz2
ℓ ℓ
dove le funzioni del tipo Y pq
ij (z1, z2, K) risultano definite come:
(3.115)

Strutture flessibili: i ponti di grande luce. Approccio modale 103
Y pr
ij = [qi(z1)] T Ap[ψ p(K) ⊗ ψ ∗ r(K)]Ar[qj(z2)] (3.116)
essendo p, r = ũ, ˜v ed avendo introdotto:
- il vettore di forma generalizzato
qi(z) = ui(z), vi(z), θi(z)
- i vettori delle ammettenze aerodinamiche complesse
ψp(K) = ψ ′ dp (K), ψ′ ℓp (K), ψ′ mp(K)
T - le matrici diagonali dei coefficienti aerodinamici
⎡
Cd
⎢
Aũ = 2 ⎣ 0
0
Cℓ
0
0
⎤
⎥
⎦
⎡
C
⎢
A˜v = ⎣
′ d − Cℓ
0
0
Cd + C
0
′ ℓ 0
0 0 Cm
T
0 0 C ′ m
(3.117)
p = ũ, ˜v (3.118)
⎤
⎥
⎦ (3.119)
Le densità spettrali relative alle componenti turbolente di velocità ũ, ˜v possono
considerarsi reali (trascurando le parti immaginarie) ed essere approssimate attra-
verso leggi classiche di decadimento della coerenza laterale di tipo esponenziale (cf.
capitolo 1) [3.24]:
Sũ(z1, z2, K) ∼ = Sũ(K)e − c ũ |z 1 −z 2 |
ℓ (3.120)
S˜v(z1, z2, K) ∼ = S˜v(K)e − c ˜v |z 1 −z 2 |
ℓ (3.121)
in funzione degli spettri atmosferici Sũ(K) e S˜v(K).
I coefficienti di decadimento cũ e c˜v assumono in linea di principio valori differenti
tra loro e rispettano sperimentalmente nei casi di interesse la condizione [3.24]:
2Kℓ
πB ≤ cp ≤ 10Kℓ
πB
p = ũ, ˜v (3.122)
Tipiche rappresentazioni degli spettri atmosferici sono riportate nelle (1.15-1.17) 15 .
Pertanto, valutata tramite la (3.114) la matrice Sξ(K), è possibile caratterizzare
le densità spettrali delle singole componenti di spostamento come
Su(z1, z2, K) =
Sv(z1, z2, K) =
Sθ(z1, z2, K) =
N
i=1 j=1
N
i=1 j=1
N
i=1 j=1
N
B 2 ui(z1)uj(z2)[Sξ]ij
N
B 2 vi(z1)vj(z2)[Sξ]ij
N
θi(z1)θj(z2)[Sξ]ij
15 Lo spettro qui indicato con S˜v corrisponde allo spettro S ˜w riportato nella (1.17).
(3.123)

104 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento
e quindi i valori della varianza per le funzioni di spostamento risultano:
con r = u, v, θ.
σ 2 ∞
r(z1, z2) = Sr(z1, z2, K)dK (3.124)
0

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