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98 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento essendo dalle (2.41) e (2.103-2.105) Qaej (K) = Qbj (K) = ρB4 ℓ 2Ij ρB4K 2 N ℓ 2Ij n=1 ξn (iH ∗ 1 + H ∗ 4 ) vnvj + (iH∗ 2 + H ∗ 3 ) θnvj + + (iH ∗ 5 + H ∗ 6 ) unvj + (iA∗ 1 + A ∗ 4) vnθj + (iA∗ 2 + A ∗ 3) θnθj + (iA ∗ 5 + A ∗ 6) unθj + (iP ∗ 1 + P ∗ 4 ) unuj + (iP ∗ 2 + P ∗ 3 ) θnuj + (iP ∗ 5 + P ∗ 6 ) vnuj ℓ 0 dz Cdb(z, K)uj + Cℓb(z, K)vj + Cmb(z, K)θj ℓ (3.88) (3.89) Nella relazione (3.88) le quantità del tipo (F )rnqj (K) con rj, qj = uj, vj o θj sono definite come: (F )rnqj (K) = ℓ 0 F (z, K)rn(z)qj(z) dz ℓ (3.90) Pertanto, si perviene al sistema di equazioni nel dominio della frequenza che in forma matriciale risulta: essendo E(K)ξ = Qb(K) (3.91) Ejn(K) = −K 2 δjn + iKAjn(K) + Bjn(K) (3.92) dove δjn rappresenta il simbolo di Kronecker e Ajn(K) = 2ζjKjδjn − ρB4 Kℓ 2Ij (H ∗ 1 )vnvj + (H∗ 2 )θnvj + (H∗ 5 )unvj (3.93) + (A ∗ 1)vnθj + (A∗ 2)θnθj + (A∗ 5)unθj + (P ∗ 1 )unuj + (P ∗ 2 )θnuj + (P ∗ 5 )vnuj Bjn(K) = K 2 j δjn − ρB4 K 2 ℓ 2Ij (H ∗ 3 )θnvj + (H∗ 4 )vnvj + (H∗ 6 )unvj (3.94) + (A ∗ 3)θnθj + (A∗ 4)vnθj + (A∗ 6)unθj + (P ∗ 3 )θnuj + (P ∗ 4 )unuj + (P ∗ 6 )vnuj Nelle relazioni (3.88) e (3.89) si è implicitamente assunto che sia i termini del tipo Cpb (p = d, ℓ, θ) che le derivate di flutter dipendano in generale dalla coordinata z. Tale dipendenza deriva dalla variazione con z dell’angolo di incidenza medio γ ed inoltre dalle condizioni di turbolenza, i.e. dalla variabilità stocastica delle componenti fluttuanti di velocità del vento ũ e ˜v, oltre che dalla perdita di coerenza laterale causata dall’effettiva tridimensionalità del flusso circostante la struttura.
Strutture flessibili: i ponti di grande luce. Approccio modale 99 3.3.2 Condizioni di instabilità Riferendosi alla notazione introdotta in figura 3.7, al fine di caratterizzare l’angolo medio di incidenza della corrente γ(z) oltre che la condizione critica di divergenza, è necessario valutare l’angolo medio di torsione θ(z) della travata, i.e. l’angolo di torsione relativo alle componenti delle forze aerodinamiche medie. In particolare, relativamente al grado di libertà θ ed attraverso un approccio modale di tipo statico, concreto nell’utilizzo della relazione (3.83) priva dei termini derivati nel tempo, risulta: γ(z) = α − θ(z) = α − N j=1 θj(z) ρB4 ℓ 2I ∗ j K2 j ℓ 0 [C eq m (γ(z))θj(z)] dz ℓ (3.95) essendo C eq m il coefficiente di momento torcente equivalente, i.e. relativo al momento torcente aerodinamico riferito non già al centro di massa della sezione ma al centro effettivo di rotazione [3.24]. Analogamente I ∗ j rappresenta l’inerzia generalizzata as- sociata al momento di inerzia polare specifico rispetto al centro di rotazione effettivo. In particolare, si pone: C eq m (γ) = Cm(γ) − xcrCℓ(γ) + ycrCd(γ) (3.96) dove Cd, Cℓ e Cm sono riferiti al centro di massa della sezione e xcr, ycr rappresentano le coordinate del centro effettivo di rotazione nel piano di S. È evidente che la soluzione dell’equazione (3.95) per una data velocità U del vento non può che essere ottenuta iterativamente ed inoltre che il processo convergerà per ogni valore della velocità del vento eccetto che per la velocità critica di divergenza. Il problema è in un certo senso semplificato se si assume che C eq m (γ) sia approssimabile in modo lineare in un intorno di α: C eq m (γ) = C eq m (α) − dCeq m dγ cosicchè dalla condizione di equilibrio statico globale risulta: essendo Dξ = M ⇒ γ(z) = α − Dij = δij + ρB4 ℓ ℓ α θ(z) (3.97) N θj(z) D −1 M j=1 dC eq m dγ 2I∗ i K2 i 0 α Mi = ρB4ℓ 2I∗ i K2 ℓ C i 0 eq m (α)θi(z) dz ℓ θi(z)θj(z) dz ℓ j (3.98) (3.99) (3.100)
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