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Premesse 73
configurazione per raggiungerne un’altra stabile. Tale forma di instabilità è detta
divergenza o biforcazione statica dell’equilibrio e, com’è noto, la sua caratterizzazio-
ne può compiersi senza ricorrere necessariamente ad un approccio di tipo dinamico
(teoria euleriana della stabilità dell’equilibrio).
È il caso di sottolineare che per i sistemi conservativi la stabilità dell’equilibrio
può studiarsi in modo equivalente tramite un approccio di natura energetica. In
particolare, si dimostra (teorema di Dirichlet-Lagrange) che per i sistemi conservativi
una configurazione di equilibrio è stabile se corrispondentemente l’energia potenziale
Π del sistema presenta un punto di minimo isolato 4 [3.5].
Si considerino ora sistemi non conservativi la cui evoluzione dinamica, a partire
da uno stato di equilibrio, sia rappresentata in forma linearizzata sempre tramite
una condizione differenziale del tipo (3.1). In generale, in questo caso, a seguito
della perdita di simmetria di K le pulsazioni caratteristiche possono essere sia reali
che complesse coniugate (a parte reale non nulla). Pertanto, l’instabilità del sistema
si verifica quando la più piccola di tali pulsazioni assume valore nullo, come nel caso
dei sistemi conservativi, oppure quando due pulsazioni tendono l’una all’altra fino a
coincidere e quindi a diventare complesse coniugate.
Il caso corrispondente ad una pulsazione caratteristica nulla è simile a quello che
si ha per i sistemi conservativi e può caratterizzarsi mediante l’approccio euleriano,
pur essendo il sistema non conservativo. In questo caso l’instabilità è ancora detta
di divergenza anche se, in generale, può non esistere una configurazione alternativa
di equilibrio in cui la struttura possa portarsi. Numerosi autori hanno caratterizzato
le condizioni sotto le quali sistemi non conservativi del tipo (3.1) presentano solo
instabilità da divergenza ([3.9],[3.14],[3.29]). Tali sistemi sono anche detti sistemi
conservativi del secondo tipo.
Il caso relativo a pulsazioni caratteristiche complesse coniugate corrisponde ad
un’instabilità detta di flutter e la condizione di carico per la quale si ha la coincidenza
di due pulsazioni caratteristiche è detto carico di flutter. Se la condizione di carico è
maggiore di quella di flutter la perturbazione iniziale indurrà oscillazioni armoniche
della struttura di pulsazione pari alla parte reale delle pulsazioni caratteristiche
complesse coniugate e con ampiezza di oscillazione crescente esponenzialmente nel
tempo, in funzione della loro parte immaginaria.
Pertanto, tale evenienza individua una soluzione dinamica instabile indipendente
dalla presenza di una soluzione di equilibrio ad essa contigua (i.e. in assenza di
condizioni di singolarità per K). In altri termini, i sistemi non conservativi possono
presentare una condizione di biforcazione ad una soluzione totalmente dinamica.
4 Per converso, si dimostra che un punto di massimo dell’energia potenziale corrisponde ad una
configurazione di equilibrio instabile (Teorema di Liapunov).