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72 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento può rappresentarsi, in forma linearizzata 2 e secondo un approccio alla Galerkin 3 , mediante la seguente equazione di governo: M¨q(t) + Kq(t) = 0 (3.1) dove q è il vettore di spostamenti generalizzati, M è la matrice generalizzata delle masse, K = ∂2 Π la matrice tangente di rigidezza del sistema, valutata in q ∂q 2 corrispondenza della condizione di equilibrio q. Nell’ambito di una analisi lineare di stabilità è sufficiente considerare solo per- turbazioni nel tempo di tipo armonico, in quanto ogni evoluzione dinamica della struttura può essere decomposta in una serie di contributi armonici (modi) at- traverso uno sviluppo alla Fourier. Assegnata allora una perturbazione armonica q(t) = qoe iωt e le relative condizioni al contorno, il sistema di equazioni differenziali (3.1), che governa la risposta della struttura, ha come soluzione tutti i modi banali, i.e. non eccitati, eccetto quelli relativi alle pulsazioni ω che soddisfano l’equazione caratteristica: det[M −1 K − ω 2 I] = 0 (3.2) È noto che per i sistemi conservativi le pulsazioni caratteristiche possono risultare reali (in questo caso il sistema è stabile) o puramente immaginarie (sistema instabile). Pertanto, affinchè lo stato di equilibrio da stabile diventi instabile è necessario che la più piccola delle pulsazioni caratteristiche assuma valore nullo o, equivalentemente, che la matrice di rigidezza della struttura presenti una singolarità. In altri termini, lo stato di equilibrio è instabile se esiste un’altra possibile configurazione di equilibrio stabile in un intorno di quella in considerazione. Conseguentemente, se l’equilibrio è instabile, la struttura a seguito di una perturbazione abbandona la sua 2 In generale, l’analisi completa delle equazioni del moto espresse in forma non lineare non può compiersi in modo agevole, quasi mai in ambito pratico. Si procede allora ricorrendo ad una linearizzazione del problema in esame in un intorno di una sua soluzione. Si può dimostrare che, l’instabilità intesa in senso lineare implica l’instabilità anche in senso non lineare, ma in generale la stabilità linearizzata non comporta necessariamente stabilità non lineare. 3 Considerato un sistema strutturale e detta ϕ(P, t) la soluzione che caratterizza la sua evoluzione dinamica in funzione della posizione P e del tempo t, è possibile dimostrare che essa può porsi equivalentemente nella forma: np ϕ(P, t) = ϕ(P, t) + N j (P )qj(t) essendo ϕ(P, t) funzioni che soddisfano le condizioni al contorno essenziali del problema, N j (P ) funzioni linearmente indipendenti, dette funzioni di forma, che soddisfano le condizioni al contorno omogenee, qj(t) parametri incogniti detti spostamenti generalizzati, i quali possono raccogliersi nell’unico vettore q. È il caso di osservare che tale approccio, di base per numerosi metodi numerici di approssimazione, consente di rappresentare in modo esatto la soluzione ϕ(P, t) qualora np → ∞. j=1
Premesse 73 configurazione per raggiungerne un’altra stabile. Tale forma di instabilità è detta divergenza o biforcazione statica dell’equilibrio e, com’è noto, la sua caratterizzazio- ne può compiersi senza ricorrere necessariamente ad un approccio di tipo dinamico (teoria euleriana della stabilità dell’equilibrio). È il caso di sottolineare che per i sistemi conservativi la stabilità dell’equilibrio può studiarsi in modo equivalente tramite un approccio di natura energetica. In particolare, si dimostra (teorema di Dirichlet-Lagrange) che per i sistemi conservativi una configurazione di equilibrio è stabile se corrispondentemente l’energia potenziale Π del sistema presenta un punto di minimo isolato 4 [3.5]. Si considerino ora sistemi non conservativi la cui evoluzione dinamica, a partire da uno stato di equilibrio, sia rappresentata in forma linearizzata sempre tramite una condizione differenziale del tipo (3.1). In generale, in questo caso, a seguito della perdita di simmetria di K le pulsazioni caratteristiche possono essere sia reali che complesse coniugate (a parte reale non nulla). Pertanto, l’instabilità del sistema si verifica quando la più piccola di tali pulsazioni assume valore nullo, come nel caso dei sistemi conservativi, oppure quando due pulsazioni tendono l’una all’altra fino a coincidere e quindi a diventare complesse coniugate. Il caso corrispondente ad una pulsazione caratteristica nulla è simile a quello che si ha per i sistemi conservativi e può caratterizzarsi mediante l’approccio euleriano, pur essendo il sistema non conservativo. In questo caso l’instabilità è ancora detta di divergenza anche se, in generale, può non esistere una configurazione alternativa di equilibrio in cui la struttura possa portarsi. Numerosi autori hanno caratterizzato le condizioni sotto le quali sistemi non conservativi del tipo (3.1) presentano solo instabilità da divergenza ([3.9],[3.14],[3.29]). Tali sistemi sono anche detti sistemi conservativi del secondo tipo. Il caso relativo a pulsazioni caratteristiche complesse coniugate corrisponde ad un’instabilità detta di flutter e la condizione di carico per la quale si ha la coincidenza di due pulsazioni caratteristiche è detto carico di flutter. Se la condizione di carico è maggiore di quella di flutter la perturbazione iniziale indurrà oscillazioni armoniche della struttura di pulsazione pari alla parte reale delle pulsazioni caratteristiche complesse coniugate e con ampiezza di oscillazione crescente esponenzialmente nel tempo, in funzione della loro parte immaginaria. Pertanto, tale evenienza individua una soluzione dinamica instabile indipendente dalla presenza di una soluzione di equilibrio ad essa contigua (i.e. in assenza di condizioni di singolarità per K). In altri termini, i sistemi non conservativi possono presentare una condizione di biforcazione ad una soluzione totalmente dinamica. 4 Per converso, si dimostra che un punto di massimo dell’energia potenziale corrisponde ad una configurazione di equilibrio instabile (Teorema di Liapunov).
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