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78 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento q q q q q Stabilità asintotica Stabilità marginale Instabilità k t t t t t * * * * * * * * * * q q q q q t t t t t Fig. 3.2: Condizioni di stabilità al variare della posizione dei poli nel piano di Argand- Gauss. - instabile se almeno una delle µk è positiva; - marginalmente stabile se µk ≥ 0, ∀k. La figura 3.2 illustra in modo sintetico le differenti possibilità nel piano dei poli di Argand-Gauss. D’altra parte, è evidente che la posizione dei poli del sistema nel piano di Argand- Gauss è fortemente influenzata dalla condizione di velocità media U della corrente incidente. In particolare, come schematicamente rappresentato in figura 3.3, l’au- mento di U può portare il sistema da uno stato stabile ad uno instabile ed il punto di biforcazione dinamica ne caratterizza la condizione critica al limite di stabilità. 3.2.1 Equazioni del moto linearizzate disaccoppiate Si assuma che le n = 3 equazioni differenziali linearizzate (3.8), le quali governano l’evoluzione dinamica della struttura perturbata dalla sua condizione di equilibrio, possano ritenersi disaccoppiate. In altri termini, si assume che i tre gradi di libertà del cilindro siano attivabili in modo indipendente l’uno dall’altro. Ciò approssima tutte quelle situazioni reali in cui le matrici strutturali K e C risultano praticamente diagonali ed i termini fuori diagonale di K o e C o non hanno intensità sufficiente ad attivare in modo significativo i gradi di libertà cui essi si riferiscono. Sotto queste ipotesi ed assumendo che il centro elastico della sezione coincida con il suo centro di massa e che ad esso si riferiscano le azioni del vento, l’equazione di governo per il generico grado di libertà ε = u, v, θ può porsi nella forma: ¨ε(t) + 2(ζε + ζ o ε)ωε ˙ε(t) + ω 2 ε(1 + Ω o ε)ε(t) = ¯ Fε + Fε(t) mεε k (3.15)
1 Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 79 U = U 1 ) Stabilità asintotica 2 k 3 k U = U 2 ) Stabilità marginale ) punto di biforcazione U = U 3 ) Instabilità Fig. 3.3: Evoluzione qualitativa della generica coppia di poli complessi coniugati nel piano di Argand-Gauss al crescere della velocità media del vento incidente U. essendo: mεε la massa generalizzata per il grado di libertà ε, pari alla massa per unità di lunghezza della struttura m quando ε = u, v ed al momento di inerzia polare specifico Iθ rispetto al centro di massa se ε = θ; ζε = Cεε 2 √ mεεKεε il coefficiente di smorzamento strutturale rapportato alla condizione di smorzamento critico; ωε = 2πnε = Kεε mεε la pulsazione naturale in aria calma della struttura (nε è la cor- rispondente frequenza); ζ o ε = C o εε 2 √ mεεKεε rapportato alla condizione di smorzamento critico; Ω o ε = Ko il coefficiente di smorzamento aerodinamico εε Kεε un termine che esprime la variazione di ωε a seguito dei fenomeni di interazione vento-struttura; Cεε e Kεε i termini diagonali di C e K. In virtù di quanto detto in precedenza, è evidente che i valori assunti da ζ o ε e Ω o ε caratterizzano le condizioni di stabilità del sistema relativamente al grado di libertà ε considerato. In dettaglio, ζ o ε caratterizza le condizioni di instabilità dinamica, mentre Ω o ε consente di caratterizzare quelle di instabilità statica (o euleriana). Risposta dinamica nella direzione del vento Si consideri il grado di libertà nella direzione della corrente media incidente, i.e. ε = u (cf. figura 2.14). In questo caso l’esperienza conferma che la risposta della struttura non è praticamente influenzata dalla condizione di distacco di vortici e quindi l’approccio quasi-stazionario può ritenersi soddisfacente, i.e. C o = C o , K o = K o . Pertanto, utilizzando le (2.64-2.65), risulta :
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