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74 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento Come premesso, il fenomeno del flutter configura una risposta armonica della struttura caratterizzata da ampiezza, velocità ed accelerazione crescenti nel tempo e conseguentemente da un aumento dell’energia cinetica del sistema. Chiaramente, tale energia deve essere fornita dalle forze esterne. Se esse però sono di tipo conservativo il loro lavoro viene compiuto a spese di un potenziale ed è quindi limitato. Si comprende, allora, come il fenomeno del flutter possa presentarsi solo per effetto di forze non conservative. Tipiche forze a carattere non conservativo sono le forze esercitate dal vento, le quali possono introdurre in modo non limitato energia in un sistema strutturale. Poichè il fenomeno del flutter presuppone la presenza di pulsazioni complesse co- niugate, per i sistemi strutturali non conservativi rappresentabili tramite la (3.1) (i.e. privi di contributi di smorzamento), esso può destarsi solo quando questi abbiano almeno due gradi di libertà. Si parla in questi casi di flutter accoppiato. D’altro canto, come evidenziato nella (2.62), le azioni aeroelastiche che si origina- no per effetto del moto della struttura all’interno di una corrente sono caratterizzate da contributi sia di rigidezza che di smorzamento, i quali vanno a sommarsi agli eventuali contributi strutturali corrispondenti. Conseguentemente, la presenza di contributi di smorzamento fa sì che la condizione critica di flutter accoppiato non sia necessariamente caratterizzata dalla coincidenza di due pulsazioni caratteristi- che, come mostrato in ambito deterministico da Lin [3.15]. Inoltre, riferendosi a strutture snelle ’a nastro’, quali possono essere considerati i cavi delle linee di di- stribuzione elettrica o gli stessi ponti di grande luce, è possibile dimostrare che può verificarsi instabilità dinamica attivando in pratica anche un solo grado di libertà della struttura. Si distinguono, in questi casi, l’instabilità dinamica di galloping ed il flutter ad un grado di libertà. La differenza fra le due tipologie di instabilità è fissata sulla base della natura del flusso circostante la struttura. In altri termini, ferma restando una condizione di separazione del flusso per effetto della natura geometrica non profilata delle strutture in esame, se si verifica un riattacco della vena fluida sul profilo si parla di flutter, altrimenti l’instabilità è detta di galloping (figura 3.1). Va inoltre tenuto presente che, a seguito del distacco periodico di vortici dalla struttura (fenomeno che può avvenire indipendentemente dal suo stato di moto) su di essa agiscono delle forze pulsanti le quali, se sufficientemente elevate ed in risonanza con una delle frequenze naturali di vibrazione del sistema, possono indurre su di esso sensibili oscillazioni (sincronizzazione o lock-in).
U B/H >>1 Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 75 FLUSSO NON SEPARATO FLUSSO SEPARATO Flutter accoppiato ASSENZA DI RIATTACCO B/H < 2.8 U Galloping B H Vibrazioni da vortex-shedding U RIATTACCO DI VENA B/H > 2.8 Flutter ad un grado di libertà Flutter accoppiato Vibrazioni da vortex-shedding Fig. 3.1: Classificazione delle instabilità dinamiche in relazione alla condizione del flusso circostante la struttura. 3.2 Cilindro rigido investito da una corrente 2-D Si consideri un cilindro rigido di sezione trasversale S e per il quale valgano le con- venzioni introdotte nel capitolo 2 (cf. figura 2.14). In dettaglio, si assuma che detto cilindro abbia linea d’asse rettilinea di lunghezza infinita e sia immerso in una corrente bidimensionale la cui direzione media risulti ad essa ortogonale. Inoltre, si assuma che detta struttura sia vincolata elasticamente e siano K e C rispettivamen- te le relative matrici di rigidezza e smorzamento strutturale. Nell’ipotesi di piccole perturbazioni della struttura e di piccole condizioni di turbolenza incidente, que- st’ultima assunta non interagente in frequenza con eventuali fenomeni di distacco di vortici, le equazioni del moto possono scriversi come: M¨q(t) + C ˙q(t) + Kq(t) = ¯ F + F(t) + Fa(t) (3.3) essendo M la matrice delle masse, q(t) = u(t), v(t), θ(t) T (3.4) il vettore degli spostamenti di S nel suo piano di rappresentazione ed avendo indicato (cf. equazione (2.61)) con ¯ F il vettore di forze generalizzate medie aerodinamiche, F(t) le relative componenti fluttuanti dipendenti dalla turbolenza incidente e dalle condizioni di vortex-shedding, Fa(t) il vettore delle forze generalizzate aeroelastiche che si destano a seguito delle condizioni di moto di S.
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