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86 Stabilità delle strutture soggette all’azione del vento essendo Kθc = Bωθc/U. Inoltre, sempre imponendo la condizione critica Ω o θ = −1 e sfruttando la relazione (3.38), si ricava la velocità critica di divergenza 8 Uθd = lim K→0 equivalente alla (3.36) in quanto risulta 2Kθθ ρB 2 K 2 A ∗ 3 (K) lim K→0 K2 A ∗ 3(K) = −C ′ m (3.41) (3.42) i.e. quando il periodo di oscillazione diviene infinitamente grande, ovvero la frequenza ridotta tende a zero, le componenti di velocità della struttura divengono picco- lissime, le forze di smorzamento aerodinamico corrispondentemente svaniscono e le derivate aerodinamiche si portano sui corrispondenti valori di rigidezza aerodinamica (cf. eq. (2.108)). Nel caso in cui la frequenza naturale del sistema sia prossima a quella di distacco di vortici, i.e. nθ ∼ nθw, ricorrendo ad un approccio nel dominio della frequenza linearizzato in un intorno della frequenza ridotta Kθ ∼ Kθw, si ricava: ζ o θ = Co ∗ θθ (Kθ) 4Iθωθ Ω o θ = Ko ∗ θθ (Kθ) Kθθ (3.43) (3.44) In particolare, la risposta della struttura è stabile se risulta ζθ + ζ o θ > 0 con U ∼ = Uw, altrimenti si ha una condizione di instabilità dinamica analoga a quella relativa al caso di risposta nella direzione ortogonale alla corrente e detta, anche in questo caso, di sincronizzazione. La condizione critica al limite di stabilità ζθ+ζ o θ = 0 conduce, in regime linearizzato, alla relazione: C o ∗ θθ (Kθ) = −4Iθωθζθ (3.45) La quantità Ω o θ definita nella (3.44) è in generale non significativa se il grado di libertà torsionale θ non risulta sostanzialmente accoppiato con quello trasversale v. La figura 3.6 riassume le regioni di instabilità dinamica per la risposta torsionale della struttura. Per essa valgono considerazioni analoghe a quelle svolte per la figura 3.4. 8 Si tenga presente che si considera la condizione limite per K → 0, i.e. ω → 0, in quanto l’instabilità di divergenza rappresenta, come più volte detto, un fenomeno di natura statica.
-4I R oC’ m C o (K ) * U w Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 87 min{U c, U d} [ RoC’ m 0 ] [ C -4I ] [U Uw ] Lock-in o (K ) * [ RoC’ m < 0 ] [( C > -4I ) (Uw > U*)] [U U* ] Galloping (o flutter) / Divergenza o (K ) [ RoC’ m < 0 ] [ C -4I ] [Uw < U*] U U* U Uw Galloping (o flutter) / Divergenza Lock-in o (K ) * * U -4I R o C’ m C o (K ) * min{U c, U d} U*=min{U c, U d} Fig. 3.6: Regioni di instabilità dinamica per la risposta torsionale. È il caso di osservare che, per le strutture snelle con sezioni trasversali non compatte, qualora l’angolo medio di incidenza della corrente risulti prossimo a quello di stallo statico per la sezione può presentarsi una particolare condizione di flutter torsionale ad un grado di libertà, detto stall flutter (o stallo dinamico). In particolare, il termine stall flutter è generalmente associato alle vibrazioni periodiche autoeccitate di una struttura dotata di determinate caratteristiche di inerzia e di elasticità sulla quale, durante il suo moto di oscillazione, si presenta una condizione di accentuata o totale separazione dello strato limite del flusso [3.28]. La differenza fondamentale quindi tra il flutter classico e lo stall flutter risiede nel carattere del flusso circostante la struttura. Il fenomeno, osservato ed analizzato ini- zialmente in campo aeronautico oltre che, in particolari condizioni, su pale di turbine e compressori, può dar luogo alla perdita di funzionalità e di integrità strutturale anche nel caso di ponti di grande luce. Esso si manifesta tramite vibrazioni di pre- dominante carattere torsionale, le quali, rispetto al caso di flutter classico perdono di armonicità. Inoltre, l’esperienza mostra che la frequenza principale di oscillazione risulta praticamente coincidente con quella naturale torsionale della struttura in aria calma. Come premesso, il fenomeno detto si verifica quando l’angolo di incidenza medio del flusso diviene prossimo a quello di stallo statico αst, i.e. all’angolo di incidenza, a profilo fisso nella corrente, per il quale si determina una perdita brusca di momento U w U
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