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Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 77
Nello spazio di stato il sistema di n = 3 equazioni differenziali del secondo ordine
(3.8) si trasforma nel sistema di 2n = 6 equazioni del primo ordine:
avendo posto 5 :
z(t) =
G =
p(t) =
˙z(t) = Gz(t) + p(t) (3.10)
q(t), ˙q(t)
T
O
−M
I
−1 K + K o
−M−1 C + C o
0, M−1 T ¯F + F(t)
(3.11)
Le condizioni di stabilità del sistema si caratterizzano considerando la sua ri-
sposta libera e quindi il sistema omogeneo associato alla (3.10), il cui integrale
particolare risulta: z(t) = de λt . Pertanto, le soluzioni non banali si deducono dal-
la valutazione degli autovalori λk (k = 1, ..., 2n) di G i quali devono soddisfare
l’equazione caratteristica:
det [G − λI] = 0 (3.12)
Com’è noto, l’integrale generale del sistema omogeneo associato alla (3.10) si
esprime attraverso la combinazione lineare dei 2n integrali particolari, i.e.
z(t) =
2n
k=1
Akdke λkt
(3.13)
essendo Ak costanti dipendenti dalle condizioni iniziali e dk gli autovettori associati
agli autovalori λk. Questi ultimi sono detti poli del sistema e, presupponendo una
risposta oscillatoria della struttura, sono in generale a valore complesso e coniugati
a coppie: λk = µk + iωk. La loro parte immaginaria ωk definisce la componente
oscillatoria della soluzione mentre la parte reale µk, a seconda del suo segno, ne
caratterizza lo smorzamento o l’amplificazione:
3 × 3.
z(t) =
In definitiva, il sistema risulta:
2n
Akdke µkt iωkt
e
k=1
- asintoticamente stabile se tutte le parti reali µk sono strettamente negative;
(3.14)
5 Si indicano con O e I rispettivamente la matrice nulla e di indentità, in questo caso di ordine