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assumendo ω reale.
u = uoe iωt
Cilindro rigido investito da una corrente 2-D 91
v = voe iωt
θ = θoe iωt
(3.54)
Sostituendo le (3.54) nelle (3.51-3.53) si ottiene un sistema di tre equazioni omo-
genee nelle tre incognite uo, vo, θo. La soluzione non banale si ricava allora imponen-
do nullo il determinante di tale sistema. Da tale condizione, in generale complessa,
considerando uguagliata a zero sia la sua parte reale che quella immaginaria, si
deducono due equazioni reali. In particolare, la parte reale fornisce:
mentre da quella immaginaria risulta:
r6Ω 6 + r5Ω 5 + r4Ω 4 + r3Ω 3 + r2Ω 2 + r0 = 0 (3.55)
g5Ω 5 + g4Ω 4 + g3Ω 3 + g2Ω 2 + g1Ω + g0 = 0 (3.56)
avendo posto Ω = ω
ωv .
Introducendo i seguenti parametri adimensionali:
φ = ωθ
ωv
ψ = ωu
ωv
i coefficienti del tipo rj, gj risultano pari a:
1
r2 = −
2 H∗
4 β + 1
r0 = ψ 2 φ 2
−4ζu (ζθ + ζvφ) φψ −
β = ρB2
m
φ 2 + 4ζvζθφ + 1
1 + 1
2 P ∗ 4 β
Γ = mB2
Iθ
2 A∗
3βΓ + 1
φ 2
ψ 2
(3.57)
(3.58)
(3.59)
r3 = β (H ∗ 1 ζθφ + ζvA ∗ 2Γ) ψ 2 ∗
+ βζu H1 φ 2 + A ∗ 2Γ ψ + βP ∗ 1 φ (ζvφ + ζθ) (3.60)
r4 = 1 ∗
4 − (H3 A
4
∗ 4 − H ∗ 4 A ∗ 3 − H ∗ 2 A ∗ 1 + H ∗ 1 A ∗ 2) Γβ 2 + 2 (A ∗ 3Γ + H ∗ 4 ) β ψ 2
+2ζu [ζθ (H ∗ 4 β + 2) φ + ζv (A ∗ 3βΓ + 2)] ψ + 2ζvζθ (P ∗ 4 β + 2) φ (3.61)
+ 1
4
(−H ∗ 6 P ∗ 6 + P ∗ 4 H ∗ 4 + H ∗ 5 P ∗ 5 − P ∗ 1 H ∗ 1 ) β 2 + 2(H ∗ 4 + P ∗ 4 )β + 4 φ 2
+ 1
4 (A∗ 5P ∗ 2 − A ∗ 6P ∗ 3 + P ∗ 4 A ∗ 3 − P ∗ 1 A ∗ 2) Γβ 2 + 1
2 (A∗ 3Γ + P ∗ 4 )β + 1