velocità angolare o pulsazione (gradi /s oppure rad/s) (angolo ...
velocità angolare o pulsazione (gradi /s oppure rad/s) (angolo ...
velocità angolare o pulsazione (gradi /s oppure rad/s) (angolo ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
V<br />
A = AMPIEZZA =<br />
lunghezza di V<br />
A<br />
ALTERNATA<br />
Proiezione di V<br />
X<br />
Angolo tra V e asse x: = 0°<br />
0<br />
ISTANTE t = 0<br />
<strong>velocità</strong> <strong>angolare</strong><br />
o <strong>pulsazione</strong> (<strong>g<strong>rad</strong>i</strong> /s<br />
<strong>oppure</strong> <strong>rad</strong>/s)<br />
(<strong>angolo</strong> percorso da V<br />
in un intervallo di<br />
tempo)<br />
DEVE ESSERE<br />
COSTANTE<br />
1<br />
t
V<br />
A = AMPIEZZA =<br />
lunghezza di V<br />
Angolo tra V e asse x : = 30°<br />
t 1<br />
=30°<br />
0<br />
ALTERNATA<br />
Proiezione di V<br />
X<br />
t 1<br />
ISTANTE t = t 1<br />
2<br />
t
V<br />
A = AMPIEZZA =<br />
lunghezza di V<br />
=60°<br />
Angolo tra V e asse x : = 60°<br />
t 2<br />
0<br />
ALTERNATA<br />
Proiezione di V<br />
X<br />
t 1<br />
t 2<br />
ISTANTE t = t 2<br />
3<br />
t
V<br />
A = AMPIEZZA =<br />
lunghezza di V<br />
=90°<br />
0<br />
ALTERNATA<br />
Proiezione di V<br />
X<br />
Angolo tra V e asse x : = 90°<br />
t 3= 90°/(T/4)=360°/T= /T<br />
t 1 t 2 t 3 = T/4<br />
A = AMPIEZZA =<br />
lunghezza di V<br />
ISTANTE t = t 3 = T/4<br />
4<br />
t
V<br />
A = AMPIEZZA =<br />
lunghezza di V<br />
=120°<br />
Angolo tra V e asse x : = 120°<br />
t 4<br />
0<br />
ALTERNATA<br />
Proiezione di V<br />
X<br />
t 1 t 2 t 3 = T/4 t 4<br />
ISTANTE t = t 4<br />
5<br />
t
V<br />
A = AMPIEZZA =<br />
lunghezza di V<br />
=150°<br />
0<br />
ALTERNATA<br />
Proiezione di V<br />
Angolo tra V e asse x : = 150°<br />
t 5<br />
X<br />
t 1 t 2 t 3 = T/4 t 4 t 5<br />
ISTANTE t = t 5<br />
6<br />
t
V<br />
A = AMPIEZZA =<br />
lunghezza di V<br />
=180°<br />
Proiezione di V<br />
X<br />
Angolo tra V e asse x : = 180°<br />
0<br />
ALTERNATA<br />
t 1=180°/(T/2)=360°/T= /T<br />
Semionda positiva<br />
t 1 t 2 t 3 = T/4 t 4 t 5 t 6 = T/2<br />
ISTANTE t = t 6 = T/2<br />
7<br />
t
V<br />
A = AMPIEZZA =<br />
lunghezza di V<br />
=210°<br />
Angolo tra V e asse x : = 210°<br />
t 7<br />
ALTERNATA<br />
Proiezione di V<br />
X<br />
t 6<br />
t 7<br />
ISTANTE t = t 7<br />
8<br />
t
V<br />
A = AMPIEZZA =<br />
lunghezza di V<br />
=240°<br />
ALTERNATA<br />
Proiezione di V<br />
Angolo tra V e asse x : = 240°<br />
t 8<br />
X<br />
t 6<br />
t 7<br />
t 8<br />
ISTANTE t = t 8<br />
9<br />
t
V<br />
A = AMPIEZZA =<br />
lunghezza di V<br />
=270°<br />
ALTERNATA<br />
Proiezione di V<br />
X<br />
Angolo tra V e asse x : = 270°<br />
t 9=270°/(3T/4)=360°/T =<br />
t 6<br />
t 7<br />
t 8<br />
t 9 = 3T/4<br />
AMPIEZZA =<br />
lunghezza di V<br />
ISTANTE t = t 9 = 3T/4<br />
10<br />
t
V<br />
A = AMPIEZZA =<br />
lunghezza di V<br />
=300°<br />
Angolo tra V e asse x : = 300°<br />
t 10<br />
ALTERNATA<br />
Proiezione di V<br />
X<br />
t 6<br />
t 7<br />
t 8<br />
t 9 = 3T/4<br />
t 10<br />
ISTANTE t = t 10<br />
11<br />
t
V<br />
A = AMPIEZZA =<br />
lunghezza di V<br />
=330°<br />
Angolo tra V e asse x : = 330°<br />
t 11<br />
ALTERNATA<br />
Proiezione di V<br />
X<br />
t 6<br />
t 7<br />
t 8<br />
t 9 = 3T/4<br />
t 10<br />
t 11<br />
ISTANTE t = t 11<br />
12<br />
t
V<br />
A = AMPIEZZA =<br />
lunghezza di V<br />
=360°<br />
ALTERNATA<br />
Proiezione di V<br />
Angolo tra V e asse x : = 360° =2<br />
T<br />
X<br />
t 6<br />
t 7<br />
t 8<br />
t 9 = 3T/4<br />
Semionda negativa<br />
ISTANTE t = t 12= T<br />
t 10 t 11 t12 = T<br />
13<br />
t
Proiezione di<br />
V<br />
t 1 t 2 t 3 = T/4 t 4 t5 t 6 = T/2<br />
LE DUE SEMIONDE<br />
(POSITIVA E NEGATIVA)<br />
INSIEME FORMANO<br />
UNA ALTERNANZA<br />
RIEPILOGO<br />
t 7<br />
t 8<br />
t 9 = 3T/4<br />
t 10<br />
t 11<br />
T T = PERIODO<br />
t 12 = T<br />
T = è l’intervallo di tempo che occorre al<br />
vettore V per effettuare un giro<br />
completo (2 del cerchio<br />
trigonometrico<br />
T = è anche l’intervallo di tempo che<br />
occorre per descrivere le semionde<br />
14
LA FREQUENZA<br />
ESEMPIO: Supponiamo che questo intervallo di tempo duri 1 secondo;<br />
Domanda: quante alternanze vi sono contenute?<br />
Risposta: 8<br />
DEFINIZIONE DI FREQUENZA:<br />
è il numero di alternanze contenute in 1 secondo<br />
UNITA’ DI MISURA DELLA FREQUENZA: HERTZ (Hz)<br />
Nell’esempio precedente la frequenza è 8 Hz.<br />
T<br />
15<br />
t
ESERCIZI<br />
1. Una sinusoide presenta un periodo T = 1 ms. Quante<br />
alternanze ci sono in un secondo (cioè la frequenza)?<br />
Soluzione: siccome un secondo è formato da 1000 ms,<br />
vuol dire che in un secondo entrano 1000 alternanze.<br />
Quindi la frequenza vale f = 1000 Hz.<br />
2. Una sinusoide presenta una frequenza di 50 Hz.<br />
Quanto vale il suo periodo T?<br />
Soluzione: 50 Hz significa che la sinusoide presenta 50<br />
alternanze in 1 secondo. Quindi per conoscere il<br />
periodo T occorre dividere l’intervallo di 1 secondo<br />
in 50 parti. T = 1/50 = 0,02 s = 0,02*1000 ms = 20<br />
ms.<br />
16
FORMULE TRA PERIODO E FREQUENZA<br />
Nel secondo esercizio appena eseguito<br />
abbiamo ricavato con un semplice<br />
ragionamento una relazione tra periodo<br />
“T” e frequenza “f”.<br />
Possiamo generalizzarla.<br />
• T = 1/f<br />
• f = 1/T<br />
• ATTENZIONE: se T è in secondi f è in<br />
Hertz<br />
17
FORMULE TRA PERIODO, FREQUENZA E PULSAZIONE<br />
Troviamo ora un’ultima formula.<br />
Sappiamo già che: =2 / T (<strong>rad</strong>/s)<br />
Siccome abbiamo ricavato che: T = 1/f, possiamo<br />
sostituire questa formula in quella della<br />
<strong>pulsazione</strong>. Otteniamo quindi:<br />
2<br />
T<br />
2<br />
1<br />
f<br />
2<br />
f<br />
1<br />
2<br />
f<br />
18
FASE INIZIALE: (il vettore V è disegnato nella sua posizione all’istante t = 0)<br />
= 30°<br />
X<br />
= 60°<br />
X<br />
X<br />
= 90°<br />
In queste tre figure<br />
abbiamo il vettore V<br />
in posizioni angolari<br />
diversi all’istante<br />
t=0.<br />
Nella prima figura il<br />
vettore V forma un<br />
<strong>angolo</strong> iniziale di<br />
30°, nella seconda<br />
un <strong>angolo</strong> di 60°,<br />
nella terza un<br />
<strong>angolo</strong> di 90°.<br />
Le tre sinusoidi<br />
iniziano da un<br />
valore che non è<br />
zero, ma deve<br />
essere calcolato con<br />
la trigonometria.<br />
19
FASE INIZIALE: (il vettore V è disegnato nella sua posizione all’istante t=0)<br />
= 180°<br />
= 270°<br />
X<br />
X<br />
In queste ultime due<br />
figure abbiamo il<br />
vettore V che forma<br />
un <strong>angolo</strong> iniziale di<br />
180° ed uno di 270°.<br />
DEFINIZIONE: l’<strong>angolo</strong> che il vettore V forma con l’asse x all’istante t =0, è<br />
chiamato FASE INIZIALE<br />
20
0,5<br />
0,866<br />
In questi ragionamenti<br />
supponiamo che V abbia<br />
una lunghezza A = 1<br />
X<br />
X<br />
FORMULA DELLE SINUSOIDI<br />
= 30°<br />
= 60°<br />
Consideriamo ora alcune situazioni.<br />
1. Quando il vettore V ha una fase iniziale = 0° ,<br />
la sua proiezione sull’asse y è zero.<br />
2. Quando il vettore V ha una fase iniziale = 30° ,<br />
la sua proiezione sull’asse y è sen(30°) = 0,5.<br />
3. Quando il vettore V ha una fase iniziale = 60° ,<br />
la sua proiezione sull’asse y è sen(60°) = 0,866.<br />
4. Quando il vettore V ha una fase iniziale = 90° ,<br />
la sua proiezione sull’asse y è sen(90°) = 1.<br />
21
0,5<br />
0,64<br />
t = 0<br />
X<br />
X<br />
= 30°<br />
FORMULA DELLE SINUSOIDI<br />
= 40°<br />
Per ricavare la formula supponiamo che la<br />
fase iniziale sia = 30°.<br />
Supponiamo che il vettore V abbia una<br />
<strong>pulsazione</strong> 10°/s.<br />
Ciò significa che il vettore percorre un<br />
<strong>angolo</strong> di 10° al secondo.<br />
Ci possiamo ora chiedere quale sia<br />
l’<strong>angolo</strong> che forma il vettore V (con<br />
l’asse x) ad un istante qualsiasi.<br />
1. All’istante t=1 s l’<strong>angolo</strong> sarà 30° +<br />
10° * 1 = 40°. Quindi possiamo<br />
calcolare la proiezione di V sull’asse y:<br />
sen(40°) = 0,64<br />
Continua ./.<br />
22
FORMULA DELLE SINUSOIDI<br />
0,77 X = 50° 2. All’istante t=2 s l’<strong>angolo</strong> sarà 30° + 10° * 2 =<br />
50°. Quindi possiamo calcolare la proiezione di<br />
V sull’asse y: sen(50°) = 0,77<br />
0,866<br />
X<br />
= 60°<br />
Possiamo trarre alcune conclusioni generali:<br />
3. All’istante t=3 s l’<strong>angolo</strong> sarà 30° + 10° * 3 =<br />
60°. Quindi possiamo calcolare la proiezione di<br />
V sull’asse y: sen(50°) = 0,866.<br />
1. dopo un intervallo di tempo “t” l’<strong>angolo</strong> che forma il vettore V con l’asse X si<br />
calcola con la formula: = ( + * t)<br />
2. Il valore della proiezione di V sull’asse y si calcola con la formula conosciuta<br />
dalla trigonometria: sen ( ) = sen ( + * t)<br />
23
FORMULA DELLE SINUSOIDI<br />
I ragionamenti precedenti sono stati fatti considerando che la lunghezza del<br />
vettore V sia di valore A = 1.<br />
Adesso consideriamo che il vettore abbia una lunghezza qualsiasi, cioè A.<br />
La formula che abbiamo trovato per rappresentare una sinusoide si può scrivere<br />
nella forma più generale possibile:<br />
Ricordiamo le altre formule:<br />
y = A * sen ( + * t)<br />
2<br />
T<br />
T = 1/f<br />
f = 1/T<br />
2<br />
f<br />
24
Unità di misura degli angoli<br />
Il <strong>rad</strong>iante (simbolo <strong>rad</strong>) è l'unità di misura degli angoli del<br />
Sistema internazionale di unità di misura. Tale misura<br />
rappresenta il rapporto tra la lunghezza di un arco di<br />
circonferenza spazzato dall'<strong>angolo</strong>, diviso per la lunghezza<br />
del raggio di tale circonferenza.<br />
25
Unità di misura degli angoli<br />
Utilità della scelta del <strong>rad</strong>iante<br />
La misura del <strong>rad</strong>iante consente di<br />
avere formule trigonometriche<br />
molto più semplici di quelle che si<br />
avrebbero adottando come unità<br />
di misura per gli angoli i <strong>g<strong>rad</strong>i</strong><br />
sessagesimali.<br />
Formule di conversione:<br />
1 <strong>rad</strong> = 57,29 <strong>g<strong>rad</strong>i</strong><br />
1 g<strong>rad</strong>o = 0,0174 <strong>rad</strong><br />
<strong>g<strong>rad</strong>i</strong> <strong>rad</strong>ianti<br />
0 0<br />
15 (1/12) π<br />
30 (1/6) π<br />
45 (1/4) π<br />
60 (1/3) π<br />
90 (1/2) π<br />
120 (2/3) π<br />
135 (3/4) π<br />
150 (5/6) π<br />
180 π<br />
210 (7/6) π<br />
225 (5/4) π<br />
240 (4/3) π<br />
270 (3/2) π<br />
300 (5/3) π<br />
315 (7/4) π<br />
330 (11/6) π<br />
360 2 π<br />
26
ESERCIZI SULLE SINUSOIDI<br />
1. Una sinusoide ha la frequenza di 100 Hz, l’ampiezza A=5, la<br />
fase iniziale =15°. a) Quanto vale T b) Quanto vale<br />
c)Quale <strong>angolo</strong> è formato dal vettore V con l’asse “x” dopo<br />
un intervallo t = 1 ms? d) Quale valore assume la sinusoide<br />
dopo che è trascorso intervallo t = 1 ms?<br />
RISPOSTA: a)T = 1/f = 1/100 = 0,01 s = 10 ms. b) f =<br />
6,28*100 = 628 <strong>rad</strong>/s. c) = + t (occorre trasformare i<br />
<strong>g<strong>rad</strong>i</strong> in <strong>rad</strong>ianti = 15° = (1/12) π), = (1/12) π + 628*0,001 =<br />
0,2617+0,628 = 0,8897 <strong>rad</strong> = 0,8897 * 57,29 = 50,97 °.<br />
d) y = A * sen ( + * t) = 5*sen (0,8897) = 5*sen(50,97) =<br />
5*0,7768 = 3,884<br />
27
+1<br />
+2<br />
+3<br />
VALORE MEDIO DELLE SINUSOIDI<br />
+2<br />
Quando si parla di valore medio si intende una operazione matematica del tipo:<br />
(A+B) / 2. Nel caso di una sinusoide si deve considerare un intervallo di tempo pari<br />
al periodo T e al suo interno si deve fare l’operazione precedente ripetuta per tutti i<br />
valori che la sinusoide stessa assume. Infatti si tratta di sommare i numeri che<br />
sono rappresentati nel grafico aventi lo stesso colore e poi dividere per 2. È<br />
evidente che le somme risulteranno tutte uguali a zero. Infatti: (+1-1)/2 =0; (+2-2)/2<br />
=0; (+3-3)/2 =0; ecc.<br />
La conclusione di questo ragionamento è che una sinusoide ha<br />
+1<br />
-1<br />
VALORE MEDIO = 0<br />
-2<br />
-3<br />
-2<br />
-1<br />
28<br />
T
0<br />
+1<br />
+2<br />
SINUSOIDI CON VALORE MEDIO DIVERSO DA ZERO<br />
+3<br />
+4<br />
+3<br />
+2<br />
In questo secondo caso la sinusoide è stata traslata verso l’alto (di +1). Il risultato del<br />
calcolo del valore medio ora non è più zero.<br />
Un calcolo approssimativo ci fornisce il seguente risultato:<br />
+1<br />
(+1+1)/2=+1; (+2+0)/2=+1; (+3-1)/2=+1; (+4-2)/2=+1; (+3-1)/2=+1; (+2+0)/2=+1;<br />
In effetti un calcolo matematico più rigoroso (che però va oltre le conoscenze di<br />
questo corso) ci fornisce lo stesso risultato, cioè +1.<br />
Si può concludere che il valore medio di una sinusoide è pari al valore “n”(positivo o<br />
negativo) di cui è stata traslata verso l’alto o verso il basso.<br />
0<br />
-1<br />
-2<br />
-1<br />
0<br />
29<br />
+1<br />
T
SINUSOIDI CON VALORE MEDIO DIVERSO DA ZERO<br />
Un calcolo più preciso del valore medio si può fare graficamente. Occorre calcolare<br />
la superficie colorata. Per evitare calcoli troppo complicati si ricorre ad operazioni<br />
grafiche controllabili visivamente.<br />
30
SINUSOIDI CON VALORE MEDIO DIVERSO DA ZERO<br />
1<br />
In questa diapositiva le zone colorate di verde sono uguali ma di segno opposto e<br />
quindi la loro media è zero:quindi possiamo cancellarle. Le zone colorate di giallo<br />
invece sono entrambe positive e di uguale superficie. Possiamo quindi “tagliare”<br />
la zona 1 “incollarla” nella zona 2. Si ottiene quindi la figura successiva.<br />
2<br />
31
SINUSOIDI CON VALORE MEDIO DIVERSO DA ZERO<br />
Come si nota dalla figura, dopo avere eliminato le parti positive e negative, ma<br />
di uguale valore, resta una parte del grafico originale che è costante. La<br />
conclusione di tutto il ragionamento grafico è che una sinusoide traslata verso<br />
l’alto o verso il basso di “n” ha valore medio proprio uguale ad “n”. Nel nostro<br />
esempio quindi il valore medio è +1.<br />
32
VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE<br />
Il valore medio appena discusso ha poca importanza pratica. Si studia poiché è<br />
necessario per comprendere il nuovo valore chiamato “EFFICACE”. Questo<br />
nuovo parametro è invece fondamentale nello studio delle grandezze elettriche<br />
alternate che inizieremo tra poco. La sua importanza sarà chiara più avanti nel<br />
corso. Possiamo anticipare che con questo “valore efficace” potremo trattare<br />
l’alternata come se fosse una “continua”, con una facilitazione dei calcoli e dei<br />
ragionamenti.<br />
Anche in questo caso tratteremo l’argomento in modo grafico, poiché<br />
matematicamente risulterebbe al di fuori della portata delle cognizioni attuali della<br />
classe.<br />
Supporremo di avere una sinusoide come quella utilizzata per il calcolo del<br />
valore medio.<br />
La sinusoide ha la seguente espressione:<br />
Y = 3*sen(2* * f * t)<br />
La cosa importante è il valore di ampiezza che vale 3. Si tratta ovviamente di un<br />
esempio, quindi in seguito il valore numerico 3 sarà sostituito dal valore generico<br />
A .<br />
33
VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE<br />
Per determinare il “valore efficace” di una sinusoide occorre procede come indicato di<br />
seguito.<br />
1. Calcolare il quadrato di una sinusoide;<br />
2. Calcolare il valore medio del quadrato appena calcolato.<br />
3. Fare la <strong>rad</strong>ice quadrata del valore medio calcolato al punto 2.<br />
Consideriamo il punto 1.<br />
Cosa significa calcolare il quadrato di una sinusoide?<br />
Supponiamo di considerare l’espressione precedente:<br />
Y = 3*sen(2* * f * t)<br />
Il suo quadrato si calcola matematicamente in questo modo:<br />
Y 2 = [3*sen(2* * f * t)] 2 = 9*[sen(2* * f * t)] 2<br />
Invece di effettuare il calcolo matematicamente, lo effettueremo graficamente.<br />
Il grafico risultante dovrà avere un valore massimo uguale a 9 e dovrà essere<br />
sempre di valore positivo (per effetto dell’operazione di elevazione al quadrato)<br />
Vediamo graficamente il risultato dell’operazione di elevazione al quadrato di una<br />
sinusoide.<br />
34
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
10<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
Questa è la sinusoide<br />
originale (di ampiezza = 3)<br />
Questo è il risultato<br />
della operazione di<br />
elevazione al quadrato<br />
(notare ampiezza = 9<br />
e valori tutti positivi,<br />
cioè la curva sta tutta<br />
sopra l’asse x).<br />
Infine si nota anche un<br />
<strong>rad</strong>doppio della<br />
frequenza.<br />
35
10<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
4,5<br />
VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
Passiamo adesso a considerare il punto 2.<br />
Una prima osservazione su questo grafico ci dice che il valore medio è pari a 4,5<br />
(la metà dell’ampiezza che è 9). Questa osservazione si può verificare come è<br />
stato già fatto in precedenza, quando abbiamo parlato del valore medio di una<br />
sinusoide.<br />
36
VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE<br />
Anche in questo caso possiamo ripetere le stesse considerazioni fatte in<br />
precedenza sul valore medio e troveremo che esso è proprio 4,5.<br />
Successivamente vedremo come calcolare la superficie colorata in blu in<br />
modo semplice e quindi calcolare il valore efficace.<br />
37
VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE<br />
Da questa figura si comprende perché il valore medio è 4,5. Basta spostare le parti<br />
di colore uguale come indicato e avremo il risultato della figura successiva.<br />
Inoltre si nota facilmente che la superficie della curva originale (in blu) non cambia.<br />
38
VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE<br />
Abbiamo dimostrato che il valore medio del quadrato di una sinusoide è pari alla<br />
metà della sua ampiezza. In questo caso l’ampiezza è (3) 2 = 9 e quindi il valore<br />
medio è 4,5. Più in generale possiamo stabilire la seguente formula:<br />
Dato che A è l’ampiezza della sinusoide, il valore medio del quadrato di una<br />
sinusoide è (A) 2 / 2.<br />
Notiamo da questa figura che la superficie è rimasta inalterata. Adesso però si tratta<br />
di calcolare l’area di un rett<strong>angolo</strong>, molto più semplice rispetto a prima.<br />
39
Infine consideriamo il punto 3.<br />
VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE<br />
Ricordiamo che abbiamo fatto il quadrato di una sinusoide, poi abbiamo<br />
calcolato il valore medio della nuova funzione, ora dobbiamo fare la <strong>rad</strong>ice<br />
quadrata di questo valore medio, per ritornare alla sinusoide iniziale.<br />
Quindi il valore efficace di una sinusoide è ottenuta con la formula seguente:<br />
V EFF<br />
2<br />
A<br />
2<br />
A<br />
2<br />
A<br />
1,<br />
414<br />
0,<br />
707<br />
A<br />
40
VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE<br />
Applichiamo la formula appena trovata alla sinusoide da cui eravamo partiti.<br />
L’ampiezza è A = 3.<br />
Il valore efficace si calcola:<br />
V EFF = 0,707*A = 0,707*3 = 2,121<br />
2,121<br />
-0,3<br />
-0,6<br />
-0,9<br />
-1,2<br />
-1,5<br />
-1,8<br />
-2,1<br />
-2,4<br />
-2,7<br />
-3<br />
0<br />
2,7<br />
2,4<br />
2,1<br />
1,8<br />
1,5<br />
1,2<br />
0,9<br />
0,6<br />
0,3<br />
3<br />
Y = 3*sen(2* * f * t)<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
41
SOMME E DIFFERENZE CON LE SINUSOIDI<br />
In elettrotecnica è frequente effettuare somme e differenze tra sinusoidi avente<br />
la stessa frequenza “f”. Il calcolo con le regole della trigonometria è lungo<br />
e spesso complesso, quindi occorre trovare una tecnica rapida e<br />
semplice.<br />
Facciamo un esempio:<br />
1. Y 1 = 3*sen(2* * f * t) = 3*sen(2* * 50 * t)<br />
2. Y 2 = 4*sen(2* * f * t) = 4*sen(2* * 50 * t)<br />
Abbiamo due sinusoidi con la stessa frequenza f = 50 Hz (deve essere sempre<br />
così !!), la stessa fase iniziale = 0, ampiezze diverse A 1 = 3 ed A 2 = 4.<br />
Calcoliamo ora la somma e la differenza delle due sinusoidi:<br />
Y S = Y 1 + Y 2<br />
Y D = Y 1 - Y 2<br />
Nella prossima diapositiva visualizzeremo i risultati ottenuti con EXCEL, senza calcolare<br />
matematicamente in modo diretto le formule.<br />
Vedremo nello stesso istante ( t = 0,005 s) l’ampiezza della nuova curva e trarremo<br />
conclusioni.<br />
42
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
-6<br />
-8<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
Y1<br />
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025<br />
SOMMA TRA SINUSOIDI<br />
3 4<br />
7=3+4<br />
Ys<br />
t<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
-6<br />
Y2<br />
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025<br />
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025<br />
t<br />
La somma è<br />
ancora una<br />
sinusoide,<br />
avente la<br />
stessa<br />
frequenza e<br />
avente<br />
come<br />
ampiezza la<br />
somma<br />
delle<br />
ampiezze.<br />
43<br />
t
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1,5<br />
Yd<br />
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025<br />
-1=3 - 4<br />
DIFFERENZA TRA SINUSOIDI<br />
+1 = - 3 - (-4)<br />
La differenza è ancora una sinusoide, avente la stessa frequenza e avente<br />
come ampiezza la differenza delle ampiezze.<br />
t<br />
44
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
-6<br />
-8<br />
RIEPILOGO DELLA SOMMA E DIFFERENZA TRA SINUSOIDI<br />
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025<br />
Y d = Y 1 – Y 2<br />
Ys<br />
Y 2<br />
Conclusioni: somme e differenze tra sinusoidi isofrequenziali, sono ancora<br />
sinusoidi di stessa frequenza, ma con ampiezze diverse (o somma o differenze tra<br />
le ampiezze originarie). La fase iniziale, supposta zero, resta ancora zero.<br />
NOTA: la differenza Y d si poteva ottenere anche facendo Yd = Y 2 – Y 1, ma la<br />
sinusoide risultante sarebbe stata ribaltata (sfasata di 180°).<br />
Y 1<br />
t<br />
45
SOMMA E DIFFERENZA TRA SINUSOIDI: METODO VETTORIALE<br />
La tecnica grafica non è utilizzabile praticamente in elettrotecnica. Il metodo<br />
vettoriale è invece molto più facile e veloce. Vediamo in cosa consiste.<br />
Y 1 = 3 Y 2 = 4<br />
VETTORI IN FASE<br />
Come già descritto in precedenza, ogni vettore<br />
rotante descrive una sinusoide. Quindi<br />
utilizziamo i vettori sommandoli o sottraendoli<br />
tra loro per ottenere le sinusoidi corrispondenti.<br />
Di conseguenza possiamo sostituire le<br />
operazioni trigonometriche con operazioni<br />
vettoriali.<br />
Y S = 3+4 = 7<br />
Y D = -1<br />
46
y<br />
ESEMPI DI CALCOLO VETTORIALE<br />
Nei seguenti esempi tratteremo alcuni casi notevoli di somma o differenza tra vettori e<br />
successivamente tracceremo le sinusoidi corrispondenti.<br />
Y 2=1 Y S = ?<br />
S<br />
fase<br />
y<br />
modulo<br />
1<br />
della<br />
y<br />
della<br />
2<br />
somma<br />
somma<br />
VETTORI IN QUADRATURA (1° caso)<br />
Y 1=2<br />
y<br />
S<br />
y1<br />
1<br />
2<br />
y 2 arctg(<br />
)<br />
y<br />
Y 1 ed Y 2 sono due vettori sfasati di 90°<br />
(si dicono in quadratura), e la loro<br />
somma Y S avrà un modulo ed una fase<br />
calcolati di seguito.<br />
y 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
arctg(<br />
)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
5<br />
arctg(<br />
0,<br />
5)<br />
2,<br />
236<br />
26,<br />
56<br />
47
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
-1<br />
-1,5<br />
CORRISPONDENZA TRA VETTORI E SINUSOIDI<br />
Y1<br />
-1<br />
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025<br />
-2<br />
-3<br />
Y2<br />
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025<br />
-0,5<br />
t<br />
t<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
Y 2=1 Y S = 2,236<br />
2,236<br />
=26,56°<br />
Y 1=2<br />
Ys<br />
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025<br />
Confrontare i vettori con le rispettive sinusoidi e riconoscere la<br />
corrispondenza tra ampiezze e tra le fasi iniziali.<br />
t<br />
48
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
-1<br />
-1,5<br />
Y1<br />
2,5<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
t<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1,5<br />
-2<br />
-2,5<br />
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025<br />
Y2<br />
-0,5<br />
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025<br />
ESEMPI DI CALCOLO VETTORIALE<br />
VETTORI IN QUADRATURA (2° caso)<br />
t<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
Y 2=1<br />
Y 1=2<br />
Y S = 2,236<br />
Ys<br />
= - 26,56°<br />
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025<br />
Anche ora confrontare i vettori con le rispettive sinusoidi e riconoscere la<br />
corrispondenza tra ampiezze e tra le fasi iniziali.<br />
49<br />
t
1,5<br />
Y 2= 1<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1,5<br />
Y S = Y 1 - Y 2<br />
Y S = 1<br />
= 180°<br />
Ys<br />
ESEMPI DI CALCOLO VETTORIALE<br />
VETTORI IN OPPOSIZIONE DI FASE<br />
Y 1=2<br />
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025<br />
t<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1,5<br />
2,5<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1,5<br />
-2<br />
-2,5<br />
Y1<br />
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025<br />
Y2<br />
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025<br />
50<br />
t<br />
t
CONCLUSIONI<br />
Al calcolo tra sinusoidi aventi la stessa<br />
frequenza (isofrequenziali), si sostituisce il<br />
calcolo tra vettori, più facile e veloce.<br />
Per il calcolo tra vettori si utilizzano le<br />
tecniche già studiate con i numeri<br />
complessi.<br />
51