PRIMA PARTE 1. Luci: con la torcia [1 ora] In aula: si punta una ...

PRIMA PARTE
1. Luci: con la torcia [1 ora]
In aula: si punta una torcia accesa contro una parete e si osserva il profilo della parte
illuminata al variare dell’inclinazione della torcia (rispetto alla parete). Si introducono i
termini ellisse, parabola, iperbole, poi si chiede di riflettere sull’aspetto geometrico della
“situazione”:
la torcia elettrica genera un cono di luce e la parte illuminata rappresenta la sezione del
cono con il piano della parete.
Come caratterizzare le diverse curve che si presentano?
Dalla discussione, condotta dall’insegnante, scaturiscono le definizioni delle coniche come
sezioni.
È importante osservare che in realtà il cono di luce generato dalla torcia è, dal punto di
vista geometrico, un semicono. Se si considera il cono, nell’ultimo caso -quello
dell’iperbole- la sezione è costituita da due parti (rami) di cui sulla parete se ne vede solo
una.
Poiché gli studenti conoscono già alcune coniche come luoghi geometrici piani (questo è
sicuramente vero almeno per la circonferenza e la parabola) si deve far emergere, nella
discussione, l’esigenza di capire quale relazione ci sia tra le coniche-luoghi e le conichesezioni.

Uno studio dei casi degeneri potrebbe essere suggerito dalla seguente scheda.
Scheda (per casa)
Considera i diversi casi a cui corrispondono i tre tipi di conica. Se immagini di spostare il
piano parallelamente a se stesso, allontanandolo o avvicinandolo al vertice del cono, si
ottengono sempre curve dello stesso tipo?
Scrivi le tue riflessioni al riguardo.
2. Ombre: una palla su un tavolo [2 ore]
Si pone il problema di studiare l’ombra che una palla appoggiata su un tavolo produce
quando viene illuminata da una sorgente “puntiforme”.
Discutere della difficoltà di realizzare fisicamente questo esperimento.
Si divide la classe in gruppi di 3-4 studenti. Ad ogni gruppo vengono assegnati:
- una tavoletta di legno nella quale è inserito, ortogonalmente alla tavoletta, un
bastoncino cilindrico
- una sfera in polistirolo alla quale è incollata una piccola piastra magnetica che
consente, con una seconda piastra collocabile sotto la tavoletta, di fermare la sfera
al piano
- fogli di carta, puntine da disegno, spago.
Fissando uno spago al bastoncino, con una puntina da disegno, si invitano gli studenti a
tracciare l’ “ombra” su un foglio di carta fissato sulla tavoletta, materializzando i raggi
luminosi con lo spago.
L’ombra è una conica (perché?). Chiediamo ai gruppi di studenti di studiare l’ombra al
variare della sorgente luminosa lungo il bastoncino, e di registrare per iscritto le proprie
osservazioni e riflessioni.
Invitare gli studenti ad osservare anche i punti di contatto tra lo spago e la sfera.
3. Ombre: discussione [1 ora]
Si discutono in classe le riflessioni prodotte dai diversi gruppi.
Dalla discussione emergono i diversi casi possibili e i casi limite.
Nel caso dell’iperbole, qualora non sia emerso, occorre chiedersi come si può
visualizzare il secondo ramo.

4. La parabola come sezione e come luogo [1 ora]
Si torna a considerare l’”ombra” della sfera su un piano nel caso della parabola e si
domanda agli studenti:
se questa parabola è la stessa che abbiamo definito come luogo dei punti equidistanti da
un punto (il fuoco) e da una retta (direttrice), quali sono secondo voi il fuoco e la
direttrice della parabola-ombra?
Un rapido esame dovrebbe portare a ipotizzare che il fuoco sia il punto di contatto tra la
sfera e il piano α, mentre la direttrice sia la retta d’intersezione tra il piano α e il piano
del cerchio di contatto tra sfera e cono.
Per provare questa affermazione occorre dimostrare che ogni punto P sulla parabola è
equidistante da F e da d.
Cominciamo con osservare che PF e PP’ sono due segmenti di tangenti condotte da P
alla sfera e dunque:
PF = P P ′ .

[Questo fatto può essere facilmente accettato per analogia col caso piano, al quale si
risale facilmente considerando che nel piano determinato da P, F e P’ i due segmenti
considerati sono i segmenti delle tangenti condotte dal punto P alla circonferenza
sezione della sfera col piano stesso…].
Si ha inoltre che Pd = ZD.
Consideriamo ora:
- il piano per P parallelo al piano del cerchio di diametro HK,
- il cono di vertice S che sega questo piano in un cerchio di diametro VW parallelo
ad HK.
Risulta che P ′
P =VH ed inoltre, come si vede nella figura seguente, essendo i triangoli
DAH e ZAV triangoli rettangoli isosceli, si ha anche VH = ZD .

Riassumendo: PF = P P ′ =VH , Pd = ZD e VH = ZD , e quindi abbiamo provato che
PF = Pd .
Domanda: si possono in qualche modo riproporre queste considerazioni anche al caso
dell’ellisse e dell’iperbole?
Se torniamo a considerare l’ombra della sfera sul piano nel caso, per cominciare,
dell’ellisse, possiamo continuare a considerare anche in questo caso il punto F e la retta
d.
In questo caso, ovviamente, i punti dell’ellisse non sono equidistanti da F e da d.
Ma c’è qualche regolarità anche in questa figura?
Consideriamo un punto P sull’ellisse. Se facciamo variare il punto P si osserva che
quando PF aumenta, aumenta anche Pd, e viceversa. Possiamo chiederci allora se il
PF
rapporto sia costante.
Pd

5. Una definizione unitaria di conica [1 ora]
Nella lezione successiva si invitano gli studenti, divisi in gruppi, a tentare di dimostrare
questa proprietà, utilizzando la dimostrazione svolta nel caso della parabola.
Al termine di questa attività, si confrontano le dimostrazioni proposte dai diversi gruppi.
Si riflette insieme sul fatto che questa dimostrazione può essere estesa al caso
dell’iperbole e si giunge, attraverso la discussione, ad individuare una definizione unitaria
di conica come il luogo dei punti P del piano per i quali è costante il rapporto e
(eccentricità) tra le distanze di P da un punto fisso F (fuoco) e da una retta d (direttrice):
PF
= e.
Pd
Nel caso della parabola
e = 1. Ci si chiede allora:
Scheda (per casa)
Il valore di e varia col variare del tipo di conica? È possibile caratterizzare le diverse
coniche in termini di eccentricità? Che cosa succede se il punto S va all’infinito?
Scrivi le tue riflessioni al riguardo.
6. Verso un nuovo punto di vista [1 ora]
Partendo dalle riflessioni scritte degli studenti, si analizzano i diversi casi e si riassumono
le conclusioni:
0 ≤ e < 1
e = 1
e > 1
Ellisse
[ e = 0, circonferenza]
Parabola
Iperbole
Si propone ora un nuovo problema a partire da una considerazione di tipo intuitivo:
se guardiamo la figura che rappresenta un’ellisse, il suo fuoco e la sua direttrice ci
accorgiamo di una certa“stranezza”; quale?
Mentre la curva appare “simmetrica”, il fuoco e la direttrice sono tutti spostati da “una
parte”. Questo porta naturalmente a chiedersi se non ci sia un altro fuoco e un’altra
direttrice dall’ “altra parte”.
Chiediamo agli studenti di precisare meglio questa considerazione e chiediamo inoltre
come si possano interpretare, nella figura spaziale, questo nuovo fuoco e questa nuova
direttrice.

Dopo aver approfondito questo aspetto, e aver riconosciuto che le considerazioni fatte
possono essere estese anche nel caso dell’iperbole, si propone la seguente scheda.
Scheda (per casa)
PF
Considera un’ellisse data da
Pd = e (con 0 ≤ e < 1).
Considera inoltre il secondo fuoco F ′ e la seconda direttrice d ′ .
Cosa puoi dire della quantità PF + P F ′ ?
7. L’ellisse del giardiniere e l’iperbole… [1 ora]
Si confrontano le diverse riflessioni proposte dagli studenti, per giungere alla conclusione
che:
PF + P F ′ = ePd+ P ′ d ( )= e ⋅ D D ′ = cost.
Questa proprietà consente di guardare all’ellisse in modo nuovo, con la definizione nota
tradizionalmente come “ellisse del giardiniere”.
Si passa quindi a considerare l’analogo caso dell’iperbole,

per concludere che in questo caso è
PF − P F ′ = cost.
Da questo punto in poi il percorso può proseguire nel modo consueto, andando a
determinare le equazioni canoniche dell’ellisse e dell’iperbole nel piano cartesiano e
studiandone le proprietà.
In questo contesto può essere interessante, riprendendo la definizione unitaria di conica,
proporre anche l’equazione unitaria delle coniche riferite ad un opportuno sistema di assi
cartesiani.
Considerando come asse x, la retta passante per i
fuochi, e come asse y, la retta passante per il
punto A della costruzione nello spazio (che nella
figura a fianco è indicato con O), le coordinate
del fuoco possono essere indicate nella
forma F( f ;0).
Poiché il punto O appartiene alla
conica si ha:
OF
OF f
= e ⇒ OD = =
OD e e .
Da questo si può dedurre che l’equazione della
f
direttrice è d : x =−
e .
Se P è un generico punto della conica, avremo
che:
Pd = f
+ x e PF = ( x − f )
e 2
+ y 2 .
Da PF = e ⋅ Pd ricaviamo dunque, con facili passaggi, l’equazione unitaria delle coniche:
( 1 − e2)x
2 + y 2 − 2 f ( 1 + e)x
= 0.
L’esame dei casi che corrispondono a e = 0 e e = 1, permettono di verificare la
correttezza dell’equazione nei casi già noti (gli studenti hanno già esaminato
circonferenze e parabole nel piano cartesiano).
SECONDA PARTE
1. Macchine e curve [1 ora]
Si mostrano agli studenti alcuni semplici meccanismi (un pantografo, un meccanismo
che riproduce una porta “basculante”) e/o la simulazione in Cabrì di altri (macchina a
vapore).
Si chiede di osservare che, in tutti questi meccanismi, al movimento di un punto P lungo
una curva nota, corrisponde il movimento di un punto P ′ lungo una curva dello stesso

tipo della prima o di altro tipo e quindi che i meccanismi “trasformano” una curva in
un’altra.
Gli studenti, divisi per gruppi, analizzano questi meccanismi, ipotizzano che tipo di
curva venga prodotta dalla “trasformazione” e dimostrano le loro congetture.
2. Conicografi che utilizzano il cerchio direttore [2 ore]
Agli studenti, divisi in gruppi, vengono proposti i conicografi che utilizzano il cerchio
direttore. Alternandosi intorno alle macchine, i diversi gruppi prendono in esame
parabolografo, ellissografo e iperbolografo, seppure in ordine diverso. Si chiede ai diversi
gruppi di analizzare le macchine, tracciando le curve, individuandone la natura, e
argomentando le loro osservazioni. Poiché i conicografi permettono di tracciare solo
archi piuttosto limitati di curva, il riconoscimento delle curve non può avvenire in modo
intuitivo, guardando alla “forma” complessiva. Per capire dunque di quali curve si tratta
occorre utilizzare le definizioni delle coniche come luoghi. Questa esperienza non è
affatto immediata, e gli studenti devono faticare non poco, prima di capire con quale
curva hanno a che fare. Il ruolo dell’insegnante è molto importante nel guidare gli
studenti a prendere in esame, nella macchina, quali siano gli elementi fissi e che gioco
svolgano rispetto a quelli in movimento.
3. Un altro punto di vista: piegature e inviluppi [2 ore]
Agli studenti, divisi in gruppi si forniscono dei fogli di carta translucida. Su uno di questi
fogli si traccia una circonferenza e si segna un punto interno alla stessa. Si invitano
quindi gli studenti a piegare il foglio in modo l’arco di cerchio sulla parte piegata si
sovrapponga al punto fissato. Si invitano gli studenti a ripetere queste piegature molte
volte e “in tutte le direzioni”. Guardando in trasparenza ciò che si ottiene si riconosce il
profilo di un’ellisse. Si invitano gli studenti ad osservare che la curva è “descritta” da una
famiglia di rette, quelle corrispondenti alle piegature.
Domanda: che relazione c’è tra le rette corrispondenti alle piegature e l’ellisse visualizzata?
Gli studenti riconoscono facilmente, dal punto di vista percettivo, che ogni retta è
tangente all’ellisse e che per ogni punto dell’ellisse passa una sola di queste.
Si introduce la nozione di inviluppo per una famiglia di rette.
Si invitano gli studenti a provare che effettivamente la curva rappresentata è un’ellisse.
Si ripete la stessa esperienza tracciando su altri fogli di carta translucida:
- una circonferenza e un punto esterno (iperbole);
- una retta ed un punto non appartenente ad esse (parabola).
Il procedimento può essere modificato per ottenere un’iperbole (se si prende un punto
esterno al cerchio) oppure una parabola, sostituendo una retta alla circonferenza; è
interessante il fatto di “vedere” una curva che non è stata tracciata.
CONSIDERAZIONI E SVILUPPI
1) L’esperienza delle piegature può essere collegata, sia prima che dopo, con l’analisi
delle proprietà focali delle coniche. L’esame della pirofila ellittica al Museo della
matematica, connessa allo studio del problema di Erone, può introdurre l’esame di
queste proprietà e la dimostrazione, per via sintetica, delle stesse.

2) Uno dei possibili sviluppi nello studio delle macchine, potrebbe essere quello di far
costruire agli studenti altri conicografi tra quelli illustrati sul sito dell’Universtià di
Modena (conicografi a filo teso, antiparallelogrammi per ellisse ed iperbole, ellissografi di
Leonardo e Van Schooten). A ciascun gruppo viene fornita una scheda illustrativa della
macchina (eventualmente senza esplicitare quale curva viene tracciata) e i materiali per
costruirla. I gruppi costruiscono la macchina, studiano la curva tracciata e in seguito la
illustrano alla classe.
3) Una macchina particolarmente interessante è quella di Oddi-Paciotti, perché permette
di tracciare archi di tutte le coniche e perché, per capire la natura della curva tracciata,
occorre studiarne l’equazione in un opportuno riferimento cartesiano.