1.1 Modello di un sistema dischi, molla e smorzatore - Supsi

Serie 1, Laboratorio di modellistica, Modellazione e rappresentazioni SUPSI-DTI
8. Supponendo di conoscere gli l’andamenti delle due uscite del sistema
φ1(t) e φ2(t) indotti dalle entrate
[τ1 = a(t),τ2(t) = 0] e [τ1(t) = 0,τ2(t) = b(t)],
risulta possibile determinare in modo diretto l’andamento delle uscite del sistema
φ1(t) e φ2(t) indotto dall’entrata
[τ1(t) = −π ·a(t),τ2(t) = 2·b(t)]? Se si come? (vedi corso : capitolo 1)
9. Importare in Matlab le funzioni di trasferimento e lo spazio degli stati trovati.
10. Importare in Simulink la rappresentazione grafica trovata.
11. Simulare la risposta ad un gradino unitario di momento dato in τ1 assumendo
τ2 = 0 sia in Matlab che in Simulink.
Soluzione:
1. L’infinitesima massa dm alla distanza r dal centro di rotazione del disco vale
dm = dV · ρ dove dV rappresenta l’infinitesimo volume della massa stessa.
L’infinitesimo volume vale
quindi
ri
Ji = r 2 ri
dm =
0
0
dV = 2·r ·π ·h
Area di base
· dr ,
Altezza
r 2 ri
·2·r ·π ·h·ρ·dr = 2·π·h·ρ· r
0
dm
3 ·dr = 1
2 ·r4 i ·π·h·ρ
per i ∈ {1,2}. Sapendo che la massa del disco vale mi = r2 i ·π ·h·ρ, si può
alternativamente scrivere
Ji = 1
2 ·r2 i ·mi
2. • Energia cinetica : C = 1
2 ·J1 · ˙ φ2 1
1 + 2 ·J2 · ˙ φ2 2
• Energia potenziale : P = 1
2 ·k ·(φ2 −φ1) 2
• Dissipazione : D = 1
2 ·d1 · ˙ φ2 1
1 + 2 ·d2 · ˙ φ2 1
2 + 2 ·d· φ2
˙ − ˙ φ1
• Lagrangiana : L = C −P = 1
2 ·J · ˙ φ2 1
1 + 2 ·J · ˙ φ2 1
2 − 2 ·k ·(φ2 −φ1) 2
• Prima equazione di lagrange:
d ∂L
dt ∂ ˙
−
φ1
∂L
∂φ1
+ ∂D
∂ ˙ φ1
2
= τ1
J1 · ¨ φ1 +d1 · ˙ φ1 −k ·(φ2 −φ1)−d·( ˙ φ2 − ˙ φ1) = τ1
2 Ivan Furlan, Roberto Bucher 9 giugno 2011