1.1 Modello di un sistema dischi, molla e smorzatore - Supsi

SUPSI-DTI Serie 1, Laboratorio di modellistica, Modellazione e rappresentazioni
1.1 Modello di un sistema dischi, molla e smorzatore
Dati sono due dischi di acciaio di raggi r1 e r2 e spessore h1 e h2. I dischi posseggono
un coefficiente di attrito viscoso alla rotazione d1 e d2. I dischi sono collegati tra
loro tramite una componente elastica k con smorzamento viscoso d. Ad ogni disco
è possibile applicare un rispettivo momento τ1(t) e τ2(t). Sono dati:
• Raggio dischi r1 = r2 = 0.1 [m]
• Spessore dischi h1 = h2 = 0.01 [m]
• Peso specifico acciaio ρ = 7900 [kg/m 3 ]
• Smorzamento viscoso alla rotazione dei dischi d1 = d2 = 0.0032 [Nms/rad]
• Elsasticitá k = 0.48 [Nm/rad]
• Smorzamento viscoso dell’elsasticità d = 0.003135 [Nms/rad]
1. Calcolare i momenti di inerzia J1 e J2 dei due dischi applicando la formula
J = r 2 dm (consiglio: esprimere dm in funzione del raggio r, cioè dm =
2·r ·π ·h·ρ·dr).
2. Modellare il sistema applicando il formalismo Lagrangiano. Utilizzare le variabili
φ1(t) e φ2(t) per descrivere la posizione angolare dei due dischi.
3. Determinare la rappresentazione di stato delle equazioni differenziali trovate
(vedi corso : Trasformazione da equazione differenziale a funzione di trasferimento).
4. Determinare la rappresentazione grafica delle equazioni differenziali trovate.
5. Partendo dalla rappresentazione di stato, scrivere in funzione di A,B,C,D
l’espressione che lega Φ1(s) e Φ2(s) alle entrate T1(s) e T2(s), supponendo
condizioni iniziali nulle (vedi corso : Trasformazione da rappresentazione di
stato a funzione di trasferimento).
6. Partendo dalle equazioni differenziali, senza passare per la rappresentazione
di stato, trova l’espressione che lega Φ1(s) e Φ2(s) alle entrate T1(s) e T2(s),
supponendo condizioni iniziali nulle (vedi corso : Funzione di trasferimento).
7. Partendo dalla rappresentazione di stato, scrivere in funzione di A,B,C,D
l’espressione che lega φ1(t) e φ2(t) alle entrate τ1(t) e τ2(t), supponendo condizioni
iniziali nulle (vedi corso : Soluzione nel tempo dalla rappresentazione
di stato).
9 giugno 2011 Ivan Furlan, Roberto Bucher 1

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8. Supponendo di conoscere gli l’andamenti delle due uscite del sistema
φ1(t) e φ2(t) indotti dalle entrate
[τ1 = a(t),τ2(t) = 0] e [τ1(t) = 0,τ2(t) = b(t)],
risulta possibile determinare in modo diretto l’andamento delle uscite del sistema
φ1(t) e φ2(t) indotto dall’entrata
[τ1(t) = −π ·a(t),τ2(t) = 2·b(t)]? Se si come? (vedi corso : capitolo 1)
9. Importare in Matlab le funzioni di trasferimento e lo spazio degli stati trovati.
10. Importare in Simulink la rappresentazione grafica trovata.
11. Simulare la risposta ad un gradino unitario di momento dato in τ1 assumendo
τ2 = 0 sia in Matlab che in Simulink.
Soluzione:
1. L’infinitesima massa dm alla distanza r dal centro di rotazione del disco vale
dm = dV · ρ dove dV rappresenta l’infinitesimo volume della massa stessa.
L’infinitesimo volume vale
quindi
ri
Ji = r 2 ri
dm =
0
0
dV = 2·r ·π ·h
Area di base
· dr ,
Altezza
r 2 ri
·2·r ·π ·h·ρ·dr = 2·π·h·ρ· r
0
dm
3 ·dr = 1
2 ·r4 i ·π·h·ρ
per i ∈ {1,2}. Sapendo che la massa del disco vale mi = r2 i ·π ·h·ρ, si può
alternativamente scrivere
Ji = 1
2 ·r2 i ·mi
2. • Energia cinetica : C = 1
2 ·J1 · ˙ φ2 1
1 + 2 ·J2 · ˙ φ2 2
• Energia potenziale : P = 1
2 ·k ·(φ2 −φ1) 2
• Dissipazione : D = 1
2 ·d1 · ˙ φ2 1
1 + 2 ·d2 · ˙ φ2 1
2 + 2 ·d· φ2
˙ − ˙ φ1
• Lagrangiana : L = C −P = 1
2 ·J · ˙ φ2 1
1 + 2 ·J · ˙ φ2 1
2 − 2 ·k ·(φ2 −φ1) 2
• Prima equazione di lagrange:
d ∂L
dt ∂ ˙
−
φ1
∂L
∂φ1
+ ∂D
∂ ˙ φ1
2
= τ1
J1 · ¨ φ1 +d1 · ˙ φ1 −k ·(φ2 −φ1)−d·( ˙ φ2 − ˙ φ1) = τ1
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• Seconda equazione di lagrange:
d
dt
∂L
∂ ˙ φ2
− ∂L
+
∂φ2
∂D
∂ ˙ φ2
= τ2
J2 · ¨ φ2 +d2 · ˙ φ2 +k ·(φ2 −φ1)+d·( ˙ φ2 − ˙ φ1) = τ2
3. La rappresentazione di stato è definita come
˙xs = A·xs +B ·u
y = C ·xs +D ·u
Dove in questo caso il vettore delle entrate u vale
ed il vettore delle uscite vale
u =
y =
Definendo il vettore di stato come segue
⎡ ⎤
φ1
⎢ ⎥
⎢ ˙φ1 ⎥
xs = ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ φ2 ⎦
˙φ2
si ottengono di conseguenza le matrici
⎡
0 1 0 0
⎢ −
A = ⎢
⎣
k
J1 −d+d1
k d
J1 J1 J1
0 0 0 1
k d
− J2 J2
k
J2 −d+d2
⎤
⎥
⎦
J2
⎡ ⎤
0 0
⎢ 1 ⎥
0 ⎥
B = ⎢ J1 ⎥
⎢
⎣ 0 0 ⎥
⎦
1 0 J2
1 0 0 0
C =
0 0 1 0
0 0
D =
0 0
4. Risolvendo le equazioni differenziali del sistema rispetto φ1 e φ2
¨φ1 = 1
·
J1
τ1 −d1 · ˙ φ1 −k ·(φ1 −φ2)−d· φ1
˙ − ˙
φ2
¨φ2 = 1
·
J2
τ2 −d2 · ˙ φ2 +k ·(φ1 −φ2)+d· φ1
˙ − ˙
φ2
se ne deriva la rappresentazione grafica in figura (1.1).
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τ1
τ2
φ1
φ2

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1
tau1
2
tau2
1/J1
1/J2
ddphi1
1
s
dphi1
d1
d
d2
Figura 1.1: Rappresentazione grafica delle equazioni differenziali del sistema
ddphi2
5. La rappresentazione di stato del sistema è
1
s
˙xs = A·xs +B ·u
dphi2
y = C ·xs +D ·u.
Applicando la trasformata di Laplace si ottiene
Xs(s)·s = A·Xs(s)+B ·U(s)
Y(s) = C ·Xs(s)+D ·U(s)
Risolvendo la prime delle due equazioni rispetto X(s) si ottiene
che inserito nella seconda dà
Xs(s) = (s·I −A) −1 ·B ·U(s)
Y(s) = C ·(s·I −A) −1 ·B ·U(s)+D ·U(s) (1.1)
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k
1
s
1
s
phi1
phi2
1
phi1
2
phi2

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dove
ed
U(s) =
Y(s) =
T1(s)
T2(s)
Φ1(s)
Φ2(s)
6. Le equazioni differenziali descriventi il comportamento dinamico del sistema
sono
J1 · ¨ φ1 +d1 · ˙ φ1 −k ·(φ2 −φ1)−d·( ˙ φ2 − ˙ φ1) = τ1
J2 · ¨ φ2 +d2 · ˙ φ2 +k ·(φ2 −φ1)+d·( ˙ φ2 − ˙ φ1) = τ2
Applicando la trasformata di Laplace si ottiene
J1 ·Φ1(s)·s 2 +d1 ·Φ1(s)·s−k ·(Φ2(s)−Φ1(s))−d·(Φ2(s)·s−Φ1(s)·s) = T1(s)
J2 ·Φ2(s)·s 2 +d2 ·Φ2(s)·s+k ·(Φ2(s)−Φ1(s))+d·(Φ2(s)·s−Φ1(s)·s) = T2(s)
e raggruppando in funzione di Φ1(s) e Φ2(s) diventa
J1 ·s 2 +(d1 +d)·s+k
·Φ1(s)+(−d·s−k)·Φ2(s) = T1(s)
J2 ·s 2 +(d2 +d)·s+k
·Φ2(s)+(−d·s−k)·Φ1(s) = T2(s)
che può essere espresso in forma matriciale come segue
dove
ed
ed
T(s) =
T(s)·Y(s) = U(s)
U(s) =
Y(s) =
T1(s)
T2(s)
Φ1(s)
Φ2(s)
J1 ·s 2 +(d1 +d)·s+k −d·s−k
−d·s−k J2 ·s 2 +(d2 +d)·s+k
Dunque il vettore delle uscite Y(s) puù essere espresso in funzione del vettore
delle entrate U(s) come segue
Y(s) = T(s) −1 ·U(s)
Osservazione: Paragonando quanto ottenuto con l’equazione (1.1), si nota
che deve valere la seguente uguaglianza
T(s) −1 = C ·(s·I −A) −1 ·B +D
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7. La soluzione nel tempo dell’equazione differenziale di stato
è
˙xs = A·xs +B ·u
xs(t) = e −A·t ·xs(0)+e −A·t ·B ⋆u(t)
E quindi l’evoluzione delle uscite nel tempo vale
y(t) = C ·xs(t)+D ·u(t) = C ·e −A·t ·xs(0)+C ·e −A·t ·B ⋆u(t)+D ·u(t)
8. Supponendo che l’evoluzione delle uscite all’entrata
sia
[τ1(t) = a(t),τ2(t) = 0]
[φ1,Input 1(t),φ2,Input 1(t)]
Supponendo che l’evoluzione delle uscite all’entrata
sia
Per la linearità, l’uscita allo stimolo
sarà
[τ1(t) = 0,τ2(t) = b(t)]
[φ1,Input 2(t),φ2,Input 2(t)]
[τ1(t) = −π ·a(t),τ2(t) = 2·b(t)]
[φ1(t),φ2(t)] = −π ·[φ1,Input 1(t),φ2,Input 1(t)]+2·[φ1,Input 2(t),φ2,Input 2(t)]
9. Svolto in laboratorio.
10. Svolto in laboratorio.
11. Svolto in laboratorio.
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