成像補充資料 - 物理學系

實驗一:幾何光學 I -- 透鏡焦距與成像
(一)光的折射與反射
(1)平面介面
- 1 -
補充資料:透鏡焦距與成像
Fermat’s principle:light, in going from points S to P, traverses the route
having the smallest optical path length.
費馬原理:光在兩點間的光程為一極值。
1、variational principle:the path taken by light in going from some points
S to a point P via a reflecting surface was the shortest possible one.
光由 S 點到 P 點,會找最小可能路徑。
2、Principle of least time:the actual path between two point taken by a
beam of light is the one that is traversed in the least time.
光在兩點間傳播時,會選擇時間最短的路徑。
利用費馬原理解釋折射現象:
圖中,光由 S 點(位於折射率為 n 1 的介質中)
通過介面到達 P 點(位於折射率為 n 2 的介質中)
t
s s
i t = + 或
vi vt
2 2 2 2
h + x b + ( a−x) t = +
v v
i t
dt
由費馬原理我們可以知道 0
dx =
因此
dt x −( a −x)
= + = 0
dx v h + x v b + ( a−x) 圖中可以知道 sinθ i =
2 2 2 2
i t
sinθ
=
t
x
h + x
2 2
( a−x) b + ( a−x) 2 2
(圖)光的折射路徑圖

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∴
sinθi sinθt
=
v v
i t
如果光穿過很多層不同介質,則
s1 s2
s3sm t = + + + ... +
v v v v
1 2 3
1
1
m
( )
t = ∑ ns i i (
c i=
OPL
t = )
c
m
m
其中, ( OPL) = ∑ n s 為光程(optical path length)
i=
1
i i
P
( OPL) = ∫ n( s) ds
S
(2)曲面介面(大多數透鏡為球面鏡,因此以球面介面來說明)
光源 S,經由介質 1(折射率 n 1)經過一球面,進入介質
2(折射率 n 2 ),聚在 P 點。此
球面的球心點為 C,曲率半徑為 R。
光由介質 1 進入介質 2 有兩個路徑,一為 S→V→P,另一為 S→A→P。
(圖)光通過曲面介面的折射與反射
光程可寫成 ( OPL) = n10 l + n2l = n1s0+ n2s = constant
i i
圖中,三角形 SAC 和 ACP,利用餘弦定理和 cosϕ = −cos(180 −
ϕ)
- 2 -

2 2
1
2
可以得到: l0 = ⎡
⎣R + ( s0 + R) − 2 R( s0 + R)cosϕ⎤ ⎦
i = ⎡
2
+ ( i −
2
) + 2 ( i − )cos
1
⎤2
l ⎣R s R R s R ϕ ⎦
所以 ( OPL ) 可以改寫成
( )
1⎡ ⎣
2
( 0
2
) 2 ( 0
1
)cosϕ⎤2
⎦
2
n2⎡R ( si 2
R) 2 R( si 1
R)cosϕ⎤2
OPL = n R + s + R − R s + R
+ ⎣ + − + − ⎦
( )
- 3 -
補充資料:透鏡焦距與成像
d OPL nR 1 ( s0 + R)sin ϕ nR 2 ( si − R)sinϕ
光程與角度ϕ 無關,因此 = 0 ⇒ − = 0
dϕ
2l02li n1 n2 1 n2sins 1 0
再根據 Fermat’s principle ⇒ + = ( − )
l l R l l
0 i i 0
假設ϕ 很小,也就是說,A 點很靠近 V 點,即 cosϕ ≈ 1(也就是近軸入射),
l0 ≈ s0且
li ≈ si
n1 n2
1
+ = ( n2 − n1)
s s R
0
i
2 4 6
ϕ ϕ ϕ
補充資料: cosϕ = 1 − + − + ...
2! 4! 6!
3 5 7
ϕ ϕ ϕ
sin ϕ = ϕ − + − + ...
3! 5! 7!
討論 1:光經過球面後,成為平行光,即 s i = ∞ 。
n1 n2
1
+ = ( n2 −n1)
s0∞R 我們定義此時的 s 0 為第一個聚焦長度(the first focal length)(物聚焦長度,the
object focal length)。
n1
⇒ f0 = R
n − n
2 1
討論 2:平行光經過球面後,聚在一點,即 s 0 = ∞ 。
n1 n2
1
+ = ( n2 −n1)
∞ siR 我們定義此時的 s i 為第二個聚焦長度(the second focal length)(像聚焦長度 the
image focal length)。
⇒
n
2 fi = R
n2 − n1
補充資料:一般會將光由左向右傳播,因此第一個聚焦點又稱為左焦
點(前焦點,first focal point),此焦點是在透鏡的左方。

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(二)薄透鏡
球面薄透鏡焦距求法:
一球面薄透鏡(折射率為 n 2 )置於折射率為 n 1 與 n 3 的介質中。
(圖)球面鏡成像示意圖
n1 n2
1
由(一)的結論: + = ( n2 − n1)
,可以得到:
s0siR n1 n2
+ =
s01 si1 1
( n2 − n1)
....................○1
R1
n2
n3
1
+ = ( n3−n2) .........○2
( − si1+ d) si2 R2
n1 ○1 +○2 ⇒
s
n3 n2 − n1 n3−n2 + = + +
s R R ( s
n2d − d) s
...........○3
01 i212i1i1 假設 n1 = n3(因為透鏡幾乎放在空氣中
n1 = n3
= 1)
且 d → 0 (因為是薄透鏡)
1 1 1 1
1 1 n2 − n ⎛ 1 1 1 ⎞
+ = ( n −1)( − )
+ = ( ) ⎜ − ⎟
s01 si2 n1⎝ R1R2⎠ ⇒ 2
s0 si R1 R2
lim si fi
s0
→∞ = ⇒ 2
i
lim s f
si
→∞
1
= ( n
f
1 1
−1)( − )
R1 R2
1 n2 − n1
1 1
= ( )( − )
fi n1 R1 R2
1
f
= ( n
1 1
−1)( − )
R R
1
f
n2 − n1
1 1
= ( )( −
)
n R R
0 = 0 ⇒ 2
0 1 2
- 4 -
0 1 1 2

- 5 -
補充資料:透鏡焦距與成像
由上兩式可以知道 f0 = fi
1 1
所以 + =
s s
1 1 1
= ( n2
−1)( − )
f R R
1 n2 − n1
1 1
= ( )( − )
f n R R
0 i
1 2
討論:若 n1 ≠ n3
n1 n3 n2 − n1 n3−n2 n2d 由○3 式: + = + +
s s R R ( s − d) s
01 i212i1i1 因為是薄透鏡,所以 d → 0
n1 n3 n2 − n1
n3−n2 + = +
s01 si2 R1 R2
n3 n2 − n1
n3 − n2
lim si = fi
⇒ = +
s0
→∞
fi R1 R2
1 n3−n2 n2 − n1
透鏡的右焦距 f i : = +
f nR nR
i
3 2 3 1
1 1 2
只討論右焦距是因為一般我們定義光從左向右傳播,我們較常需要用
到右焦距。
補充資料:一些定義
1、光由左向右,定義往右為正方向;往左為負方向。
2、物在透鏡左方,物距為負;物在透鏡右方,物距為正。
3、像在透鏡右方,像距為正;像在透鏡左方,像距為負。
補充資料:光由左向右,定義
凸透鏡(convex) 凹透鏡(concave)
雙凸(Bi-convex) 雙凹(Bi-concave)
R > 0
1
R < 0
2
R < 0
1
R > 0
平凸(Planar convex) 平凹(Planar concave)
R 1 = ∞
R < 0
2
2
R 1 = ∞
R > 0
凹凸(Meniscus convex) 凸凹(Meniscus concave)
2

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R > 0
1
R > 0
2
表中,透鏡左面曲率半徑為 R 1 ,右面曲率半徑為 R 2 。
一般畫圖習慣,光由左邊進入系統。
實驗講義(4)(5)式證明:
1 1 1 1 1
+ = ( n −1)( − ) =
s s′ r r f
1 1 1 2
s1+ s′ 1 = A ⇒ s′ 1 = A− s1帶回原式
1 1 1
+ =
s1 A−s1 f
( A− s1) + s1
1
=
s1( A−s1) f
A 1
=
s ( A−s ) f
1 1
Af = s A − s
2
1 1
s As Af
2
1 − 1+ = 0
2
A± A −4Af
解方程式,得到 s1
=
由圖可知: s′ 1 > s1
2
A− 因此取 s1
=
2
A −4Af
2
A+ , s′ 1 = A− s1
=
2
A −4Af
2
- 6 -
R > 0
1
R > 0
2

(四)厚透鏡
- 7 -
補充資料:透鏡焦距與成像
(1)透鏡系統的 6 個光學主平面(cardinal planes)
1、主平面(principle plane):The surface, approximating a plane in the paraxial region, is
termed the principle plane.
主點(principle point ):第一主點 H 1
第二主點 H 2
2、焦平面(focal plane)
焦點(focal point)L:第一焦點 F 0 (物 object 焦點)
第二焦點 F i (像 image 焦點)
(a) (b)
(圖)主點與焦點
圖 a 中,一道光從第一焦點發出,經過透鏡,形成平行光,物光與平行光交會在第
一主平面(first principle plane),第一主平面與光軸的交點為第一主點(first principle
point , H 1 )。從第一主點到第一焦點的距離為第一焦距(first focal length)或物焦距
(object focal length, f),鏡片第一面頂點 V 1 到第一焦點距離為前焦距(front focal
length, ffl)。透鏡厚度: VV 1 2。
圖 b 中,平行光經過透鏡,聚焦在第二焦點。
3、節點平面(nodal plane)
節點(nodal point)第一節點 N 1
第二節點 N
2

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(圖)節點
Extending both the incoming and outgoing rays until they cross the optical axis locates
what are called the nodal points, 1 N and N 2 in Fig.
當一束光線進入鏡片,會有一共軛點,使得入射角 θ 1 和出射角 θ 2 一樣,稱此共軛
點為節點。
光線入射節點 N 1,必保持相同方向從第二節點
N 2 射出。
(2)厚透鏡成像
【待補!】
(五)薄透鏡組合系統
(1)考慮兩個薄透鏡 L 1 和 L 2 ,焦距分別為 f 1與
f 2 ,兩透鏡距離 d 。
d < f1且
d < f2。如圖。
圖 a 中,單就薄透鏡 L 1 來看,我們考慮光束 2 和光束 3 兩道光束,成像在 P′ 1位置。
光束 4 是從 P′ 1通過薄透鏡
L 2 的鏡心 O 2 ,再回到 S 1 。
SO…薄透鏡 L 2 對光束 4 沒有影響。
- 8 -

(圖 a)
圖 b 中,光束 3 會通過薄透鏡 L 2 的像焦點 F i2
。
光束 3 和光束 4 會形成一個像 P 1 。
(圖 b)
1
si1 1 1
= −
f1 so1
so1f1 si1
=
so1−f1 …………………………….…(1)
s 為正值。當 s 1 > f1且
f 1 > 0 ,像在 L 1 右邊。
i1
o
對於 L 2 而言, so2 = d −si1……………………………….……(2) 若 d > si1,則物對
L 2 而言是 real(實物)。
若 d < s1,則物對
L 2 而言是 virtual(虛物)。
1 1 1
s f s
i
o2
2
= − i2
i2 2 o2
so2 f2
i1
2
將(2)代入(3),得到 i2
d si1 f2
將(1)代入(4),得到 s
s
=
s
i2
s f
− …………………….…………(3)
( d − s ) f
= …………………………(4)
− −
so1f1f2 fd 2 −
so1−f1 =
so1f1 d − f2−
s −
f
o1
1
- 9 -
補充資料:透鏡焦距與成像

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橫向放大率 T T1 T2
在這邊, s o1
為物距, s i2
為像距。
M = M M
⎛ s ⎞⎛ i1 s ⎞ ⎛ i2
f ⎞⎛ 1 s ⎞ i2
= ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜
⎟
⎝so1⎠⎝so2 ⎠ ⎝so1−f1⎠⎝d−si1⎠ (1)
f1si2
fs 1 i2
=
=
ds ( − f) −s ( s − f ) ds ( − f) −sf
o1 1 i1 o1
( 1)
1
fs
1 i2
MT =
ds ( o1− f1) −so1f1
(2)
- 10 -
o1 1 o1
1
輸入平面到第一焦點為前焦距(front focal length, f.f.l.)
輸出平面到第二焦點為後焦距(back focal length, b.f.l.)
假設 si 2 →∞,由(3)可知 so2 → f2
由(2)可知 si1 →d − f2
∴
1 1 1
= −
s f s
i1 1 o1
在這個特殊例子中, so1 = f. f.. l
f1( d − f2)
f. f.. l =
d − ( f + f )
1 2
假設 so1 →∞,∴ so1−f1 → so1
∴
s
i2
so1f1f2 fd 2 −
so1−f1 =
so1f1 d − f2−
s − f
o1
1
此時, si2 = b. f.. l
f2( d − f1)
bfl . . =
d − ( f + f )
1 2
(a)若 d → 0
f2f1 f. f.. l = b. f. l =
f +
f
1 1 1 1 1
= − = −
s f s f d − f
o1 s 1 i1
1 2
i 2 =∞
1 2
s
s
fd−
ff
o1
1 2
2
so1
f2d − f1f2 f2( d − f1)
i2
= = =
so1
f1 d − f
d f2 f1 d f1 f2
2 −
− − − +
so1
( )

1 1 1
兩個薄透鏡接觸在一起: = +
f f f
1 2
1 1 1 1
N個薄透鏡接觸在一起: = + + .... +
f f f f
1 2
- 11 -
N
補充資料:透鏡焦距與成像
(b)若 d ≠ 0
1 1 1
對整個系統而言,已知 + =
so si f
ss o i f =
so + si
假設 so = so1→∞,∴
si1 = f1(無窮遠光經過透鏡
L 1 ,聚焦在焦點 f 1上)
s = d − s
M M M
o2 i1
i1 i2
T = T1 T2
= − −
so1 so2
1 1 1
si= f ( ∵ + = )
s s
o
= 0
i f
⎛ s ⎞⎛ s ⎞ si
⎜ ⎟⎜ ⎟ = −
⎝ ⎠⎝ ⎠ so
s s
s =−
i1 i2
i
so2
f
f s
=−
s
1 i2
o2
f1si
2 f1
f =− =−
so2
so2 so2f2 so2 − f2
ff 1 2 =
si1− d + f2
so2f2 ( si
2 =
so2 − f2
) ( 1 1 1 d
= + −
f f f f f
so2 = d − si1)
1 2 1 2
(2)若 d > f1+ f2
(六)矩陣方法
【待補】

東海大學物理系
(1)座標轉換
參考圖中座標定義,在幾何光學中,我們用兩個參數來描述一道光束。光束相對於
光軸 z 的橫向位移為 x,夾角為θ ,
dx
θ = 。位於輸入平面的一道光束與輸出平面的光
dz
束之間的關係,我們以一個矩陣式子來表示:
⎡x⎤ ⎡x ⎤ ⎡A B⎤⎡x
⎤
= M =
2 1 1
⎢
θ
⎥ ⎢
2 θ
⎥ ⎢
1 C D
⎥⎢
θ
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣
1⎦
⎡1 l⎤
M = ⎢
0 1
⎥
⎣ ⎦
(圖)
(2)平面介質的矩陣法
若光是從介質 1 (折射率 n 1 )進入介質 2 (折射率 n 2 ),根據司乃爾定律
n1
n1sinθ1 = n2sinθ
2,考慮近軸條件下,可以簡化成
n1θ1 = n2θ2或
θ2 = θ1。同時輸入位置
n2
⎡1 ⎡x2⎤ 與輸出位置一樣時,即 x1 = x2,可以得到
⎢
⎢
θ
⎥ =
⎣ 0 2⎦ ⎢
⎢⎣ 是光束從介質 1 進入介質 2 時的轉換矩陣。
0 ⎤
⎡1 ⎡x1⎤ n
⎥
1 ⎥⎢
θ
⎥,也就是
M =
⎢
1
n
⎣ ⎦
⎢0 2 ⎥⎦
⎢⎣ 0 ⎤
n
⎥
,M
1 ⎥
n2
⎥⎦
- 12 -

(圖)光在平面介面的傳播
(3)曲面介質的矩陣法
若光束進入的介質面為一曲率半徑 R 的曲面。由圖 3 中可以看出
x1 = x2
θ = θ + ϕ
i
1
θ = θ + ϕ
t 2
由司乃爾定律可以得到 n1 i = n1( 1+ ) = n2( 2 + ) = n2
t
θ θ ϕ θ ϕ θ
n n −n θ2 = θ1+ n2 n2 n n −n
x
1
ϕ = θ1−
(
n2 n2 R
x
ϕ = − )
R
⎡ 1
⎡x2⎤ ⎢
⎢ n2 n1 θ
⎥ = −
⎣ 2⎦ ⎢− ⎢⎣ nR 2
0 ⎤
⎡x1⎤ n
⎥
1⎥⎢
θ
⎥
1
n
⎣ ⎦
2⎥⎦
可以導出 1 1 2 1 1 2 1
(圖)光在曲面介面的傳播
對於一薄透鏡而言,光的輸入點與輸出點是一樣的,因此 x1 = x2
⎡x2⎤ ⎡A B⎤⎡x1⎤
由 ⎢
θ
⎥ = ⎢
2 C D
⎥⎢
θ
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣
1⎦
得到,輸入角度與輸出角度間的關係為 2 1 1
- 13 -
補充資料:透鏡焦距與成像
θ = Cx +
Dθ

東海大學物理系
(1) 我們將一道光入射薄透鏡中心點位置,亦即 x 1 = 0
因此可以得到 θ2 = Dθ1
因為是薄透鏡中心點位置,因此可以說 θ2 = θ1,也就是
D = 1
(2) 我們將一道平行光入射,即 θ 1 = 0
得到 θ 2 = Cx1
−1
1
平行光入射薄透鏡會聚焦在薄透鏡的焦點上,因此可以得到 θ2
= x1(
C =− )
f
f
⎡ 1 0⎤
因此,我們可以將薄透鏡的矩陣寫成 M = ⎢
1
⎥
⎢− 1⎥
⎢⎣ f ⎥⎦
(圖)
圖中薄透鏡的轉換矩陣式可以寫成
⎡ 1 0⎤
⎡x⎤ ⎡1 s′ ⎤⎢ ⎥⎡1
s⎤⎡x ⎤ ⎡A B⎤⎡x
⎤
= =
2 1 1
⎢ 1
θ
⎥ ⎢
1
2 0 1
⎥ ⎢
0 1
⎥⎢ θ
⎥ ⎢
1 C D
⎥⎢
θ
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎢−⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣
1⎦
⎢⎣ f ⎥⎦
這種分析方式稱為 ABCD 矩陣法(ABCD matrix)。
(4)
在做 ABCD 矩陣乘積時,會存在一個輸入平面 I,與一個輸出平面 II,如圖,對一個光
學系統而言,我們要求它的焦距,可以由左向右打入一道平行光,,即令
⎡x⎤ ⎡A B⎤⎡x⎤
=
2 1
⎢
θ
⎥ ⎢
2 C D
⎥⎢
θ
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣
1⎦
其中的 θ 1 = 0 ,可以得到 θ 2 = Cx1。由圖中幾何圖形可以知道,一個光學系統的焦距定義
x1
1
為 f ′ sys =− =− (負號是為了要和前面角度定義一致)
θ C
2
- 14 -

⎡x2⎤ ⎡A B⎤⎡x1⎤
由 ABCD 矩陣: ⎢
θ
⎥ = ⎢
2 C D
⎥⎢
θ
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣
1⎦
(圖)
平行入射光,所以 θ 1 = 0 ,可以得到 θ 2 = Cx1。
x2 = Ax1
x1
1
由上已知 f ′ sys =− =−
θ2
C
x1−x2 x1(1 − A) 1−
A
右主平面到輸出平面距離為 y = = =
θ θ C
(5)關於雙透鏡系統的矩陣法
2 2
- 15 -
補充資料:透鏡焦距與成像
在一個多透鏡系統中,我們可以定義出 6 個光學主平面(cardinal planes)來完整的
描述整個系統。這 6 個光學主平面分別為主平面(principle plane)、焦平面(focal plane)
和結點平面(nodal plane),每一種都有左、右兩個,共 6 個。
當我們從系統左方打一道平行光束,在整個系統右方聚焦在一點上,包含這個焦
點,且垂直於光軸的平面稱之為右焦平面。
由 ABCD 矩陣法所求得的 6 個光學主平面相對位置。當主平面到焦平面的距離
1
fsyst
≡− ,此數值為正時,表示焦平面在主平面的右邊。右主平面到輸出平面間的距
C
1− A
離 y ≡ ,此數值為正時,表示主平面在輸出平面右邊,反之在輸出平面左邊。左
C
D −1
主平面到輸入平面間的距離 y ≡ ,此數值為正時,表示主平面在輸入平面右邊。
C
假設將一個雙透鏡系統擺置在空氣中,如圖所示,光由左向右入射,其中第一個透
鏡的焦距為 f 1,第二個透鏡的焦距為
f 2,輸入平面與輸出平面分別與第一個透鏡及第二
個透鏡重合。根據 ABCD 矩陣法(ABCD matrix)這個雙透鏡系統的矩陣可以寫為

東海大學物理系
M
syst
⎡ l
⎤
⎡ 1 0⎤ ⎡ 1 0⎤
⎢ 1−
l
1
f
⎥
⎡A B⎤ ⎡ l⎤
1
=
⎢
1
⎥ ⎢
1
⎥ ⎢ ⎥
⎢
C D
⎥ ≡
1 ⎢
0 1
⎥ =
⎣ ⎦
⎢− ⎥ 1
l 1 1 l
f
⎣ ⎦
⎢− ⎥ ⎢ ⎡⎛ ⎞ ⎤ ⎥
⎣⎢ 2 ⎦⎥ ⎣⎢ f1
⎦⎥
⎢−⎢⎜1− ⎟ + ⎥ 1−
⎥
⎢⎣ ⎣⎝ f1⎠ f2 f1⎦ f2⎥⎦
由這個矩陣,我們可以得到:
主平面到焦平面的距離
1
fsyst
≡− (11)
C
l
主平面到輸出平面間的距離 y =−
f
1−
A
fsyst
≡ (12)
C
其中
1 ⎡⎛ l ⎞ 1 1 ⎤ 1 1 l
= ⎢⎜1− ⎟ + ⎥ = + −
fsyst ⎣⎝ f ⎠ f f ⎦ f f f f
1 2 1 1 2 1 2
1
(圖)一個雙透鏡系統的示意圖
主平面到輸出平面的距離為 y
主平面到焦平面的距離為 f syst
另外也可以用光束追跡法在不知道 f 1、
f 的情況下,決定雙透鏡的焦距與主平面的
2
位置,如圖。在此定義輸出平面與焦點的距離為工作距離(working distance, WD),是
光學鏡頭重要的參數。單一薄透鏡的 WD 即是焦距,但是雙透鏡或多透鏡就等於 (11)
式與 (12)式的差值。因此本實驗也可定出雙透鏡的 WD。
l l
WD ≡ fsyst − fsyst = (1 −
) fsyst
f f
1 1
- 16 -
(13)
(10)

討論:兩透鏡距離 l 的限制
1 ⎡⎛ l ⎞ 1 1 ⎤ 1 1
= 1−
+ = + −
l
=
f + f − l
⎣⎝ ⎠ ⎦
1 2
由 ⎢⎜ ⎟ ⎥
fsyst f1 f2 f1 f1 f2 ff 1 2 ff 1 2
fsyst
=
ff 1 2
f1+ f2 − l
l
WD = (1 − ) fsyst
=
f1 f2( f1−l) f1+ f2 − l
2
WD > 0 ⇒ 1
1
f
l < f −
f −
2
實驗裡的凸透鏡有三種規格:100mm、150mm、200mm
同學可事先計算l 的最小值。
(七)關於縱向放大率(longitudinal magnification)
由圖中知道
三角形 AOF i 和三角形 PPF: 2 1 i
o y
yi f
=
si − f
……(1)
yo 三角形 SSO和三角形 2 1
PPO: 2 1
yi so
= ………(2)
si
yo 三角形 SSF和三角形 2 1 o BOF o :
y
s0−f =
f
……(3)
(1)和(2)和(3):
yo f so so − f
= = =
y s −
f s f
i i i
i
(圖)
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補充資料:透鏡焦距與成像

東海大學物理系
1 1 1
= +
f so si
y f x
= = ………………(4)
o o
yi xi f
xoxi f
2
= …………………(5)
橫向放大率(transverse magnification)為 M
dxi
縱向放大率定義為 M L ≡
dx
dxi 將(5)式微分: xo + xi
= 0
dxo
dxi xi
= −
dx x
o
o 0
i i xo
2
o o xo
2
o
由(2): M
由(4): M
dx x f
=− ⋅ =− =− M
dx x x
M =− M
2
L T
T
T
T
2
T
- 18 -
yi
≡
yo
si
= −
so
xi f
= − =−
f x
:一根 1m 長的棒子平放在焦距 10cm 的透鏡前面,問成像的長度為何?問縱向放
大率為何?
【提醒】橫向與縱向,是對透鏡而言…不是以你的觀察角度來看~
***************************************************************************
設物體移動前,物距為 s o ,像距為 s i ,
移動後,物距為 s′ o ,像距為 s′ i
1 1 1
+
=
s s f
o i
o

1 1 1
+ =
s′ s′ f
M
o i
L
1 1 1 1
− = −
s s′ s′ s
o o i i
s′ i − si
=−
s′ − s
o o
ss′
o o =−
ss′
i i
s′ −s s′ −s
=−
o o i i
ss′ o o ss′
i i
2
⎛s⎞ o =−⎜ ⎟
si
⎝ ⎠
2
=− MT
1、Hecht , Optics, Addison-Wesley, 1987.
2、近代實驗光學,黃衍介,東華書局。
3、光電科技概論,中央大學,五南圖書。
4、http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=10250
100/01/11(二)整理更新
100/12/16(五)整理更新
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補充資料:透鏡焦距與成像