Corso di Metodi Matematici per la Finanza Esercizi su EDO/DE ...

Corso di Metodi Matematici per la Finanza
Esercizi su EDO/DE lineari 2d
Es. 1 Siano T = R + e X = R 2 . Si consideri il sistema lineare
x ′ (t) = Âx(t), con x(0) = x 0,
dove
 =
( 1 −1
2 −1
)
.
a) Determinare la soluzione generale al variare del dato iniziale.
b) Calcolare i punti di equilibrio, studiarne la stabilità e la natura.
c) Tracciare il ritratto di fase.
Es. 2 Siano T = R + e X = R 2 . Si consideri il sistema lineare
x ′ (t) = Âx(t), con x(0) = x 0,
dove
 =
( 1 2
2 1
)
.
a) Calcolare i punti di equilibrio, studiarne la stabilità e la natura.
b) Tracciare il ritratto di fase, specicando le isocline.
c) Determinare la soluzione generale al variare del dato iniziale.
d) Si trovi la soluzione particolare relativa alla condizione iniziale x(0) =
( 1
−1
)
e si discuta il
risultato ottenuto.
Es. 3 Siano T = N e X = R 3 . Si consideri il sistema lineare
x(t + 1) = Âx(t), con x(0) = x 0,
dove
⎛
 = ⎝
0 1 1
1 0 1
0 0 1
⎞
⎠ .

a) Determinare la soluzione generale al variare del dato iniziale.
b) Si trovi la soluzione particolare relativa alla condizione iniziale x(0) =
risultato ottenuto.
⎛
⎝
−1
1
0
⎞
⎠ e si discuta il
c) Calcolare i punti di equilibrio e studiarne la stabilità.
Es. 4 Siano T = N e X = R 2 . Si consideri il sistema lineare
x(t + 1) = Âx(t), con x(0) = x 0,
dove
 =
( 0 1
1 0
)
.
Determinare:
a) la soluzione generale al variare del dato iniziale;
b) i punti di equilibrio e studiarne la stabilità;
c) lim t→+∞ Â t x 0 per un generico x 0 .