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Parte 1
Funzioni di variabile complessa

Indice
Parte 1. Funzioni di variabile complessa 1
Capitolo 1. Definizioni e prime proprietà 5
1. Funzioni elementari nel campo complesso 5
2. Funzioni olomorfe 10
Capitolo 2. Proprietà delle funzioni olomorfe 21
1. Integrazione complessa 21
2. Teorema integrale di Cauchy 25
3. Formule integrali di Cauchy 29
4. La proprietà di Cauchy come caratterizzazione dell’olomorfia 34
5. Proprietà “geometriche” delle funzioni olomorfe 36
Capitolo 3. Funzioni meromorfe: singolarità e residui 43
1. Rappresentazione in serie per funzioni olomorfe 43
2. Rappresentazione in serie di Laurent e studio delle singolarità 45
3. Teoria dei residui 51
Complementi 59
3

Capitolo 1
Definizioni e prime
proprietà
Funzioni elementari nel campo complesso. Cenni su logaritmi e
polidromia. Derivazione complessa e olomorfia.
1. Funzioni elementari nel campo complesso
Ci occuperemo d’ora in poi di funzioni complesse (cioè a valori
nell’insieme dei numeri complessi C) di variabile complesse a
(cioè definite su un opportuno sottoinsieme di C).
Poiché l’insieme dei numeri complessi C si può identificare con
il piano euclideo R 2 mediante l’applicazione biunivoca
(1.1) C ∋ z = x + iy ←→ (x, y) ∈ R 2 ,
ogni funzione complessa a variabile complessa è equivalente ad
una funzione di due variabili reali a valori in R 2 . Ciò rende
praticamente impossibile rappresentare graficamente le funzioni
5

6 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ
complesse di variabile complessa. D’altra parte, possiamo associare
in modo inequivoco ad ogni funzione complessa f una
coppia di funzioni reali u e v come segue 1
(1.2)
f : A ⊂ C → C ↔ u , v : B ⊂ R 2 → R
f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).
Così come assegnare z significa assegnare la sua parte reale x
e la sua parte immaginaria y, assegnare la funzione f vuol dire
assegnare u e v .
Molte funzioni di variabile complessa possono essere introdotte
semplicemente supponendo che la variabile indipendente assuma
dei valori complesi qualsiasi. È questo il caso delle funzioni
polinomiali, ovvero
f(z) = a 0 z n + a 1 z n−1 + · · · + a n−1 z + a n ,
dove a 0 , · · · a n sono dei numeri complessi assegnati. Si può dire
lo stesso delle funzioni razionali
f(z) = a 0z n + a 1 z n−1 + · · · + a n−1 z + a n
b 0 z m + b 1 z m−1 + · · · + b m−1 z + b m
,
o delle funzioni esprimibili mediante radicali, come ad esempio
f(z) = √ z − 1.
In questi casi la decomposizione in parte reale e immaginaria
(1.2) può essere eseguita mediante semplici operazioni.
Esempio 1.1. Consideriamo la funzione f : C → C, f(z) =
z 2 . Poiché (x + iy) 2 = x 2 + 2ixy − y 2 , questa funzione può essere
decomposta come f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) con u(x, y) =
x 2 + y 2 e v(x, y) = 2xy.

1. FUNZIONI ELEMENTARI NEL CAMPO COMPLESSO 7
x 2 − y 2 = R(x + iy) 2
2xy = I(x + iy) 2
x
y
x
y
Attenzione a non confondere la funzione f(z) = z 2 con la funzione
g(z) = |z| 2 , ovvero g(x + iy) = x 2 + y 2 . Si noti che, in
realtà, tutti i valori di g hanno parte immaginaria nulla, ovvero
g è “a valori reali”. Di conseguenza, g può essere rappresentata
graficamente in un colpo solo:
x 2 + y 2 = |x + iy| 2
x
y

8 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ
Le funzioni elementari trascendenti e trigonometriche possono
essere definite a partire dalle cosiddette formule di Eulero
(1.3)
(1.4)
cos t = 1 (
e it + e −it) ,
2
sin t = 1 (
e it − e −it) ,
2i
dove t è un qualunque numero reale. Da queste si deduce che
cos t + i sin t = 1 2
(
e it + e −it) + i (
e it − e −it) = e it .
2i
È dunque naturale definire l’esponenziale complesso come
e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y) .
e x cos y = R (e x+iy )
e x sin y = I (e x+iy )
x
y
x
y
Rimandiamo ai complementi (vedi l’Osservazione 3.15) per una
definizione più rigorosa.
È possibile “invertire” la funzione esponenziale, e la sua inversa
sarà il logaritmo complesso.

1. FUNZIONI ELEMENTARI NEL CAMPO COMPLESSO 9
log √ x 2 + y 2 = R (log(x + iy))
arctan(x/y) = I (log(x + iy))
x
y
x
y
Possiamo ora interpretare la formula (1.3) anche quando t =
x + iy è un qualunque numero complesso:
cos(x + iy) = 1 (
e i(x+iy) + e −i(x+iy)) = 1 (
e ix−y + e −ix+y)
2
2
= 1 [
(cos x + i sin x) e −y + (cos x − i sin x) e y]
2
= cos x 1 (
e −y + e y) + i sin x 1 (
e −y − e y)
2
2
= cos x cosh y − i sin x sinh y.
Definiamo allora il coseno complesso come :
cos z = cos(x + iy) = cos x cosh y − i sin x sinh y.
cos x cosh y = I (cos(x + iy))
− sin x sinh y = I (cos(x + iy))
x
y
x
y

10 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ
In modo simile deduciamo dalla formula (1.4) che:
sin(x + iy) = 1 (
e i(x+iy) − e −i(x+iy)) = 1 (
e ix−y − e −ix+y)
2
2
= 1 [
(cos x + i sin x) e −y − (cos x − i sin x) e y]
2
= cos x 1 (
e −y − e y) + i sin x 1 (
e −y + e y)
2
2
= − cos x sinh y + i sin x cosh y.
Definiamo allora il seno complesso come :
sin z = sin(x + iy) = − cos x sinh y + i sin x cosh y.
− cos x sinh y = R (sin(x + iy))
sin x cosh y = I (sin(x + iy))
x
y
x
y
2. Funzioni olomorfe
Definizione 1.1. Prendiamo una funzione di variabile complessa
f : A → C, dove A è un sottoinsieme aperto di C. Sia poi
z o un punto di A, diciamo che f è derivabile (in senso complesso)
in z o se esiste il limite del rapporto incrementale
f(z) − f(z o )
lim
.
z→z o z − z o
In tal caso, il valore di tale limite (che sarà un numero complesso)
si dice derivata (in senso complesso) di f in z o e si indica
con f ′ (z o ) o con Df(z o ).

2. FUNZIONI OLOMORFE 11
Diremo poi che f è olomorfa in A se è derivabile in ogni punto
di A. Se, in particolare, l’insieme di olomorfia A è tutto il piano
euclideo C, parliamo di funzione olomorfa intera.
Come per le derivate in senso reale, valgono tutte le proprietà
“algebriche” dei limiti.
Proposizione 1.1 (Proprietà della derivata complessa). Siano
f 1 e f 2 due funzioni olomorfe e c 1 , c 2 due numeri complessi.
Allora
(1.5)
(1.6)
D (c 1 f 1 + c 2 f 2 ) (z) = c 1 f ′ 1(z) + c 2 f ′ 2(z),
D (f 1 f 2 ) (z) = f ′ 1(z)f 2 (z) + f 1 (z)f ′ 2(z).
Se, inoltre, f 2 (z) ≠ 0, allora
(1.7) D
(
f1
f 2
)
(z) = f ′ 1(z)f 2 (z) − f 1 (z)f ′ 2(z)
f 2 (z) 2 .
Le funzioni polinomiali sono olomorfe in tutto C, le funzioni
razionali sono olomorfe sul loro dominio di definizione (vedi
Esempi 3.4, 3.5 e 3.6).
Ricordando che l’insieme dei numeri complessi C si può identificare
con il piano euclideo R 2 mediante l’applicazione biunivoca
(1.1), possiamo associare in modo inequivoco ad ogni funzione
complessa f una coppia di funzioni reali u e v come in (1.2).
Ricordiamo poi una definizione.
Definizione 1.2. Prendiamo una funzione di due variabili
reali u : B → R, dove B è un sottoinsieme aperto di R 2 . Sia poi
(x o , y o ) un punto di B.
Diciamo che u ammette derivata parziale rispetto a x in (x o , y o ) se
esiste, finito, il limite del rapporto incrementale nella direzione
delle x:
u(x, y o ) − u(x o , y o )
lim
.
x→x o x − x o

12 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ
In tal caso, il valore di tale limite (che sarà un numero reale) si
dice derivata parziale rispetto a x di u in (x o , y o ) e si indica con
∂u
∂x (x o, y o ) o ∂ x u(x o , y o ) o u x (x o , y o ).
x
y
x
y
Figura 1. A sinistra, abbiamo disegnato in verde
la curva u(x, 0) e in blu la rispettiva retta tangente.
A destra, in verde è la curva u(0, y) e in blu la
rispettiva retta tangente.
In modo del tutto simile, diremo che u ammette derivata parziale
rispetto a y in (x o , y o ) se esiste, finito, il limite del rapporto
incrementale nella direzione delle y:
u(x o , y) − u(x o , y o )
lim
.
y→x o y − y o
In tal caso, il valore di tale limite (che sarà un numero reale) si
dice derivata parziale rispetto a y di u in (x o , y o ) e si indica con
∂u
∂y (x o, y o ) o ∂ y u(x o , y o ) o u y (x o , y o ).
Diciamo poi che u è differenziabile in (x o , y o ) se
(i) u ammette derivate parziali rispetto a x e y in (x o , y o ),
(ii) vale la relazione

(1.8)
2. FUNZIONI OLOMORFE 13
[ u(x, y) − u(xo , y o )
lim
−
(x,y)→(x o,y o) |(x, y) − (x o , y o )|
− u ]
x(x o , y o ) (x − x o ) + u y (x o , y o ) (y − y o )
= 0
|(x, y) − (x o , y o )|
In questo caso, diciamo differenziale di u in (x o , y o ) l’applicazione
lineare
du(x o , y o ) : R 2 → R,
du(x o , y o ) (h, k) := u x (x o , y o ) h + u y (x o , y o ) k.
x
y
Figura 2. Differenziale e piano tangente.
Si noti che, vicino al punto (x o , y o )
u(x o + h, y o + k) = u(x o , y o ) + du(x o , y o ) (h, k) + o(|(h, k)|),
dove con o(|(h, k)|) abbiamo indicato indicato una funzione che
va a zero più velocemente della norma del vettore (h, k), ovvero

14 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ
di |(h, k)| = √ h 2 + k 2 .
In sostanza, possiamo approssimare la funzione u con una funzione
affine così costruita: il valore di u nel punto (x o , y o ) più
l’applicazione lineare data dal differenziale. L’errore compiuto
con questa approssimazione è dato dall’o, che sappiamo essere
più piccolo della distanza dal punto (x o , y o ).
Da notare che la differenziabilità è una proprietà più forte della
derivabilità parziale. Infatti, ci sono funzioni che hanno tutte e
due le derivate parziali - sia nella direzione x che y - ma non
sono derivabili! (vedi Esempio 3.7)
Che relazione c’è fra la derivabilità (in senso complesso) di f e la
differenziabilità (in senso reale) di u e v? È facile convincersi che
le due nozioni sono collegate: il legame é dato dalle cosiddette
equazioni di Cauchy - Riemann.
Teorema 1.2 (Condizione necessaria di olomorfia). Sia f :
A → C derivabile (in senso complesso) in un punto z o = x o +
iy o ∈ A. Allora le funzioni u e v definite in (1.2) hanno derivate
parziali in (x o , y o ), e valgono le equazioni di Cauchy-Riemann
{
ux (x
(1.9)
o , y o ) = v y (x o , y o ),
u y (x o , y o ) = −v x (x o , y o ).
Dim. Sostituendo f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) nella definizione
di derivata complessa otteniamo che esiste il limite
f ′ (z o ) =
u(x, y) + iv(x, y) − u(x o , y o ) − iv(x o , y o )
lim
(x,y)→(x o,y o) (x − x o ) + i(y − y o )
= lim
(x,y)→(x o,y o)
[u(x, y) − u(x o , y o )] + i [v(x, y) − v(x o , y o )]
.
(x − x o ) + i(y − y o )
Questo limite esiste nel senso di R 2 , cioè il vettore (x, y) può
avvicinaresi a (x o , y o ) in qualunque modo. In particolare, possiamo
pensare che si avvicina nella direzione delle x, ovvero che

2. FUNZIONI OLOMORFE 15
y è costante e uguale a y o , mentre x tende a x o . Otteniamo così
che
(1.10)
f ′ (z o ) = lim
x→x o
f(x + iy o ) − f(x o + iy o )
x − x o
[u(x, y o ) − u(x o , y o )] + i [v(x, y o ) − v(x o , y o )]
= lim
x→x o x − x o
u(x, y o ) − u(x o , y o ) v(x, y o ) − v(x o , y o )
= lim
+ i lim
x→x o x→x o x − x o
x − x o
= u x (x o , y o ) + iv x (x o , y o ).
In modo speculare, possiamo pensare che il vettore (x, y) si avvicina
nella direzione delle y, ovvero che x è costante e uguale a x o , mentre
y tende a y o . Otteniamo così che
(1.11)
f ′ (z o ) = lim
y→y o
f(x o + iy) − f(x o + iy o )
i(y − y o )
[u(x o , y) − u(x o , y o )] + i [v(x o , y) − v(x o , y o )]
= lim
y→y o i(y − y o )
u(x o , y) − u(x o , y o ) v(x o , y) − v(x o , y o )
= −i lim
+ lim
y→y o x→x o y − y o
y − y o
= v y (x o , y o ) − iu y (x o , y o ).
Ora, per l’unicità del limite, le due quanità che abbiamo ottenuto
in (1.10) e (1.11) devono essere identiche: devono cioè coincidere,
rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria. Queste due
uguaglianze sono, appunto, le equazioni di Cauchy-Riemann (1.9).
□
Se, con un piccolo abuso di notazione, indichiamo con f anche
la funzione di due variabili reali
f : B ⊂ R 2 → C,
f(x, y) = u(x, y) + i v(x, y),
le equazioni di Cauchy-Riemann possono essere scritte sinteticamente
come
(1.9) ′ ∂
∂x f = 1 ∂
i ∂y f.

16 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ
In effetti le equazioni di Cauchy-Riemann sono quasi una caratterizzazione
dell’olomorfia, nel senso che sono molto vicine ad
essere anche una condizione sufficiente.
Teorema 1.3 (Condizione sufficiente di olomorfia). Siano
f : A ⊂ C → C e u, v : B ⊂ R 2 → R legate dalla relazione
(1.2). Sia poi z o = x o + iy o un punto di A. Se le funzioni u
e v sono differenziabili nel punto (x o , y o ) e valgono le equazioni
di Cauchy-Riemann (1.9), allora f è olomorfa in z o e vale la
relazione
(1.12) f ′ (z o ) = u x (x o , y o )+iv x (x o , y o ) = v y (x o , y o )−iu y (x o , y o ).
Dim. La nostra tesi equivale a dimostrare che
f(z) − f(z o ) − f ′ (z o )(z − z o )
lim
= 0,
z→z o z − z o
dove f ′ (z o ) è dato dalla relazione (1.12). Cominciamo allora
con l’utilizzare la trasformazione (1.1) e la relazione (1.2), sicché
il limite che vogliamo calcolare diventa il limite per (x, y) →
(x o , y o ) di
u(x, y) + iv(x, y) − u(x o , y o ) − iv(x o , y o )
x − x o + i(y − y o )
− (u x(x o , y o ) + iv x (x o , y o )) (x − x o + i(y − y o ))
x − x o + i(y − y o )
u(x, y) − u(x o , y o ) − u x (x o , y o ) (x − x o ) + v x (x o , y o )(y − y o )
x − x o + i(y − y o )
+i v(x, y) − v(x o, y o ) − v x (x o , y o ) (x − x o ) − u x (x o , y o ) (y − y o )
.
x − x o + i(y − y o )
Utilizzando le equazioni di Cauchy-Riemann, possiamo riscriverla
come il limite per (x, y) → (x o , y o ) di
u(x, y) − u(x o , y o ) − u x (x o , y o ) (x − x o ) − u y (x o , y o )(y − y o )
x − x o + i(y − y o )
+i v(x, y) − v(x o, y o ) − v x (x o , y o ) (x − x o ) − v y (x o , y o ) (y − y o )
.
x − x o + i(y − y o )
=

2. FUNZIONI OLOMORFE 17
Ora, poiché u e v sono differenziabili in (x o , y o ), ci sono due funzioni
o u e o v che vanno a zero più velocemente di |(x − x o , y − y o )| tali che
u(x, y) − u(x o , y o ) − u x (x o , y o ) (x − x o ) − u y (x o , y o )(y − y o )
= o u (|(x − x o , y − y o )|) ,
v(x, y) − v(x o , y o ) − v x (x o , y o ) (x − x o ) − v y (x o , y o ) (y − y o )
= o v (|(x − x o , y − y o )|)
per (x, y) vicino a (x o , y o ). Pertanto il limite che vogliamo calcolare
è pari a
lim
(x,y)→(x o,y o)
o u (|(x − x o , y − y o )|) + i o v (|(x − x o , y − y o )|)
.
x − x o + i(y − y o )
Poi, moltiplicando e dividendo per
|(x − x o , y − y o )| = √ (x − x o ) 2 + (y − y o ) 2 = |x − x o + i(y − y o )|,
otteniamo
lim
(x,y)→(x o,y o)
o u (|(x − x o , y − y o )|) + io v (|(x − x o , y − y o )|)
|(x − x o , y − y o )|
× |(x − x o, y − y o )|
x − x o + i(y − y o ) .
Il primo fattore di questo prodotto va a zero per come definiamo o u
e o v , mentre il secondo fattore è limitato in quanto
|(x − x o , y − y o )|
∣x − x o + i(y − y o ) ∣ = 1
per ogni (x, y) ≠ (x o , y o ).
volevamo.
Segue allora che il limite è zero, come
□
Abbiamo così visto che le condizioni di Cauchy-Riemann implicano
l’olomorfia quando sappiamo a priori che le funzioni u e
v sono differenziabili. Questa proprietà non è migliorabile: precisamente,
se le funzioni u e v ammettono solo derivate parziali,
allora non è detto che f = u + iv sia olomorfa anche se le condizioni
di Cauchy-Riemann sono soddisfatte. Per convincercene,
vedere l’esempio 3.8.

18 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ
Passiamo infine ad osservare che, derivando la prima equazione
di Cauchy-Riemann rispetto a x e la seconda rispetto a y, si
ottiene che u soddisfa la cosiddetta equazione di Laplace
(1.13) ∆u = u xx + u yy = 0.
Si noti poi che, derivando la prima equazione di Cauchy-Riemann
rispetto a y e la seconda rispetto a x, si ottiene che anche v soddisfa
l’equazione di Laplace. Diciamo armonica una qualunque
funzione di due variabili che è derivabile due volte sia rispetto a x
che rispetto a y e che verifica l’equazione di Laplace. Enunciamo
senza dimostrarlo un importante risultato.
Proposizione 1.4. Ogni funzione armonica è parte reale di
una funzione olomorfa, e viceversa la parte reale di una funzione
olomorfa è armonica. Inoltre tanto le funzioni olomorfe, quanto
le funzioni armoniche, hanno derivate di qualunque ordine.
In particolare, data una qualunque funzione armonica u(x, y),
è possibile determinare una nuova funzione v(x, y) in maniera
tale che la nuova funzione
sia armonica.
armoniche.
f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
Diremo in tal caso che u e v sono coniugate
Esercizio 1.1. Stabilire se, e dove, le seguenti funzioni sono
olomorfe:
(1) f(z) = ¯z,
(2) f(z) = z 2 + iz 3 ,
(3) f(x + iy) = x 2 + iy 3 .
Esercizio 1.2. Verificare che la funzione
u(x, y) = e x (x cos y − y sin y)
è armonica. Determinarne poi una coniugata armonica.

2. FUNZIONI OLOMORFE 19
Esercizio 1.3. Stabilire per quali valori del parametro reale
κ la funzione
u(x, y) = e κxy sin(x 2 − y 2 )
è armonica. Dopo aver scelto un valore per κ, determinarne una
coniugata armonica.
Esercizio 1.4. Verificare che
(1) e z è olomorfa intera con (e z ) ′ = e z ,
(2) sin z è olomorfa intera con (sin z) ′ = cos z,
(3) cos z è olomorfa intera con (cos z) ′ = − sin z,
(4) sinh z è olomorfa intera con (sinh z) ′ = cosh z 2 ,
(5) cosh z è olomorfa intera con (cosh z) ′ = sinh z 3 .
2 ricordiamo che il seno iperbolico - complesso - è definito come
sinh z = 1 2
(
e z − e −z) ,
dove e z indica l’ormai noto esponenziale complesso
3 ricordiamo che il coseno iperbolico - complesso - è definito come
cosh z = 1 2
(
e z + e −z) .

Capitolo 2
Proprietà delle funzioni
olomorfe
Integrazione su curve complesse. Teorema e formule integrali di
Cauchy. Teorema di Morera. Teorema di Liouville e applicazioni.
Teorema del massimo modulo.
1. Integrazione complessa
Cominciamo col definire l’integrale per una funzione a valori
complessi di una variabile reale f : (a, b) ⊂ R → C. Con la
solita convenzione che separa parte reale e parte immaginaria
scriviamo
f(x) = u(x) + iv(x),
da cui è naturale definire l’integrale come
(2.1)
∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
u(x)dx + i
∫ b
a
v(x)dx,
dove i due integrali che compaiono a destra sono i ben noti integrali
di funzioni reali di una variabile reale.
21

22 2. PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI OLOMORFE
L’integrale così definito gode di tutte le proprietà formali dell’integrale
di funzioni reali. Inoltre
Proposizione 2.1. Se f : (a, b) ⊂ R → C è una qualunque
funzione continua e λ = α + iβ è un qualunque numero
complesso, si ha
∫ b
λ f(x)dx = λ
a
∫ b
a
f(x)dx.
Passiamo poi a definire l’integrale di una funzione complessa
f : A ⊂ C → C lungo un arco di curva regolare Γ. Diciamo per
chiarire le idee che Γ è assegnata mediante una parametrizzazione
{ x = x(t),
z = x + iy ∈ Γ ⇔
con t ∈ [a, b],
y = y(t)
Dove x(t) e y(t) sono funzioni continue e derivabili . Possiamo
anche scrivere la parametrizzazione complessa mediante
z(t) = x(t) + i y(t).
Il verso crescente delle t nell’intervallo di parametrizzazione [a, b]
induce un verso di percorrenza sulla curva Γ: quello che va da
z 1 = z(a) a z 2 = z(b). Utilizzando la rappresentazione (1.2)
per la f e la scrittura “formale” dz = dx + i dy otteniamo dopo
qualche conto
f(z) dz = [u(x, y) dx − v(x, y) dy] + i [v(x, y) dx + u(x, y) dy] .
È dunque naturale definire l’integrale come segue
∫ ∫ b
f(z) dz = f(z(t)) z ′ (t) dt
Γ
(2.2)
=
a
∫ b
+i
[u(x(t), y(t)) x ′ (t) − v(x(t), y(t)) y ′ (t)] dt
a∫ b
a
[v(x(t), y(t)) x ′ (t) + u(x(t), y(t)) y ′ (t)] dt.

1. INTEGRAZIONE COMPLESSA 23
Possiamo anche definire un altro tipo d’integrale curvilineo, che
indicheremo con
∫
f(z) ds.
Formalmente, corrisponde a calcolare
Γ
√
f(z) |dz| = [u(x, y) + iv(x, y)] dx 2 + dy 2 ,
ovvero
(2.3)
∫
f(z) ds =
Γ
=
∫ b
∫a
b
+i
a∫ b
a
f(z(t)) |z ′ (t)| dt
√
u(x(t), y(t)) x ′ (t) 2 + y ′ (t) 2 dt
√
v(x(t), y(t)) x ′ (t) 2 + y ′ (t) 2 dt.
Una prima differenza fra i due integrali (2.2) e (2.3) è che il primo
dipende dal verso di percorrenza della curva, mentre il secondo
no.
Proposizione 2.2. Cambiando il verso di percorrenza di Γ,
il valore dell’integrale (2.2) cambia di segno, mentre quello di
(2.3) resta inalterato.
Dim. Indichiamo con −Γ la curva Γ a cui è stato invertito
il verso di percorrenza, cioè in cui è stata scelta la nuova
parametrizzazione
˜z(t) = z(−t)
con t ∈ [−b, −a].

24 2. PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI OLOMORFE
Mettendolo dentro la definizione (2.2) si ha 1
∫ ∫ −a
∫ −a
f(z) dz = f(˜z(t)) ˜z ′ (t) dt = − f(z(−t)) z ′ (−t) dt
−Γ
=
−b
∫ a
= −
b∫ b
a
−b
f(z(τ)) z ′ (τ) dτ
∫
f(z(τ)) z ′ (τ) dτ = −
Γ
f(z) dz.
Se, invece, utilizziamo la definizione (2.3) si ha 2
∫
∫ −a
∫ −a
f(z) dz = f(z(t)) |˜z ′ (t)| dt = f(z(−t)) |z ′ (−t)| dt
−Γ
−b
∫ a
= − f(z(τ)) |z ′ (τ)| dτ =
∫ b
= f(z) ds.
Γ
−b
∫ b
a
f(z(τ)) |z ′ (τ)| dτ
Esercizio 1.5. Siano assegnate tre curve nel piano complesso
mediante parametrizzazione:
Γ 1 : z 1 (t) = t + 3it, t ∈ [0, 3],
Γ 2 : z 2 (t) = t + it 2 , t ∈ [0, 3],
Γ 3 : z 2 (t) = 3 − t + i(t − 3) 2 , t ∈ [0, 3].
Siano poi date le funzioni olomorfe
f 1 (z) = z 2 , f 2 (z) = |z| 2 , f 3 (x + iy) = x 2 + i(y − x).
Calcolare tutti i possibili integrali
∫
f j (z)dz,
al variare di i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3.
Γ i
∫
Γ i
f j (z)ds,
1 utilizzando per la terza uguaglianza il cambiamento di variabile τ = −t
2 utilizzando per la terza uguaglianza il cambiamento di variabile τ = −t
□

2. TEOREMA INTEGRALE DI CAUCHY 25
2. Teorema integrale di Cauchy
Come abbiamo visto relativamente all’integrale curvilineo, una
teoria dell’integrazione fatta solo su curve di classe C 1 è poco utile:
infatti, non ci permette di integrare lungo percorsi alquanto
comuni fatti da quadrati o figure poligonali. D’altra parte, non
possiamo pensare di riuscire a dimostrare alcunché su curve che
abbiano comportamenti troppo bizzarri (pensate ad esempio ad
un frattale, o ad una curva completamente discontinua che non
“racchiude” alcun insieme...). Introduciamo allora una nozione
di curva “regolare” meno restrittiva i quella di curva C 1 ; moralmente,
richiediamo che la derivata (della parametrizzazione della
curva) sia generalmente continua. Precisamente:
Definizione 2.1. Diciamo che una curva è generalmente
regolare se:
• è continua,
• in ogni punto ammette derivata destra e sinistra, e la
funzione derivata così ottenuta è generalmente continua.
Diciamo che un dominio D ⊂ C è regolare se la sua frontiera ∂D
è costituita daun numero finito di curve generalmente regolari.
Il seguente Teorema è l’ennesimo importante risultato attribuito
a Cauchy.
Teorema 2.3 (Teorema integrale di Cauchy). Sia A un sottoinsieme
aperto di C, ed f : A → C una funzione olomorfa. Sia
poi D un dominio regolare e limitato contenuto in A. Allora
∫
∂ + D
f(z)dz = 0.

26 2. PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI OLOMORFE
Dim. Per cogliere l’idea della dimostrazione senza perderci in
troppi dettagli tecnici, facciamo un’ipotesi supplementare, precisamente
che f ′ , la derivata di f, sia continua. Scriviamo poi
f(z) = u(x, y) + iv(x, y), seguendo la convenzione di (1.2). Per
la stessa definizione di integrale curvilineo abbiamo
(2.4)
∫
∂ + D
f(z)dz =
∫
∂ + D
+i
[u(x, y)dx − v(x, y)dy]
∫
∂ + D
[v(x, y)dx + u(x, y)dy] .
Poiché D è un dominio regolare e abbiamo supposto che f sia
di classe C 1 , possiamo utilizzare il Teorema di Gauss-Green che
afferma
∫
∫
u(x, y)dx = − ∂ y u(x, y)dxdy,
∫
∂ + D
∫
∂ + D
∫
∂ + D
∫
u(x, y)dy =
D
D ∫
v(x, y)dx = −
∫
v(x, y)dy =
∂ x u(x, y)dxdy,
D
∂ y v(x, y)dxdy,
∂ x v(x, y)dxdy.
∂ + D
D
Sostituendo nella (2.4) otteniamo
∫
∫
f(z)dz = [−∂ y u(x, y) − ∂ x v(x, y)] dxdy
(2.5)
∂ + D
∂ + D
∫
+i [−∂ y v(x, y) + ∂ x u(x, y)] dxdy.
∂ + D

2. TEOREMA INTEGRALE DI CAUCHY 27
Ora, dal momento che f è olomorfa, le condizioni di Cauchy-
Riemann affermano che
∂ x u = ∂ y v e ∂ y u = −∂ x v.
Pertanto, sostituendo nella (2.5) otteniamo
∫
f(z)dz = 0,
come volevamo.
∂ + D
Il Teorema integrale di Cauchy si rivela importante non solo
in sè e per sè, ma anche perché da esso discendono altri utili
risultati. Cominciamo ad elencarne alcuni.
Corollario 2.4. Sia A un sottoinsieme aperto di C, ed f :
A → C una funzione olomorfa. Sia poi D un dominio regolare
a piú contorni e limitato contenuto in A. Indichiamo con Γ 0 il
contorno esterno di D e con Γ 1 , · · · Γ n tutti i contorni interni.
Si ha che ∫
n∑
∫
f(z)dz = f(z)dz.
∂ + k=1
Γ 0
∂ + Γ k
Corollario 2.5. Sia A un sottoinsieme aperto di C semplicemente
connesso, ed f : A → C una funzione olomorfa. Allora,
l’integrale di f lungo una qualunque curva chiusa, generalmente
regolare, contenuta in A è nullo.
Corollario 2.6. Siano A un sottoinsieme aperto di C semplicemente
connesso, z o un punto di A e f : A → C una funzione
olomorfa su A {z o }. Indichiamo con Γ una qualunque curva
semplice, chiusa, generalmente regolare, contenuta in A e non
passante per z o , che delimita un dominio contenente z o . Allora
l’integrale di f lungo tale curva non dipende dalla scelta della
curva.
□

28 2. PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI OLOMORFE
Corollario 2.7. Siano A un sottoinsieme aperto di C semplicemente
connesso, z 1 , z 2 due punti di A e f : A → C una
funzione olomorfa. Siano poi Γ 1 e Γ 2 due qualunque curve semplici,
generalmente regolare, contenute in A che connettono i due
punti z 1 e z 2 . Allora ∫ ∫
f(z)dz = f(z)dz.
Γ 1 Γ 2
In altre parole, l’integrale di f dipende dal punto di partenza
e da quello di arrivo, ma non dal percorso scelto. Possiamo
dunque scrivere
∫ z2
z 1
f(z)dz
senza specificare il cammino. In paricolare, se fissiamo z 1 e lasciamo
variare z 2 (che ora indicheremo semplicemente con z) in
A, otteniamo una funzione ben definita 3
F : A → C, F (z) =
∫ z
z 1
f(ζ)dζ,
che sarà detta la primitiva (in senso complesso) di f. Così come
per le funzioni reali, la primitiva ha, quanto meno, le stessa
regolarità della funzione integranda. Enunciamo in modo preciso
questa proprietà nel seguente teorema, la cui dimostrazione è
lasciata per esercizio.
Teorema 2.8. Siano A un sottoinsieme aperto di C semplicemente
connesso e f : A → C una funzione olomorfa. Allora
la funzione F : A → C definita da
F (z) =
∫ z
z 1
f(ζ)dζ
3 poiché scegliendo due diversi archi congiungenti z 1 e z otteniamo sempre
lo stesso valore dell’integrale, la funzione f è definita in modo non
ambiguo

è olomorfa su A e vale
3. FORMULE INTEGRALI DI CAUCHY 29
F ′ (z) = f(z).
3. Formule integrali di Cauchy
Vediamo ora una conseguenza alquanto profonda del
Teorema integrale di Cauchy.
Teorema 2.9 (Formula integrale di Cauchy). Siano D un
dominio regolare e limitato e f : D → C una funzione continua
sulla chiusura di D ed olomorfa nell’interno di D. Allora,
comunque scelto un punto z nell’interno di D, vale la formula
(2.6) f(z) = 1
2πi
∫
∂ + D
f(ζ)
ζ − z dζ.
Dim. Fissiamo ad arbitrio un punto z o ∈ D e costruiamo la
funzione ausiliaria
ϕ(z) = f(z)
z − z o
.
Per calcolare l’integrale di ϕ sulla frontiera di D, consideriamo
un disco D r centrato in z o di raggio r, e scegliamo r abbastanza
piccolo in modo che tale disco sia contenuto nell’interno di D.
Consideriamo ora il dominio
D ′ = D \ D r .
D ′ è un dominio regolare la cui frontiera orientata in modo standard
è data da ∂ + D ′ = ∂ + D ∪ ∂ − D r . Poiché ϕ è olomorfa nell’interno
di D ′ e continua fin sulla chiusura, possiamo applicare
il Teorema integrale di Cauchy, che afferma
∫
0 =
∂ + D ′
f(z)
z − z o
dz =
∫
∂ + D
f(z)
z − z o
dz +
∫
∂ − D r
f(z)
z − z o
dz.

30 2. PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI OLOMORFE
Dunque
∫
∂ + D
∫
f(z)
dz = −
z − z o ∂ − D r
∫
f(z)
dz =
z − z o ∂ + D r
f(z)
z − z o
dz.
Concludiamo passando al limite per r → 0: dovremo cioè verificare
che
∣∫
∣∣∣ f(z)
(2.7) lim
dz − 2πif(z o )
r→0
∂ + D r
z − z o
∣ = 0.
A tal scopo, parametrizziamo D r come
z = z o + re iθ con 0 < θ < 2π.
Osservando che dz = ire iθ dθ otteniamo
∫
∫
f(z)
2π
f(z o + re iθ )
dz =
ire iθ dθ
z − z o re iθ
∂ + D r
D’altra parte
∫ 2π
0
= i
∫0
2π
Pertanto
∣ ∫
∣∣∣∣∣ f(z)
dz − i2πif(z o )
∣ z − z o ∣ = i
∂ + D r
=
∣
∫ 2π
0
0
f(z o + re iθ )dθ.
∫ 2π
f(z o )dθ = f(z o ) dθ = 2πf(z o ).
0
∫ 2π
0
f(z o + re iθ )dθ − i
∫ 2π
0
f(z o )dθ
∣
[
f(zo + re iθ ) − f(z o ) ] ∫2π
dθ
∣ ≤ ∣ f(zo + re iθ ) − f(z o ) ∣ dθ.
Poiché f è continua in z o , comunque dato ε > 0 possiamo
scegliere un raggio r abbastanza piccolo in modo da avere
|f(z) − f(z o )| ≤ ε per ogni z nella chiusura di D r .
0

3. FORMULE INTEGRALI DI CAUCHY 31
Pertanto
∣∣∣∣ ∫
∂ + D r
∫
f(z)
2π
dz − 2πif(z o )
z − z o
∣ ≤ εdθ = 2πε.
Riassumendo, abbiamo verificato la definizione di (2.7).
0
□
Un’importantissima conseguenza della formula integrale di Cauchy
è che le funzioni olomorfe ammettono derivate di ogni ordine.
Inoltre, vale una formula di rappresentazione integrale anche per
le derivate.
Teorema 2.10 (Formula integrale di Cauchy per le derivate).
Siano D un dominio regolare e limitato e f : D → C una funzione
continua sulla chiusura di D ed olomorfa nell’interno di D.
Allora f è derivabile infinite volte in ogni punto z ∈ D. Inoltre
vale la formula
(2.8) f (k) (z) = 1
2πi
per ogni intero k.
∫
∂ + D
f(ζ)
(ζ − z) k dζ,
Premettiamo alla dimostrazione del teorema un lemma.
Lemma 2.11 (Derivazione sotto il segno di integrale). Siano
Γ una curva semplice generalmente regolare e f : Γ → C una
funzione continua. Indichiamo con Ω l’insieme C Γ e con F
la funzione
F : Ω → C, F (z) = 1 ∫
2π Γ
f(ζ)
ζ − z dζ.
Supponiamo poi che F sia olomorfa su Ω. Allora F ammette
derivate di qualunque ordine, che saranno a loro volta funzioni
olomorfe. Inoltre, la derivata di ordine k si può rappresentare

32 2. PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI OLOMORFE
come
(2.9) F (k) (z) = k!
2π
∫
Γ
( ) (k) f(ζ)
dζ = 1 ∫
f(ζ)
dζ.
ζ − z 2π Γ (ζ − z)
k+1
Dim. Si tratta, in sostanza, di verificare che
∣ ∫
∣ ∣∣∣ F (z + h) − F (z) f(ζ) ∣∣∣
(2.10) lim
−
h→0 h
(ζ − z) dζ = 0
2
Poniamo R = min{|z − ζ| : ζ ∈ Γ}. Osserviamo esplicitamente
che R > 0 poiché z non appartiene al compatto Γ. Prendiamo
poi r < R, in modo tale che il disco D r di raggio r centrato in z
sia interamente contenuto in Ω. Scegliamo poi degli incrementi
di h in modo che z + h ∈ D r (cioè |h| < r) e calcoliamo
F (z + h) − F (z)
h
= 1 h
∫
Γ
= 1 h
f(ζ) h
(ζ − z − h)(ζ − z) dζ = ∫Γ
∫
Γ
[
Γ
f(ζ)
ζ − z − h − f(ζ)
ζ − z
]
dζ
f(ζ)
(ζ − z − h)(ζ − z) dζ.
Dunque la (2.10) si legge
∫ [
lim
f(ζ)
h→0
∣ (ζ − z − h)(ζ − z) − f(ζ) ]
dζ
(ζ − z) 2 ∣ = 0,
ovvero
Γ
∣ ∣ ∣∣∣ f(ζ) h ∣∣∣
(2.11) lim
h→0
∫Γ (ζ − z − h)(ζ − z) dζ = 0.
2
Per verificare (2.11), osserviamo che la funzione f è, per ipotesi,
continua sul compatto Γ; dunque il Teorema di Weierstrass ci
garantische che f è limitata in modulo: per fissare le idee diciamo
|f(ζ)| ≤ m per ogni ζ in Γ. Inoltre |z − ζ| ≥ R > 0 per
costruzione, mentre |ζ −z−h| ≥ R−r > 0 per ogni ζ in Γ, poiché

3. FORMULE INTEGRALI DI CAUCHY 33
z + h appartiene al disco D r che è esterno a Γ. Concludendo
∫
∣
Γ
∣ ∫
f(ζ) h ∣∣∣
(ζ − z − h)(ζ − z) dζ ≤
2
∫
≤
Γ
Γ
∣ f(ζ) h ∣∣∣
∣
dζ
(ζ − z − h)(ζ − z) 2
m |h|
(R − r)R dζ = m |h|
lungh (Γ),
2 (R − r)R2 da cui discende immediatamente la (2.11) e dunque la tesi.
□
Dim. del Teorema 2.10. Introduciamo la notazione
F (z) = 1 ∫
f(ζ)
2πi ζ − z dζ.
∂ + D
La formula integrale di Cauchy asserisce che F coincide con la
funzione di partenza f, che sappiamo essere olomorfa. Pertanto
possiamo applicare il Lemma di erivazione sotto il segno di integrale,
che ci dà esattamente la nostra tesi.
□
Osserviamo esplicitamente che la Formula integrale di Cauchy per le derivate
asserisce, in particolare, che la derivata di una funzione olomorfa
è a sua volta olomorfa. Questa proprietà ha interesse in sè, tanto
che viene isolata in un teorema a sé stante, attribuito a Goursat.
Teorema 2.12 (Teorema di Goursat). Siano A un sottoinsieme
aperto di C e f : A → C una funzione olomorfa. Allora
anche f ′ è olomorfa su A.
Il Teorema integrale di Cauchy rappresenta una proprietà talmente
insita nel concetto stesso di olomorfia che può essere interpretato
come una condizione necessaria e sufficiente. Questo
concetto sarà trattato nella prossima sezione.

34 2. PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI OLOMORFE
4. La proprietà di Cauchy come caratterizzazione
dell’olomorfia
Ora possiamo ripercorrere la teoria fin qui costruita. Partiamo
da una funzione f olomorfa: il Teorema di Goursat implica
la continuità di f ′ , pertanto possiamo utilizzare la formula di
Gauss-Green che ci permette di dimostrare il Teorema integrale di Cauchy,
da cui a sua volta si ottiene la Formula integrale di Cauchy per le derivate
e dunque il Teorema di Goursat stesso. Sembra la storia del
serpente che si mangia la coda... ecco perché è importante
che siamo in grado di dimostrare il Teorema integrale di Cauchy
senza utilizzare l’ipotesi che f sia C 1 . Il percorso logicamente
corretto è: vale il Teorema integrale di Cauchy per poligoni
(indipendentemente dalla regolarità di f ′ ), da cui si ricava la
Formula integrale di Cauchy per le derivate e infine il Teorema di Goursat.
Il Teorema integrale di Cauchy rappresenta una proprietà talmente
insita nel concetto stesso di olomorfia che può essere interpretato
come una condizione necessaria e sufficiente. Questo è,
in sostanza, il contenuto del seguente teorema, dovuto a Morera
Vale infatti
Teorema 2.13 (Teorema di Morera). Siano A un sottoinsieme
aperto di C ed f : A → C una funzione continua tale
che
∫
f(z)dz = 0
Γ
per ogni curva Γ regolare semplice e chiusa contenuta in A.
Allora f è olomorfa in A.
Dim. Fissiamo ad arbitrio un punto z o e veridichiamo che f
è olomorfa in z o . A tal scopo, cominciamo con l’osservare che
l’integrale di f lungo un qualunque camino generalmente regolare
dipende solo dai punti di partenza e di arrivo. Se, infatti, Γ 1 e

4. CARATTERIZZAZIONE DELL’OLOMORFIA 35
Γ 2 sono due archi che partono da uno stesso punto z 1 e finiscono
in uno stesso punto z 2 , poniamo Γ la curva chiusa che percorre
prima Γ 1 e poi Γ 2 in senso inverso. Per ipotesi abbiamo
∫
Γ
f(z)dz = 0.
D’altra parte, per costruzione, si ha
∫ ∫
∫
f(z)dz = f(z)dz − f(z)dz.
Γ
Γ 1 Γ 2
Dunque effettivamente
∫
∫
f(z)dz = f(z)dz
Γ 1 Γ 2
Ciò ci autorizza ad assegnare la funzione primitiva
F : A → C, F (z) =
∫ z
z o
f(ζ)dζ.
Verifichiamo che F è olomorfa con F ′ = f, ovvero che
lim
∆z→0
F (z + ∆z) − F (z)
∣ ∆z
− f(z)
∣ = 0.

36 2. PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI OLOMORFE
Si ha 4 ∣
∣ ∣∣∣∣∣ ∣∣∣ F (z + ∆z) − F (z)
− f(z)
∆z
∣ = 1
∆z
=
1
∣∆z
∫
z+∆z
z
[f(ζ) − f(z)] dζ
∣ ≤ 1 ∫
|∆z|
∫
z+∆z
z
z+∆z
z
f(ζ)dζ − f(z)
∣
|f(ζ) − f(z)| dζ.
Infine, il Teorema 2.10 assicura che f è olomorfa, in quanto
derivata della funzione olomorfa F .
□
5. Proprietà “geometriche” delle funzioni
olomorfe
Il prossimo teorema esprime una rilevante proprietà di rappresentazione
delle funzioni olomorfe: il valore della funzione in un punto
è pari alla media della funzione su “qualsiasi” circonferenza
centrata in quel punto.
Teorema 2.14 (Teorema della media integrale). Siano A un
sottoinsieme aperto di C, ed f : A → C una funzione olomorfa.
Allora per ogni z o ∈ A e per ogni disco D r di raggio r, centrato
in z o e contenuto in A, vale la formula di rappresentazione
(2.12) f(z o ) = 1
2πr
∫
∂ + D r
f(z)ds.
4 Nella seconda uguaglianza usiamo il fatto che
∫ z+∆z
z
dζ = ∆z,
poiché f(z) è costante rispetto alla variabile di integrazione ζ.
L’ultima disuguaglianza viene dalla disuguaglianza triangolare integrale

5. PROPRIETÀ “GEOMETRICHE” DELLE FUNZIONI OLOMORFE 37
Dim. Applichiamo il Teorema integrale di Cauchy sul disco
D r :
f(z o ) = 1 ∫
f(z)
dz.
2πi ∂ + D r
z − z o
Parametrizziamo poi D r mediante
z = z o + re iθ con 0 < θ < π.
Ricordando che dz = ire iθ dθ si ottiene
f(z o ) = 1
2π
∫ 2π
0
f(z o + re iθ )dθ.
Moltiplicando e dividendo per r si ottiene
f(z o ) = 1
2πr
∫ 2π
0
f(z o + re iθ )r dθ = 1
2πr
∫ 2π
dal momento che ds = |(re iθ ) ′ |dθ = |ire iθ |dθ = r dθ.
0
f(z o + re iθ )ds,
Le funzioni olomorfe intere hanno una struttura piuttosto
“rigida”: l’unico modo per impedirgli di esplodere all’infinito è
prendere funzioni costanti. Questo celebre risultato è attribuito
a Liouville.
Teorema 2.15 (Teorema di Liouville). Sia f : C → C una
funzione olomorfa e supponiamo che f sia limitata in modulo 5 .
Allora necessariamente f è costante.
Dim. Poiché l’insieme C è connesso, possiamo dimostrare che
f è costante verificando che la sua derivata prima è nulla. Fissiamo
allora un punto arbitrario z o e proviamo che f ′ (z o ) = 0.
A tal scopo, scriviamo la formula integrale di Cauchy per la derivata
prima, scegliendo come dominio d’integrazione il cerchio
5 cioè che ci sia una costante m tale che |f(z)| ≤ m per ogni numero
complesso z
□

38 2. PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI OLOMORFE
centrato in z o di raggio r (che indicheremo con D r )
f ′ (z o ) = 1 ∫
f(z)
2πi (z − z o ) dz. 2
∂ + D r
Passando ai moduli otteniamo
∫
∣ |f ′ (z o )| =
1 f ′ (z) ∣∣∣
∣2πi
(z − z o ) dz ≤ 1 ∫
2 2π
∂ + D r
∂ + D r
|f(z)|
|z − z o | 2 ds
Se ora ricordiamo che, per ipotesi, f è limitata da m, mentre
|z − z o | = r su ∂D r , abbiamo
≤
m ∫
ds = m 2πr 2 ∂ + D r
r ,
∫
poiché ds è proprio la lunghezza della circonferenza, cioè
∂ + D r
2πr.
Ora, poiché f è definita su tutto C, possiamo fare questo ragionamento
per qualunque raggio r. In particolare, scegliendo r
infinitamente grande otteniamo
|f ′ m
(z o )| ≤ lim
r→+∞ r = 0,
da cui f ′ (z o ) = 0, e dunque la tesi per la generalità di z o . □
Teorema 2.16 (Teorema fondamentale dell’algebra). Ogni
equazione algebrica di grado maggiore o uguale di 1 ammette
almeno una radice complessa.
Dim. Consideriamo un polinomio di grado n
p(z) = a o z n + a 1 z n−1 + · · · + a n con a o ≠ 0.
Vogliamo dimostrare che esiste un numero complesso z o dove
p(z o ) = 0. Supponiamo per assurdo che ciò non sia vero: allora
la funzione p(z) è olomorfa e mai nulla, quindi la funzione
1/p(z) è olomorfa su tutto C. Ovviamente p(z) non è costante
(gli unici polinomi costanti sono quelli di grado 0!), sicché

5. PROPRIETÀ “GEOMETRICHE” DELLE FUNZIONI OLOMORFE 39
neanche 1/p(z) puó esserlo. Dunque, per non contraddire il
Teorema di Liouville, la funzione 1/|p(z)| non può essere limitata.
A questo punto notiamo che 1/|p(z)| è continua, e dunque
è certamente limitata su qualunque compatto in virtù del Teorema
di Weierstrass. Pertanto l’unica eventualità per cui 1/|p(z)|
risulti non limitata è che si abbia
1
lim
|z|→+∞ |p(z)| = +∞.
Ma questo non è possibile, anzi si ha addirittura
1
lim |p(z)| = +∞ ⇔ lim
|z|→+∞ |z|→+∞ |p(z)| = 0.
Infatti
|p(z)| =
|z| n
}{{}
↓
+∞
∣ ∣ a 1
0 + a 1
z + · · · + a 1 ∣∣∣
n
z
} {{ n }
↓
|a 0 | ≠ 0
Teorema 2.17 (Teorema del massimo modulo). Siano D
un dominio complesso connesso e limitato e f : D → C una
funzione olomorfa all’interno di D e continua fin sul bordo di
D. Allora il massimo assoluto della funzione |f| viene assunto
sul bordo ∂D.
Dim. Indichiamo con D la chiusura di D: poiché D è limitato
per ipotesi, D risulta compatto. Inoltre la funzione |f| è continua
sul compatto D, sicché ammette massimo per il Teorema di
Weierstrass: indichiamo poi con m il valore massimo di |f|. Analogamente,
|f| assume massimo anche sul bordo ∂D: indichiamo
tale valore massimo con m ′ . Per costruzione, m ′ ≤ m (perché
∂D ⊂ D); se m ′ = m non c’è più nulla da dimostrare, perché ciò
significa che c’è un punto z o ∈ ∂D tale che |f(z o )| = m ′ = m,
□

40 2. PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI OLOMORFE
ovvero che è punto di massimo per |f|.
Supponiamo allora per assurdo che m ′ < m. Se indichiamo
con z o ∈ D un punto di massimo per |f|, si dovrà per forza
avere z o ∈ Int D; altrimenti, se z o ∈ ∂D, giungeremmo alla
contraddizione
m = |f(z o )| ≤ max
∂D |f| = m′ < m.
Inoltre |f| non puó essere costante 6 , dunque c’è un altro punto
z 1 ∈ Int D tale che |f(z 1 )| < m. Poniamo, per chiarirci le idee,
ε := 1 2 (m − |f(z 1)|) ;
ovviamente |f(z 1 )| = m − 2ε e ε > 0.
Per la continuità di |f|, possiamo trovare un disco D ρ (z 1 ) (di
raggio ρ e centro z 1 ) dove
Ne segue che
| |f(z)| − |f(z 1 )| | ≤ ε per ogni z ∈ D ρ (z 1 ).
|f(z)| ≤ |f(z)−f(z 1 )|+|f(z 1 )| ≤ | |f(z)|−|f(z 1 )| |+|f(z 1 )| ≤ ε+m−2ε = m−ε,
per ogni z ∈ D ρ (z 1 ).
Ora, indichiamo con r := |z o −z 1 |, sicché la circonferenza D r (z o ) è
centrata in z o e passa per z 1 . Applichiamo la formula della media integrale
a f su tale circonferenza:
f(z o ) = 1
2πr
Passando ai moduli abbiamo
m ≤ 1 ∫
2πr
∫
∂ + D r(z o)
∂ + D r(z o)
f(z)ds.
|f(z)|ds,
6 altrimenti |f| dovrebbe coincidere contemporamente con m e con m ′ .

5. PROPRIETÀ “GEOMETRICHE” DELLE FUNZIONI OLOMORFE 41
e spezzando la circonferenza ∂D r (z o ) nella parte contenuta in
D ρ (z 1 ) ed in quella complementare otteniamo
m ≤ 1 ∫
|f(z)| ds + 1 ∫
|f(z)| ds
2πr
} {{ } 2πr
} {{ }
∂ + D r(z o)∩D ρ(z 1 ) ≤m−ε
∂ + D r(z o)\D ρ(z 1 ) ≤m
≤ m − ε ∫
ds + m ∫
ds,
2πr
2πr
∂ + D r(z o)∩D ρ(z 1 )
∂ + D r(z o)\D ρ(z 1 )
Indichiamo ora con l la lunghezza dell’arco di ∂ + D r (z o ) contenuto
in D ρ (z 1 ); chiaramente l’arco complementare avrà lunghezza
2πr − l. Sostituendo abbiamo
m ≤ m − ε
2πr l + m
2πr
che è impossibile.
l
(2πr − l) = m − ε < m,
} 2πr {{ }
>0
□

Capitolo 3
Funzioni meromorfe:
singolarità e residui
Serie di Taylor e di Laurent. Classificazione delle singolarià.
Residui e teorema relativo. Applicazioni dei residui al calcolo di
integrali.
1. Rappresentazione in serie per funzioni
olomorfe
Teorema 3.1 (Serie di Taylor per funzioni olomorfe). Ogni
funzione olomorfa è sviluppabile in serie di Taylor intorno ad
ogni punto z o del proprio insieme di olomorfia:
(3.1) f(z) = ∑ n≥0
a k (z − z o ) k ,
dove
a k = 1 k! f (k) (z o ).
43

44 3. FUNZIONI MEROMORFE: SINGOLARITÀ E RESIDUI
Tale serie converge puntualmente assolutamente sull’insieme di
olomorfia ed uniformemente sui compatti ivi contenuti.
Studiamo ora brevemente gli zeri delle funzioni olomorfe.
Definizione 3.1. Siano A un sottoinsieme di C, f : A → C
una funzione olomorfa e z o un punto di A.
Diciamo che z o è uno zero di f se f(z o ) = 0.
Diciamo poi che z o è uno zero di ordine n se accade
f(z o ) = f ′ (z o ) = · · · = f (n−1) (z o ) = 0
e f (n) (z o ) ≠ 0.
In particolare, z o è uno zero di ordine infinito quando sia la funzione
f che tutte le sue derivate si annullano nel punto z o .
Scrivendo la serie di Taylor di f centrata in z o , è facile caratterizzare
gli zeri di una funzione olomorfa mediante i coefficienti
a k . Lasciamo pertanto come esercizio la dimostrazione della
seguente proposizione.
Proposizione 3.2. Sia f : A → C una funzione olomorfa e
z o un punto di A; indichiamo il suo sviluppo in serie di Taylor
centrato in z o come in (3.1). Allora le seguenti affermazioni sono
equivalenti:
i) z o è uno zero di ordine n per f,
ii) a 0 = a 1 = · · · = a n−1 = 0, ma a n ≠ 0,
iii) possiamo fattorizzare la funzione f come
dove
f(z) = ϕ(z)(z − z o ) n
ϕ(z) = a n + a n+1 (z − z o ) + · · · .
è a sua volta una funzione olomorfa, con ϕ(z o ) ≠ 0.

2. SERIE DI LAURENT E SINGOLARITÀ 45
Un’immediata conseguenza della caratterizzazione degli zeri
è questo interessante “criterio sufficiente di annullamento” per
le funzioni olomorfe.
Corollario 3.3. Siano A un aperto connesso di C e f :
A → C una funzione olomorfa. Se f ha uno zero di ordine
infinito, allora f è identicamente nulla su A.
Un altro “criterio sufficiente di annullamento”, la cui dimostrazione
è un po’ più sofisticata, è:
Corollario 3.4. Siano A un aperto connesso di C e f :
A → C una funzione olomorfa. Se l’insieme degli zeri di f ha un
punto di accumulazione interno ad A, allora f è identicamente
nulla su A.
La proprietà espressa dal Corollario 3.3 è tutt’altro che banale,
e completamente diversa da ciò che accade nel caso reale
(vedi l’Esempio 3.9).
Esercizio 1.6. a) Verificare che z = 0 è uno zero di ordine
1 per la funzione sin z.
b) Verificare che lo sviluppo di Taylor del seno complesso -centrato
in z = 0- è identico a quello del seno reale:
sin z = ∑ n≥0
(−1) n
(2n + 1)! z2n+1 = z − 1 3! z3 + 1 5! z5 − · · ·
(anche se definiamo sin z in modo “formale” come in (1.4)).
2. Rappresentazione in serie di Laurent
e studio delle singolarità
Vogliamo ora capire cosa succede vicino ai punti in cui la proprietà
di olomorfia viene meno. Per fare ciò, cominciamo con lo

46 3. FUNZIONI MEROMORFE: SINGOLARITÀ E RESIDUI
studiare le funzioni olomorfe su corone circolari.
Introduciamo una notazione per le corone circolari: se z o è un
numero complesso e r < R sono due numeri positivi, indichiamo
la corona circolare centrata in z o di raggio interno r e raggio
esterno R con
C rR (z o ) = {z ∈ C : r < |z − z o | < R}.
Se, poi, il raggio interno r è uguale a zero, con la scrittura C 0R (z o )
intendiamo il disco di raggio R centrato in z o , privato del suo
centro (cioè di z o stesso).
∂D R (z o)
z o
∂D ρ(z o)
Teorema 3.5 (Teorema di Laurent). Siano 0 ≤ r < R e
f : C rR (z o ) → C una funzione olomorfa. Allora esiste un’unica
serie del tipo
+∞∑
a k (z − z o ) k
k=−∞
che converge a f puntualmente assolutamente sulla corona circolare
C rR (z o ) ed uniformemente sui compatti ivi contenuti. Inoltre

2. SERIE DI LAURENT E SINGOLARITÀ 47
l’espressione esplicita dei coefficienti è data da
(3.2) a k = 1 ∫
f(z)
dz,
2πi (z − z o )
k+1
∂ + D ρ
dove ∂ + D ρ indica una circonferenza (orientata in modo standard)
di raggio ρ centrata in z o contenuta nella corona circolare
(ovvero con ρ compreso fra r e R).
Lo sviluppo in serie
(3.3) f(z) =
k=0
+∞∑
k=−∞
} {{ }
parte analitica
a k (z − z o ) k
è noto come sviluppo in serie di Laurent.
Osserviamo che possiamo decomporre la serie di Laurent in
+∞∑
∞∑
f(z) = a k (z − z o ) k
1
+ a −k .
(z − z o ) k
k=1
} {{ }
parte singolare
Osservazione 3.6. Se, inoltre, f è olomorfa su tutto il cerchio
D R (z o ), la parte singolare dello sviluppo di Laurent scompare,
cioè la serie di Laurent si riduce a quella di Taylor. Infatti, per
k ≤ −1, la funzione f(z)/(z −z o ) k+1 è olomorfa su D R (z o ), come
conseguenza della “regola della catena” (1.6). Segue allora dal
Teorema integrale di Cauchy che il suo integrale lungo il cammino
chiuso regolare ∂ + D ρ (z o ) è nullo, ovvero che il coefficiente a k
- dato da (3.2) - è uguale a zero.
Passiamo ora allo studio delle singolarità.
Definizione 3.2. Siano A un sottoinsieme aperto di C, z o
un punto di A, e f una funzione f : A \ {z o } → C. Diciamo
che z o è un punto di singolarità isolata per f se la funzione f é
olomorfa su A \ {z o }.
Classifichiamo poi le singolarità come segue:

48 3. FUNZIONI MEROMORFE: SINGOLARITÀ E RESIDUI
† singolarità eliminabile (o apparente) se esiste il lim
z→zo
f(z) ∈
C.
† polo se esiste il lim
z→zo
|f(z)| = +∞,
† singolarità essenziale altrimenti, cioè se non esiste il
lim
z→z o
|f(z)|.
Diciamo infine che una funzione f è meromorfa su A se è
olomorfa in tutti i punti A, escluso al più un numero finito dove
ha delle singolarità di tipo polare.
Passiamo poi a classificare le singolarità mediante i coefficienti
della serie di Lauent. Lasciamo al lettore come esercizio
la dimostrazione del seguennte risultato.
Proposizione 3.7. Sia f una funzione olomorfa su A\{z o },
e indichiamo il suo sviluppo di Laurent come in 3.3. Le seguenti
affermazioni sono equivalenti:
i) z o è una singolarità eliminabile,
ii) a k = 0 per ogni k < 0, cioè
f(z) = ∑ k≥0
a k (z − z o ) k ,
iii) f è olomorfa su A 1 ,
iv) f è limitata in un intorno di z o .
Per quel che riguarda i poli, abbiamo invece che:
Proposizione 3.8. Sia f una funzione olomorfa su A\{z o },
e indichiamo il suo sviluppo di Laurent come in 3.3. Le seguenti
affermazioni sono equivalenti:
1 In questo caso, sottointendiamo che f sia definita in z o come
f(z o ) = lim
z→z o
f(z).

2. SERIE DI LAURENT E SINGOLARITÀ 49
i) z o è un polo,
ii) a k ≠ 0 solo per un numero finito di indici negativi k < 0,
cioè esiste un intero p tale che
f(z) = ∑
a k (z − z o ) k ,
k≥−p
iii) esiste un intero p tale che la funzione f(z) (z − z o ) p ha una
singolarità eliminabile in z o , ovvero esiste
lim f(z) (z − z o ) p ∈ C.
z→z o
In tal caso, chiamiamo ordine del polo il più piccolo indice p
che basta per “arginare” l’esplosione di f(z). Più rigorosamente,
diamo la seguente definizione.
Definizione 3.3. Supponiamo che la funzione f abbia un polo
nel punto z o . Indichiamo poi con p un numero intero. Diciamo
che p è l’ordine del polo z o se
ma
lim |f(z) (z − z o ) p | è finito,
z→z o
lim |f(z) (z − z o ) p−1 | = +∞.
z→zo
Le caratterizzazioni date nella Proposizione 3.8 forniscono le
seguenti caratterizzazioni dell’ordine di polo:
Corollario 3.9. Sia z o ∈ C una singolarità isolata della
funzione f e indichiamo il relativo sviluppo in serie di Laurent
come in (3.3). Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
i) z o è un polo di ordine p per f,
ii) a k = 0 per ogni k < −p, ma a −p ≠ 0,
iii) possiamo fattorizzare la funzione f come
f(z) =
ϕ(z)
(z − z o ) p

50 3. FUNZIONI MEROMORFE: SINGOLARITÀ E RESIDUI
dove
ϕ(z) = a −p + a −p+1 (z − z o ) + · · ·
è a una funzione olomorfa, con ϕ(z o ) ≠ 0.
Per esclusione, arriviamo alla seguente caratterizzazione delle
singolarità essenziali.
Proposizione 3.10. Sia f una funzione olomorfa su A \
{z o }, e indichiamo il suo sviluppo di Laurent come in 3.3. Le
seguenti affermazioni sono equivalenti:
i) z o è una singolarità essenziale,
ii) a k ≠ 0 per un numero infinito di indici negativi k < 0,
iii) comunque scelto un intero p, la funzione f(z) (z − z o ) p ha
ancora una singolarità essenziale in z o .
Enunciamo infine, senza dimostrazione, un risultato “sorprendente”.
Teorema 3.11 (Teorema di Casorati Weierstrass). z o è una
singolarità essenziale se, e solo se, per ogni disco D r centrato
in z o , l’immagine attraverso f di D r \ {z o } è densa nel piano
complesso.
Ciò significa che, comunque scegliamo un numero complesso
λ, un margine d’errore ε ed un limite di tolleranza δ, riusciamo
a trovare un valore di z che dista da z o al più δ e tale che f(z)
dista da λ al più ε.
Esercizio 1.7. Verificare che
1) sin z ha una singolarità eliminabile in z = 0,
z
2) sinz ha un polo di ordine 1 in z = −1,
z + 1
1
3) ha un polo in z = 0,
sin z

3. TEORIA DEI RESIDUI 51
4) sin 1 ha una singolarità essenziale in z = 0.
z
Per ognuna delle funzioni sopra elencate, scrivere lo sviluppo in
serie di Laurent centrato nella singolarità classificata al punto
precedente.
Esercizio 1.8. Determinare e classificare le singolarità della
funzione f(z) = z2 +1
(z+1)(z+i) .
Esercizio 1.9. Determinare e classificare le singolarità delle
seguenti funzioni razionali
z
1) f(z) =
(z + 1) , 2
(z − 1)(z + i)
2) f(z) = ,
z
3) f(z) = z + 3
z(z + 2) .
Scriverne poi lo sviluppo in serie di Laurent centrato in ognuna
delle singolarità.
3. Teoria dei residui
Definizione 3.4. Sia z o ∈ C una singolarità isolata della
funzione f. Definiamo residuo di f in z o il coefficiente a −1
dello sviluppo di Laurent di f attorno a z o (3.3); nel seguito lo
indicheremo anche con Res (f, z o ).
Il ruolo particolare svolto dai residui è chiarito dal seguente
teorema.
Teorema 3.12 (Teorema dei residui). Siano A un sottoinsieme
aperto di C, z o ∈ A, f una funzione olomorfa in A \ {z o },
e Γ una qualunque curva semplice e chiusa contenuta in A che

52 3. FUNZIONI MEROMORFE: SINGOLARITÀ E RESIDUI
racchiude al suo interno il punto z o . Allora
∫
(3.4)
f(z)dz = 2πi Res (f, z o ).
Γ
Dim. Per il Teorema di Laurent , f può essere sviluppata in
serie
f(z) =
+∞∑
k=−∞
a k (z − z o ) k .
Poiché la convergenza è uniforme, possiamo scambiare integrale
e serie e otteniamo
∫
+∞∑
∫
(3.5)
f(z)dz = a k (z − z o ) k dz.
Γ
k=−∞
Ora, se k ≥ 0, la funzione (z − z o ) k è olomorfa in tutto C
e dunque il suo integrale su ogni curva chiusa è nullo (vedi
Teorema integrale di Cauchy). Se, invece, k ≤ −1, la funzione
(z − z o ) k ha una singolarità polare in z o . Sia ρ > 0 tale che
D ρ (il disco di raggio ρ centrato in z o ) sia compreso in A: dal
Corollario 2.6 discende che
∫
∫
(z − z o ) k dz = (z − z o ) k dz,
Γ
∂D ρ
poiché (z − z o ) k è olomorfa in A \ {z o }. Parametrizziamo ora la
circonferenza ∂D ρ come z = z o + re iθ , con 0 < θ < 2π, sicché
∫
∫ 2π
(z − z o ) k dz = (z o + re iθ − z o ) k ire iθ dθ
∂D ρ 0
∫ 2π
= ir k+1 e i(k+1)θ dθ.
Ora, se k ≠ −1 otteniamo
= rk+1 [ ] e
i(k+1)θ 2π
= 0;
k + 1
0
0
Γ

mentre se k = −1 otteniamo
3. TEORIA DEI RESIDUI 53
∫ 2π
= i dθ = 2πi.
0
Infine, sostituendo termine a termine in (3.5) otteniamo la nostra
tesi.
□
Il Teorema dei residui può essere facilmente generalizzato nel
seguente:
Corollario 3.13. Sia D un dominio regolare di C, semplicemente
connesso, ed f una funzione olomorfa sulla chiusura
di D escluso, al più, un numero finito di punti z 1 , · · · , z n tutti
interni a D. Allora
(3.6)
∫
∂D
f(z)dz = 2πi
n∑
Res (f, z i ).
I risultati appena visti mettono in luce come possiamo utilizzare
i residui per calcolare gli integrali. Ora, questo è utile,
nella pratica, solo se siamo effettivamente in grado di calcolare
i residui, e se questo calcolo non è troppo dispendioso.
Se, per determinare il valore del residuo, dovessimo utilizzare il
Teorema di Laurent (precisamente, la formula (3.2)), non avremmo
in realtà alcun vantaggio! In effetti, abbiamo un modo molto
rapido per calcolare il residuo.
Proposizione 3.14 (Formula dei residui). Se z o è un polo
di ordine p per f, allora
i=1
(3.7) Res (f, z o ) =
1 d p−1
(p − 1)! dz [f(z)(z − z o) p ] (z p−1 o ).

54 3. FUNZIONI MEROMORFE: SINGOLARITÀ E RESIDUI
Dim. Per la caratterizzazione (iii) del Corollario 3.9, la funzione
ϕ(z) = f(z)(z − z o ) p è olomorfa in z o e
ϕ(z) =
+∞∑
k≥0
a k−p (z − z o ) k ,
dove la serie converge uniformemente per il Teorema sullo sviluppo
di Taylor. Ne segue che possiamo derivare termine a
termine:
d p−1 ϕ
dz = ∑+∞ d p−1 (z − z o ) k
a p−1 k−p .
dz p−1
Poiché in generale
d n (z − z o ) k
dz n =
k≥0
{ k · · · (k − n + 1) (z − zo ) k−n se n ≤ k,
0 se n > k,
per z = z o otteniamo
d n ϕ
dz n (z o) = a n−p n!.
Scegliendo infine n = p − 1 otteniamo
cioè la (3.7).
d p−1 ϕ
dz p−1 (z o) = a −1 (p − 1)!,
□
Concludiamo questo capitolo illustrando come la teoria dei
residui possa essere utilizata per calcolare integrali di funzioni
reali.
Esempio 3.1. Vogliamo calcolare l’integrale
I 1 :=
∫ +∞
0
F (x) dx,

3. TEORIA DEI RESIDUI 55
dove F è una funzione pari. Poiché F è pari, è immediato verificare
che
I 1 = 1 ∫ +∞
F (x) dx = 1 ∫ +R
2 −∞
2
lim F (x) dx.
R→+∞
−R
L’ultimo integrale può essere scritto in forma complessa
∫ +R ∫
F (x) dx = F (z) dz,
−R
Λ R
dove
Λ R : z(t) = t − R ≤ t ≤ R.
Indichiamo ora con γ R un semicerchio di raggio R che connette i
punti R e −R (con questa orientazione), con Γ R la curva ottenuta
incollando Λ R con γ R , e con Ω R la regione racchiusa dalla curva
Γ R (vedi Figura 1).
γ R
Ω R
Γ R
Figura 1.
−R
R
Λ

56 3. FUNZIONI MEROMORFE: SINGOLARITÀ E RESIDUI
Il Corollario 3.13 al Teorema dei residui afferma che
∫
∑
F (z)dz = 2πi Res (f, z i ),
Γ R z i polo in Ω R
da cui
∫
1
∑
F (z) e imz = πi Res (f, z i ) − 1 ∫
F (z)dz.
2 Λ R
2
z i polo in Ω
γ R R
Passando al limite per R → +∞, la regione Ω R invade tutto il
semipiano Rz > 0. Pertanto, in ogni caso in cui
∫
(3.8) lim F (z)dz = 0
R→+∞
γ R
otteniamo l’utilissima formula
∑
(3.9) I 1 = πi
z i polo con Rz i >0
Res (f, z i ).
Esempio 3.2. Vogliamo calcolare l’integrale
I 2 :=
∫ 2π
0
G(cos θ, sin θ) dθ,
dove G è una funzione razionale. Ponendo z = e iθ e utilizzando
le formule di Eulero si verifica che
cos θ = 1 (
z + 1 )
, sin θ = 1 (
z − 1 )
;
2 z
2 z
inoltre
dz = ie iθ dθ ⇒ dθ = dz
iz .
Concludendo, possiamo scrivere l’integrale in forma complessa
come
∫ ( (
1 1
I 2 =
iz G z + 1 )
, 1 (
z − 1 ))
dz,
2 z 2 z
∂D 1 (0)

3. TEORIA DEI RESIDUI 57
dove ∂D 1 (0) sta per la circonferenza unitaria centrata nell’origine
(orientata in senso antiorario). Infine, utilizzando il Corollario
3.13 al Teorema dei residui otteniamo che
(3.10)
∑
( ( ( 1 1
I 2 = 2π
Res
z G z + 1 )
, 1 (
z − 1 )) )
, z i .
2 z 2 z
z i polo con |z i |

58 3. FUNZIONI MEROMORFE: SINGOLARITÀ E RESIDUI
da cui
∫
∑
∫
F (z) e imz = 2πi Res (f e imz , z i ) − F (z) e imz dz.
Λ R z i polo in Ω
γ R R
Passando al limite per R → +∞, la regione Ω R invade tutto il
semipiano Rz > 0. Pertanto, in ogni caso in cui
∫
(3.11) lim F (z) e imz dz = 0
R→+∞
γ R
otteniamo l’utilissima formula
∫
∑
(3.12) F (z) e imz dz = 2πi
Res (f e imz , z i ).
Λ
z i polo con Rz i >0

Complementi
Osservazione 3.15. Abbiamo visto che la funzione esponenziale
reale può essere sviluppata in serie di Taylor
e t = ∑ t n
n! .
n≥0
È possibile dimostrare che questa serie converge (assolutamente)
anche se t viene interpretato come numero complesso. Di conseguenza,
si definisce il valore di e t , con t in C, come il limite
di tale serie. A posteriori, si verifica che tale limite può essere
rappresentato come e R(t) (cos I(t) + i sin I(t)).
...torna su
59

60 COMPLEMENTI
Esempio 3.4. Controlliamo che la funzione f(z) = z 2 è olomorfa
su C. A tal fine, prendiamo un qualunque numero z o , e
controlliamo che f è derivabile (in senso complesso) in z o . Poiché
f(z) − f(z o )
z − z o
= z2 − z 2 o
z − z o
= (z + z o)(z − z o )
z − z o
= (z + z o ),
Allora
f ′ (z o ) = lim
z→zo
f(z) − f(z o )
z − z o
= 2z o .
In modo del tutto simile, potete controllare che, per ogni intero
n, la funzione z n è olomorfa con
dz n
z
= nz n−1 .
Esempio 3.5. Sia f(z) = a 0 z n + a 1 z n−1 + · · · + a n−1 z + a n
una funzione polinomiale. Sappiamo dall’esempio 3.4 che ogni
termine del tipo z n è derivabile in senso complesso. Applicando
la linearità della derivata complessa (Proposizione 1.1) si ottiene
d ( )
a0 z n + a 1 z n−1 + · · · + a n−1 z + a n =
dz
n a 0 z n−1 + (n − 1) a 1 z n−2 + · · · + a n−1 .
Esempio 3.6. Per semplicità, effettuiamo i calcoli su una
funzione razionale semplicissima:
f(z) =
z
1 + z 2 .
Ovviamente la funzione in esame non potrà essere derivabile in
z = ±i, laddove non è neppure definita. Se, invece, z è un
qualunque punto nel suo dominio (cioè in C \ {−i, i}), e ∆z
indica un numero complesso non nullo (che faremo tendere a 0),

COMPLEMENTI 61
abbiamo
f(z + ∆z) − f(z)
∆z
=
z+∆z
−
z
1+(z+∆z) 2 1+z 2
∆z
= (z + ∆z)(1 + z2 ) − z(1 + (z + ∆z) 2 )
(1 + (z + ∆z) 2 )(1 + z 2 )∆z
= ∆z(1 + z2 ) − z ∆z 2 − 2z 2 ∆z
(1 + (z + ∆z) 2 )(1 + z 2 )∆z
= 1 + z2 − z ∆z − 2z 2
(1 + (z + ∆z) 2 )(1 + z 2 ) .
Mandando ora l’incremento a 0 otteniamo
f(z + ∆z) − f(z)
lim
∆z→0 ∆z
1 + z 2 − z ∆z − 2z 2
= lim
∆z→0 (1 + (z + ∆z) 2 )(1 + z 2 )
= 1 + z2 − 2z 2
(1 + z 2 ) 2 = (z)′ (1 + z 2 ) − z (1 + z 2 ) ′
(1 + z 2 ) 2 .
Risulta poi evidente come procedere nel caso generale di
f(z) = a 0z n + a 1 z n−1 + · · · + a n−1 z + a n
b 0 z m + b 1 z b−1 + · · · + b m−1 z + b m
.
Si avrà che la funzione è derivabile in tutti i punti in cui
b 0 z m + b 1 z b−1 + · · · + b m−1 z + b m ≠ 0

62 COMPLEMENTI
con
( )
d a0 z n · · · + a n
=
dz b 0 z m + · · · + b m
(a 0 z n + · · · + a n ) ′ (b 0 z m + · · · + b m )
(b 0 z m + · · · + b m ) 2
− (a 0z n + · · · + a n ) (b 0 z m + · · · + b m ) ′
(b 0 z m + · · · + b m ) 2 .
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COMPLEMENTI 63
Esempio 3.7. La funzione
{
x 2 y
se (x, y) ≠ (0, 0),
u(x, y) =
x 2 +y 2
0 se (x, y) = (0, 0)
è derivabile nel punto (0, 0) sia nella direzione x che nella direzione
y, e risulta ∂u(0,
0) = 0, ∂u(0, 0) = 0. D’altra parte, u
∂x ∂y
non è differenziabile in (0, 0): se così fosse, dovrebbe valere la
x
relazione (1.8), ovvero
2 y
= 0. Invece, scegliendo
lim
(x,y)→(0,0)
(x 2 +y 2 ) 3 2
x
ad esempio y = x, si ottiene lim
3
x→0 (2x 2 ) 2
3
= 2 − 3 2 ≠ 0.
x
y
x
y
Figura 2. A sinistra abbiamo disegnato la retta
tangente a u(x, 0) (in verde) e quella tangente a
u(0, y) (in blu). A destra, quello che dovrebbe
essere il piano tangente, se u fosse differenziabile.
È evidente che non è così.
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64 COMPLEMENTI
Esempio 3.8. Si consideri la funzione complessa
{
x 2 y
se x + iy ≠ 0,
f(x + iy) =
x 2 +y 2
0 se x + iy = 0.
La sua parte reale coincide con la u(x, y) introdotta nell’Esempio
3.7: sappiamo dunque che
u x (0, 0) = 0, u y (0, 0) = 0,
anche se u non è differenziabile in 0. Inoltre, la parte immaginaria
di f è nulla, sicché certamente
v x (0, 0) = 0, v y (0, 0) = 0.
Dunque, le condizioni di Cauchy-Riemann (1.9) sono soddisfatte
nel punto 0. Ora, se la funzione f fosse derivabile in senso complesso
in 0, necessariamente si avrebbe f ′ (0) = u x (0)+iv x (0) = 0.
Invece, scegliendo incrementi infinitesimi del tipo ∆z = h + ik
con h = k si ottiene
f(h + ih) − f(0)
lim
h→0 h + ih
2h
= lim
2
h(1 + i) = 1
2(1 + i) ≠ 0.
h→0
h 3
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COMPLEMENTI 65
Esempio 3.9. Se trattiamo con funzioni reali, possiamo costruire
funzioni F con le seguenti proprietà:
i) F ha derivate di qualunque ordine,
ii) c’è un punto t o ∈ R dove sia la funzione F che tutte le sue
derivate si annullano,
iii) F non è identicamente nulla.
Ne è un esempio la funzione
F (t) = e − 1
t 2 ,
che vediamo in grafico qui di seguito:
t ∈ R
Se trattiamo con funzioni di variabile complessa, questo non è
più possibile. La versione complessa della funzione di prima
f(z) = e − 1
z 2 ,
z ∈ C
non è differenziabile neanche una volta in z = 0. Vedremo poi
che in questo punto ha una singolarità essenziale.
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66 COMPLEMENTI
riferimenti storici e biografici. .
Puoi trovare qualche informazione biografica su Augustin-Louis
Cauchy sul sito curato da Lycos. Per saperne di più, ti consiglio
il sito MacTutor (in inglese).
Puoi trovare qualche informazione biografica su Georg Friedrich
Bernhard Riemann sul sito curato da Lycos. Per saperne di più,
ti consiglio il sito MacTutor (in inglese).
Puoi trovare qualche informazione biografica su Pierre-Simon de
Laplace sul sito curato da Lycos. Per saperne di più, ti consiglio
il sito MacTutor (in inglese).
Se ti interessa la biografia di Edouard Jean-Baptiste Goursat,
vai su MacTutor (in inglese).
Puoi trovare qualche informazione biografica su Joseph Liouville
su MacTutor (in inglese).
Equazioni di Cauchy-Riemann
Teorema integrale di Cauchy
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Teorema di Goursat
Teorema di Liouville