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10 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ
In modo simile deduciamo dalla formula (1.4) che:
sin(x + iy) = 1 (
e i(x+iy) − e −i(x+iy)) = 1 (
e ix−y − e −ix+y)
2
2
= 1 [
(cos x + i sin x) e −y − (cos x − i sin x) e y]
2
= cos x 1 (
e −y − e y) + i sin x 1 (
e −y + e y)
2
2
= − cos x sinh y + i sin x cosh y.
Definiamo allora il seno complesso come :
sin z = sin(x + iy) = − cos x sinh y + i sin x cosh y.
− cos x sinh y = R (sin(x + iy))
sin x cosh y = I (sin(x + iy))
x
y
x
y
2. Funzioni olomorfe
Definizione 1.1. Prendiamo una funzione di variabile complessa
f : A → C, dove A è un sottoinsieme aperto di C. Sia poi
z o un punto di A, diciamo che f è derivabile (in senso complesso)
in z o se esiste il limite del rapporto incrementale
f(z) − f(z o )
lim
.
z→z o z − z o
In tal caso, il valore di tale limite (che sarà un numero complesso)
si dice derivata (in senso complesso) di f in z o e si indica
con f ′ (z o ) o con Df(z o ).