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18 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ
Passiamo infine ad osservare che, derivando la prima equazione
di Cauchy-Riemann rispetto a x e la seconda rispetto a y, si
ottiene che u soddisfa la cosiddetta equazione di Laplace
(1.13) ∆u = u xx + u yy = 0.
Si noti poi che, derivando la prima equazione di Cauchy-Riemann
rispetto a y e la seconda rispetto a x, si ottiene che anche v soddisfa
l’equazione di Laplace. Diciamo armonica una qualunque
funzione di due variabili che è derivabile due volte sia rispetto a x
che rispetto a y e che verifica l’equazione di Laplace. Enunciamo
senza dimostrarlo un importante risultato.
Proposizione 1.4. Ogni funzione armonica è parte reale di
una funzione olomorfa, e viceversa la parte reale di una funzione
olomorfa è armonica. Inoltre tanto le funzioni olomorfe, quanto
le funzioni armoniche, hanno derivate di qualunque ordine.
In particolare, data una qualunque funzione armonica u(x, y),
è possibile determinare una nuova funzione v(x, y) in maniera
tale che la nuova funzione
sia armonica.
armoniche.
f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
Diremo in tal caso che u e v sono coniugate
Esercizio 1.1. Stabilire se, e dove, le seguenti funzioni sono
olomorfe:
(1) f(z) = ¯z,
(2) f(z) = z 2 + iz 3 ,
(3) f(x + iy) = x 2 + iy 3 .
Esercizio 1.2. Verificare che la funzione
u(x, y) = e x (x cos y − y sin y)
è armonica. Determinarne poi una coniugata armonica.