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5. PROPRIETÀ “GEOMETRICHE” DELLE FUNZIONI OLOMORFE 39
neanche 1/p(z) puó esserlo. Dunque, per non contraddire il
Teorema di Liouville, la funzione 1/|p(z)| non può essere limitata.
A questo punto notiamo che 1/|p(z)| è continua, e dunque
è certamente limitata su qualunque compatto in virtù del Teorema
di Weierstrass. Pertanto l’unica eventualità per cui 1/|p(z)|
risulti non limitata è che si abbia
1
lim
|z|→+∞ |p(z)| = +∞.
Ma questo non è possibile, anzi si ha addirittura
1
lim |p(z)| = +∞ ⇔ lim
|z|→+∞ |z|→+∞ |p(z)| = 0.
Infatti
|p(z)| =
|z| n
}{{}
↓
+∞
∣ ∣ a 1
0 + a 1
z + · · · + a 1 ∣∣∣
n
z
} {{ n }
↓
|a 0 | ≠ 0
Teorema 2.17 (Teorema del massimo modulo). Siano D
un dominio complesso connesso e limitato e f : D → C una
funzione olomorfa all’interno di D e continua fin sul bordo di
D. Allora il massimo assoluto della funzione |f| viene assunto
sul bordo ∂D.
Dim. Indichiamo con D la chiusura di D: poiché D è limitato
per ipotesi, D risulta compatto. Inoltre la funzione |f| è continua
sul compatto D, sicché ammette massimo per il Teorema di
Weierstrass: indichiamo poi con m il valore massimo di |f|. Analogamente,
|f| assume massimo anche sul bordo ∂D: indichiamo
tale valore massimo con m ′ . Per costruzione, m ′ ≤ m (perché
∂D ⊂ D); se m ′ = m non c’è più nulla da dimostrare, perché ciò
significa che c’è un punto z o ∈ ∂D tale che |f(z o )| = m ′ = m,
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