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6 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ
complesse di variabile complessa. D’altra parte, possiamo associare
in modo inequivoco ad ogni funzione complessa f una
coppia di funzioni reali u e v come segue 1
(1.2)
f : A ⊂ C → C ↔ u , v : B ⊂ R 2 → R
f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).
Così come assegnare z significa assegnare la sua parte reale x
e la sua parte immaginaria y, assegnare la funzione f vuol dire
assegnare u e v .
Molte funzioni di variabile complessa possono essere introdotte
semplicemente supponendo che la variabile indipendente assuma
dei valori complesi qualsiasi. È questo il caso delle funzioni
polinomiali, ovvero
f(z) = a 0 z n + a 1 z n−1 + · · · + a n−1 z + a n ,
dove a 0 , · · · a n sono dei numeri complessi assegnati. Si può dire
lo stesso delle funzioni razionali
f(z) = a 0z n + a 1 z n−1 + · · · + a n−1 z + a n
b 0 z m + b 1 z m−1 + · · · + b m−1 z + b m
,
o delle funzioni esprimibili mediante radicali, come ad esempio
f(z) = √ z − 1.
In questi casi la decomposizione in parte reale e immaginaria
(1.2) può essere eseguita mediante semplici operazioni.
Esempio 1.1. Consideriamo la funzione f : C → C, f(z) =
z 2 . Poiché (x + iy) 2 = x 2 + 2ixy − y 2 , questa funzione può essere
decomposta come f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) con u(x, y) =
x 2 + y 2 e v(x, y) = 2xy.