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2. TEOREMA INTEGRALE DI CAUCHY 27
Ora, dal momento che f è olomorfa, le condizioni di Cauchy-
Riemann affermano che
∂ x u = ∂ y v e ∂ y u = −∂ x v.
Pertanto, sostituendo nella (2.5) otteniamo
∫
f(z)dz = 0,
come volevamo.
∂ + D
Il Teorema integrale di Cauchy si rivela importante non solo
in sè e per sè, ma anche perché da esso discendono altri utili
risultati. Cominciamo ad elencarne alcuni.
Corollario 2.4. Sia A un sottoinsieme aperto di C, ed f :
A → C una funzione olomorfa. Sia poi D un dominio regolare
a piú contorni e limitato contenuto in A. Indichiamo con Γ 0 il
contorno esterno di D e con Γ 1 , · · · Γ n tutti i contorni interni.
Si ha che ∫
n∑
∫
f(z)dz = f(z)dz.
∂ + k=1
Γ 0
∂ + Γ k
Corollario 2.5. Sia A un sottoinsieme aperto di C semplicemente
connesso, ed f : A → C una funzione olomorfa. Allora,
l’integrale di f lungo una qualunque curva chiusa, generalmente
regolare, contenuta in A è nullo.
Corollario 2.6. Siano A un sottoinsieme aperto di C semplicemente
connesso, z o un punto di A e f : A → C una funzione
olomorfa su A {z o }. Indichiamo con Γ una qualunque curva
semplice, chiusa, generalmente regolare, contenuta in A e non
passante per z o , che delimita un dominio contenente z o . Allora
l’integrale di f lungo tale curva non dipende dalla scelta della
curva.
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