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24 2. PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI OLOMORFE Mettendolo dentro la definizione (2.2) si ha 1 ∫ ∫ −a ∫ −a f(z) dz = f(˜z(t)) ˜z ′ (t) dt = − f(z(−t)) z ′ (−t) dt −Γ = −b ∫ a = − b∫ b a −b f(z(τ)) z ′ (τ) dτ ∫ f(z(τ)) z ′ (τ) dτ = − Γ f(z) dz. Se, invece, utilizziamo la definizione (2.3) si ha 2 ∫ ∫ −a ∫ −a f(z) dz = f(z(t)) |˜z ′ (t)| dt = f(z(−t)) |z ′ (−t)| dt −Γ −b ∫ a = − f(z(τ)) |z ′ (τ)| dτ = ∫ b = f(z) ds. Γ −b ∫ b a f(z(τ)) |z ′ (τ)| dτ Esercizio 1.5. Siano assegnate tre curve nel piano complesso mediante parametrizzazione: Γ 1 : z 1 (t) = t + 3it, t ∈ [0, 3], Γ 2 : z 2 (t) = t + it 2 , t ∈ [0, 3], Γ 3 : z 2 (t) = 3 − t + i(t − 3) 2 , t ∈ [0, 3]. Siano poi date le funzioni olomorfe f 1 (z) = z 2 , f 2 (z) = |z| 2 , f 3 (x + iy) = x 2 + i(y − x). Calcolare tutti i possibili integrali ∫ f j (z)dz, al variare di i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3. Γ i ∫ Γ i f j (z)ds, 1 utilizzando per la terza uguaglianza il cambiamento di variabile τ = −t 2 utilizzando per la terza uguaglianza il cambiamento di variabile τ = −t □
2. TEOREMA INTEGRALE DI CAUCHY 25 2. Teorema integrale di Cauchy Come abbiamo visto relativamente all’integrale curvilineo, una teoria dell’integrazione fatta solo su curve di classe C 1 è poco utile: infatti, non ci permette di integrare lungo percorsi alquanto comuni fatti da quadrati o figure poligonali. D’altra parte, non possiamo pensare di riuscire a dimostrare alcunché su curve che abbiano comportamenti troppo bizzarri (pensate ad esempio ad un frattale, o ad una curva completamente discontinua che non “racchiude” alcun insieme...). Introduciamo allora una nozione di curva “regolare” meno restrittiva i quella di curva C 1 ; moralmente, richiediamo che la derivata (della parametrizzazione della curva) sia generalmente continua. Precisamente: Definizione 2.1. Diciamo che una curva è generalmente regolare se: • è continua, • in ogni punto ammette derivata destra e sinistra, e la funzione derivata così ottenuta è generalmente continua. Diciamo che un dominio D ⊂ C è regolare se la sua frontiera ∂D è costituita daun numero finito di curve generalmente regolari. Il seguente Teorema è l’ennesimo importante risultato attribuito a Cauchy. Teorema 2.3 (Teorema integrale di Cauchy). Sia A un sottoinsieme aperto di C, ed f : A → C una funzione olomorfa. Sia poi D un dominio regolare e limitato contenuto in A. Allora ∫ ∂ + D f(z)dz = 0.
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