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5. PROPRIETÀ “GEOMETRICHE” DELLE FUNZIONI OLOMORFE 37
Dim. Applichiamo il Teorema integrale di Cauchy sul disco
D r :
f(z o ) = 1 ∫
f(z)
dz.
2πi ∂ + D r
z − z o
Parametrizziamo poi D r mediante
z = z o + re iθ con 0 < θ < π.
Ricordando che dz = ire iθ dθ si ottiene
f(z o ) = 1
2π
∫ 2π
0
f(z o + re iθ )dθ.
Moltiplicando e dividendo per r si ottiene
f(z o ) = 1
2πr
∫ 2π
0
f(z o + re iθ )r dθ = 1
2πr
∫ 2π
dal momento che ds = |(re iθ ) ′ |dθ = |ire iθ |dθ = r dθ.
0
f(z o + re iθ )ds,
Le funzioni olomorfe intere hanno una struttura piuttosto
“rigida”: l’unico modo per impedirgli di esplodere all’infinito è
prendere funzioni costanti. Questo celebre risultato è attribuito
a Liouville.
Teorema 2.15 (Teorema di Liouville). Sia f : C → C una
funzione olomorfa e supponiamo che f sia limitata in modulo 5 .
Allora necessariamente f è costante.
Dim. Poiché l’insieme C è connesso, possiamo dimostrare che
f è costante verificando che la sua derivata prima è nulla. Fissiamo
allora un punto arbitrario z o e proviamo che f ′ (z o ) = 0.
A tal scopo, scriviamo la formula integrale di Cauchy per la derivata
prima, scegliendo come dominio d’integrazione il cerchio
5 cioè che ci sia una costante m tale che |f(z)| ≤ m per ogni numero
complesso z
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