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16 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ
In effetti le equazioni di Cauchy-Riemann sono quasi una caratterizzazione
dell’olomorfia, nel senso che sono molto vicine ad
essere anche una condizione sufficiente.
Teorema 1.3 (Condizione sufficiente di olomorfia). Siano
f : A ⊂ C → C e u, v : B ⊂ R 2 → R legate dalla relazione
(1.2). Sia poi z o = x o + iy o un punto di A. Se le funzioni u
e v sono differenziabili nel punto (x o , y o ) e valgono le equazioni
di Cauchy-Riemann (1.9), allora f è olomorfa in z o e vale la
relazione
(1.12) f ′ (z o ) = u x (x o , y o )+iv x (x o , y o ) = v y (x o , y o )−iu y (x o , y o ).
Dim. La nostra tesi equivale a dimostrare che
f(z) − f(z o ) − f ′ (z o )(z − z o )
lim
= 0,
z→z o z − z o
dove f ′ (z o ) è dato dalla relazione (1.12). Cominciamo allora
con l’utilizzare la trasformazione (1.1) e la relazione (1.2), sicché
il limite che vogliamo calcolare diventa il limite per (x, y) →
(x o , y o ) di
u(x, y) + iv(x, y) − u(x o , y o ) − iv(x o , y o )
x − x o + i(y − y o )
− (u x(x o , y o ) + iv x (x o , y o )) (x − x o + i(y − y o ))
x − x o + i(y − y o )
u(x, y) − u(x o , y o ) − u x (x o , y o ) (x − x o ) + v x (x o , y o )(y − y o )
x − x o + i(y − y o )
+i v(x, y) − v(x o, y o ) − v x (x o , y o ) (x − x o ) − u x (x o , y o ) (y − y o )
.
x − x o + i(y − y o )
Utilizzando le equazioni di Cauchy-Riemann, possiamo riscriverla
come il limite per (x, y) → (x o , y o ) di
u(x, y) − u(x o , y o ) − u x (x o , y o ) (x − x o ) − u y (x o , y o )(y − y o )
x − x o + i(y − y o )
+i v(x, y) − v(x o, y o ) − v x (x o , y o ) (x − x o ) − v y (x o , y o ) (y − y o )
.
x − x o + i(y − y o )
=