e lineare e A - Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"

Funzioni a più variabili
Studiamo ora le funzioni
f : A → R m
dove A ⊆ R n , m, n ≥ 1.
Visto: caso in cui f è lineare e A = R n .
In tal caso abbiamo studiato in special
modo:
• il codominio;
• l’insieme degli zeri.
Non abbiamo parlato di massimi e minimi
perché in tal caso:
• se m > 1 non si parla di max perché
R m non è totalmente ordinato;
• se anche m = 1 allora salvo casi degeneri
max e min non esistono e sup e
inf sono entrambi infiniti.

Studiamo ora il caso generale.
Ci occupiamo principalmente del caso
m = 1 cioè
f : A → R, A ⊆ R n
perché in tal caso possiamo parlare di
max e min.
In alcuni casi tratteremo anche il caso
m > 1 che ha interessanti applicazioni.
A volte tratteremo il caso n = 1, m ≥
1, cioè
le curve.
f : A → R m ,
A ⊆ R

Ripetiamo lo stesso cammino fatto per
le funzioni di una variabile.
Definizioni basilari
Le seguenti definizioni hanno lo stesso
significato che nel caso m = n = 1.
• dominio A ⊆ R n
• legge
• CE di una legge CE ⊆ R n
• codominio f(A) ⊆ R m
• grafico G f ⊆ R n × R m
G f = {(x, y) ∈ R n × R m : y = f(x)}

Rappresentazione di insiemi di
R 2 esempi:
A = { x ∈R 2 }
: x 1 < x 2

B = { x ∈R 2 : x 2 1 ≤ x }
2

C = { x ∈R 2 : x 1 ≤ x 2 }
2

D =
{
}
x ∈R 2 : x 2 ≥ 1, x 2 < x −1
1

E = { x ∈R 2 : x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 1 + x 2 ≤ 2, }

Proprietà topologiche di sottoinsiemi
di R n
Intorni (palle). Dato un punto x ∈R n
e un numero δ > 0 si dice intorno circolare
(sferico) di x di raggio δ l’insieme
{
}
I (x,δ) : = y ∈R 2 : d (x, y) < δ
{
}
= y ∈R 2 : ||x − y|| < δ
=
{y ∈R 2 : 〈x − y, x − y〉 < δ 2}
A volte indichiamo con I (x) un generico
intorno di x.

Punti interni, esterni, di frontiera.
x ∈ A si dice interno se ∃ un intorno
I (x,δ) ⊆ A
x ∈ A si dice esterno se ∃ un intorno
I (x,δ) ⊆ A C
x ∈ A si dice di frontiera se ∀ intorno
I (x,δ) si ha I (x,δ) ∩ A ≠ ∅ e I (x,δ) ∩
A C ≠ ∅

Insieme chiuso, aperto.
A ⊆ R n è chiuso se contiene tutta la
sua frontiera
A ⊆ R n è aperto se non contiene alcun
punto della sua frontiera

insieme limitato
A è limitato se ∃I(0) ⊇ A
insieme convesso
A è convesso se dati due punti qualsiasi
x, y ∈ A, il segmento che li unisce sta
tutto dentro A
insieme compatto
A è limitato se è chiuso e limitato

Grafico di funzioni f : A → R dove
A ⊆ R 2 , (m = 1, n = 2).
E’ un oggetto geometrico contenuto in
R 3

Curve di livello
Definizione 0.1 Data f : A → R con
A ⊆ R n si dice curva di livello k di f
l’insieme
C k (f) = {x ∈R n : f (x) = k}
Esempi
f (x) = x 1 + x 2

f (x) = x 1 x 2

f (x) = ln (x 1 + x 2 ) + e x 1x 2 + x 2

Restrizioni e sezioni: idea grafica.
Noi considereremo solo le restrizioni parallele
agli assi, ma non sono le uniche
possibili

Funzioni elementari
sono il risultato di operazioni sulle funzioni
elementari nelle varie variabili.

Operazioni tra funzioni.
somma, differenza, prodotto e quoziente.
Come nel caso di una variabile.

e
Composizione di funzioni
come nel caso di una variabile.
Date
f : A → R, con A ⊆ R n
g : B → R h , con B ⊆ R k
per definire la composizione occorre che
f (A) ⊆ B.
In particolare occorre che m = k. (ricordiamo
il caso delle funzioni lineari)

Esempio
f (x) =
(
)
x 1 x 2 , x 2 − x 3 1
g (y) = y 3 1 + y4 2
(g ◦ f) (x) = (x 1 x 2 ) 3 +
( )
x 2 − x 3 4
1
f (t) = (t − 1, t + 2)
g (x) = x 2 1 − x3 2
(g ◦ f) (t) = (t − 1) 2 − (t + 2) 3

Funzione inversa
“sostanzialmente” solo con m = n

Proprietà delle funzioni
Limitatezza
f è limitata se il codominio è limitato

Monotonia (solo lungo le direzioni)
f è monotona lungo una direzione data
se lo è la sua restrizione

Convessità e concavità
f è convessa se il suo epigrafico è convesso
f è concava se il suo ipografico è convesso

Punti estremali e valori estremali, estremo
superiore e inferiore
Data f : A → R massimo e minimo di
f su A sono il massimo e il minimo del
codominio f(A), se esistono.
I punti in cui si realizzano tali valori si
dicono punti di massimo o minimo
sup e inf di f su A sono sup f(A) e
inf f(A).

proprietà locali

Calcolo infinitesimale
Limiti.
La nozione di limite è la stessa
significa
lim
y→x f (y) = L
∀I (L) ∃I (x) t.c.
y ∈ I (x) ⇒ f (y) ∈ I (L)

Continuità
La nozione di continuità è la stessa: f
è continua in x ∈A se
lim f (y) = f (x)
y→x
Valgono i TC
Delle proprietà ricordiamo il Teorema
di Weierstrass
Teorema 0.2 f : A → R, f continua,
A compatto. Allora f ha massimo e
minimo su A.

Derivate parziali e differenziabilità
Derivata parziale come velocità di variazione
lungo una direzione.
Idea: le derivate parziali di una funzione
in più variabili si calcolano facendo
muovere una sola variabile per volta e

Differenziale come approssimazione di
una funzione tramite una funzione affine
(piano o iperpiano tangente).

Funzione derivabile parzialmente rispetto
ad una componente e sua derivata parziale.
Definizione 0.3 Una funzione
f : A −→ R, con A ⊆ R n
si dice
derivabile parzialmente rispetto a x i nel
punto a ∈ int A
se la f, considerata come sola funzione
di x i (tenendo le altre componenti
costanti e uguali a quelle di a)
è derivabile in a i .
In tal caso la derivata ottenuta è la
derivata parziale rispetto a x i di f in a
e si indica col simbolo ∂f(a)
∂x
oppure
i
D xi f(a)
Valgono i TD
Inoltre:
ogni derivata parziale è essa stessa una
funzione di n variabili.

Osservazione 0.4 Il calcolo della derivata
parziale i–esima risulta molto semplice:
si effettua con le stesse regole di calcolo
della derivata di una funzione in una variabile
applicate alla variabile x i facendo
finta che tutte le altre variabili siano delle
costanti (dei parametri!).
Calcolo di derivate parziali.

Ad una funzione definita su R n si associano
n derivate parziali, una per ogni
incognita. Il vettore di R n che le raccoglie
si chiama gradiente:
(
∇f(x 0 ∂f
) = (x 0 ), ∂f (x 0 ), . . . , ∂f )
(x 0 )
∂x 1 ∂x 2 ∂x n
esempio
.
f(x) = x 1 ln x 2 + e x 1x 2
∂f
∂x 1
(x) = ln x 2 + x 2 e x 1x 2 ;
∂f 1
(x) = x
∂x 1 + x
2 x 1 e x 1x 2 .
2
=
(
∇f(x 0 ∂f
) = (x 0 ), ∂f )
(x 0 )
∂x 1 ∂x 2
(
)
ln x 2 + x 2 e x 1x 2
1
, x 1 + x
x 1 e x 1x 2 .
2

Rappresentazione grafica e proprietà
del gradiente
f(x) = x 1 + x 2
f(x) = x 1 x 2

Proprietà del gradiente (massima crescita
e ortogonale alle curve di livello)

Funzione differenziabile e suo differenziale.
Informalmente:
Una funzione è differenziabile in un punto
se è approssimabile nelle “vicinanze” di
esso con una funzione affine. Il differenziale
è la “parte lineare” di tale funzione
affine

Formalmente:
Definizione 0.5 La funzione
f : A −→ R, con A ⊆ R n
si dice differenziabile in a ∈ int A
se esiste un m ∈ R n tale che
f(x) − f(a) = m · (x − a) + o(‖x − a‖).
In tal caso si dice che il termine
m · (x − a)
è il differenziale di f in a e si indica
con df(a).
Osservazione 0.6 Si dimostra che se
f è differenziabile in un punto a allora è
ivi derivabile parzialmente e m = ∇f(a)
Non vale il viceversa in generale. Vale
se aggiungiamo l’ipotesi che le derivate
parziali siano continue (teorema del differenziale
totale).

Piano e iperpiano tangente
Definizione 0.7 Se la funzione
f : A −→ R, con A ⊆ R 2
è differenziabile in a ∈ int A allora il
piano di equazione
z = f(a) + m · (x − a).
si dice piano tangente al grafico di f in
a.
Se la dimensione di A è n > 2 si parla
di iperpiano tangente.

Esempio grafico

Legame tra derivata e monotonia
sulle direzioni
Non si può parlare di monotonia per
funzioni a più variabili. Si può parlare di
monotonia per le restrizioni che sono funzioni
di una variabile. Per esse valgono
i teoremi visti a una variabile ricordando
che le loro derivate sono le derivate parziali.

Derivate parziali seconde
Ogni derivata parziale è una funzione
di n variabili. Quindi se essa è derivabile
parzialmente in ogni componente ad essa
associo n derivate parziali seconde.
In totale posso definire n 2 derivate parziali
seconde.
Nel caso n =
(
2 ho
∂f
∇f(x) = (x), ∂f )
(x) .
∂x 1 ∂x 2
Ora se derivo la prima ottengo
( ) ( )
∂f ∂f
∂f ∂f
(x) e
(x)
∂x 1 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 1
Se derivo la seconda ottengo
(
∂f ∂f
(x)
∂x 1 ∂x 2
)
e
(
∂f ∂f
(x)
∂x 2 ∂x 2
Ho ottenuto così quattro (n 2 ) derivate
seconde che posso scrivere su una matrice
(chiamata Hessiano o matrice Hessiana).
)

H f (x) =
⎛
∂f
(x)
∂x 1 ∂x 1 ⎜
⎝ ∂f
(x)
∂x 1 ∂x 2
⎞
∂f
(x)
∂x 2 ∂x 1 ⎟
∂f ⎠
(x)
∂x 2 ∂x 2
Teorema 0.8 (Schwarz) Sotto opportune
ipotesi (derivate seconde continue)
la matrice Hessiana è sempre una matrice
simmetrica cioè per ogni i, j =
1, . . . , n
∂f
∂x i ∂x j
(x) =
∂f
∂x j ∂x i
(x)

esempi

esempi

Segno di forme quadratiche e matrici
simmetriche

Forme quadratiche
Definizione 0.9 Una forma quadratica
di n variabili è un polinomio omogeneo
di grado 2 in n variabili. Si
tratta quindi di una funzione
f : R n → R
somma di monomi di grado 2 nelle n
variabili.
esempi

Matrici simmetriche
Definizione 0.10 Una matrice quadrata
A ∈ M(n, n) si dice simmetrica se
che significa
esempi
A = A T
a i,j = a j,i , ∀i ≠ j.

Forme quadratiche e matrici simmetriche
Si può stabilire una corrispondenza biunivoca
tra matrici simmetriche n × n e
forme quadratiche in n variabili (analogamente
a quanto si è visto per matrici e
applicazioni lineari).
Data una matrice simmetrica A ∈ M(n, n)
si associa ad essa un’unica forma quadratica
in n variabili come segue
esempi
g A (x) = x T Ax = 〈x, Ax〉
n∑
= a ij x i x j
i,j=1

esempi

Viceversa data una forma quadratica g
in n variabili si associa ad essa un’unica
matrice simmetrica A ∈ M(n, n) tale
che
n∑
g(x) = x T Ax = a ij x i x j
i,j=1
Tale matrice si sceglie prendendo come
a ii il coefficiente di x 2 i e come a ij il coefficiente
di x i x j diviso per due.
Osservazione 0.11 Notare che tale matrice
è esattamente la matrice Hessiana
di g con tutti gli elementi divisi per 2.
esempi

esempi

Segno di forme quadratiche e matrici
simmetriche
Definiamo il segno di una forma quadratica
in modo naturale.
Definizione 0.12 Una forma quadratica
g : R n → R si dice
• definita positiva se g(x) > 0 per ogni
x ∈ R n con x ≠ 0;
• definita negativa se g(x) < 0 per
ogni x ∈ R n con x ≠ 0;
• semidefinita positiva se g(x) ≥ 0
per ogni x ∈ R n ;
• semidefinita negativa se g(x) ≤ 0
per ogni x ∈ R n ;
• indefinita se esistono x 1 , x 2 ∈ R n
per cui
g(x 1 ) > 0
g(x 2 ) < 0.

Ricordando che la forma quadratica associata
ad una matrice simmetrica è
g A (x) = 〈x, Ax〉
si definisce il segno di una matrice simmetrica.
Definizione 0.13 Una matrice simmetrica
A ∈ M(n, n) si dice
• definita positiva se g A (x) > 0 per
ogni x ∈ R n con x ≠ 0;
• definita negativa se g A (x) < 0 per
ogni x ∈ R n con x ≠ 0;
• semidefinita positiva se g A (x) ≥ 0
per ogni x ∈ R n ;
• semidefinita negativa se g A (x) ≤ 0
per ogni x ∈ R n ;
• indefinita se esistono x 1 , x 2 ∈ R n
per cui
g A (x 1 ) > 0
g A (x 2 ) < 0.

D’ora in poi quando diremo: “determinare
il segno di una matrice simmetrica
A”, intenderemo: “dire se la matrice
simmetrica A è definita positiva,
definita negativa, semidefinita positiva,
semidefinita negativa, indefinita”.
esempi
A =
( ) 1 0
0 1
g A (x) = x 2 1 + x2 2
A =
( ) −1 0
0 −2
g A (x) = −x 2 1 −2x2 2

A =
( ) 1 0
0 −1
g A (x) = x 2 1 − x2 2
A =
( ) 2 0
0 0
g A (x) = 2x 2 1
A =
( ) 0 0
0 −1
g A (x) = −x 2 2

Come si determina il segno di una
matrice simmetrica?
.
Autovalori
Definizione 0.14 Si dice autovalore di
una matrice A uno zero del polinomio
caratteristico:
p A (λ) = det(A − λI)
Tale polinomio ha sempre grado n e le
sue soluzioni sono al massimo n (esattamente
n se vengono contate con la
loro molteplicità). L’insieme di tali
zeri viene chiamato spettro di A e si
indica con σ(A).
esempio

caso diagonale e triangolare:
gli autovalori sono gli elementi lungo la
diagonale principale.
esempi

Osservazione 0.15 Gli autovalori si possono
definire per matrici quadrate qualsiasi.
Nel caso di matrici simmetriche
gli autovalori sono tutti numeri reali.
In generale sono numeri complessi (cioè
stanno nell’insieme C).
Inoltre λ è un autovalore se e solo se
esiste almeno un vettore non nullo v tale
che
Av = λv
Tale v si dice autovettore di A relativo
all’autovalore λ.
Si tratta di una nozione molto utile per
determinare i cosiddetti sentieri di crescita
bilanciata o i punti di equilibrio di un sistema
economico.

Segno di una matrice simmetrica
e autovalori
Per determinare il segno di una matrice
ci basta conoscere gli autovalori, infatti:
Teorema 0.16 Una matrice simmetrica
A ∈ M(n, n) è
• definita positiva se e solo se tutti i
suoi autovalori sono > 0;
• definita negativa se e solo se tutti i
suoi autovalori sono < 0;
• semidefinita positiva se e solo se tutti
i suoi autovalori sono ≥ 0;
• semidefinita negativa se e solo se
tutti i suoi autovalori sono ≤ 0;
• indefinita se e solo se esistono due
autovalori di segno opposto.

esempi

Dato che ci interessa solo il segno degli
autovalori vi sono dei metodi che permettono
di indagare il segno di una matrice
lavorando sui coefficienti di essa.
Caso 2 × 2
Si dimostra che:
• il determinante è il prodotto degli autovalori;
• la traccia (somma degli elementi sulla
diagonale principale) è la somma degli
autovalori.
esempi

Di conseguenza, data una matrice A
2 × 2 si ha
Teorema 0.17 Una matrice A ∈ M(2, 2)
è
• definita positiva se e solo se
det A > 0 e a 1,1 > 0;
• definita negativa se e solo se
det A > 0 e a 1,1 < 0;
• semidefinita positiva se e solo se
det A = 0 e a 1,1 + a 2,2 ≥ 0;
• semidefinita negativa se e solo se
det A = 0 e a 1,1 + a 2,2 ≤ 0;
• indefinita se e solo se
.
det A < 0
Questo teorema può essere utile quando
si indaga il segno di matrici 2 × 2 poiché
permette di abbreviare alcuni calcoli.
Per usarlo conviene di solito partire cal-

esempi

Caso n × n
Definizione 0.18 Sia A ∈ M(n, n)
una matrice quadrata simmetrica. Fissato
k ∈ N con 1 ≤ k ≤ n si chiama
• sottomatrice principale una qualsiasi
sottomatrice di ordine k ricavata scegliendo
gli stessi indici di riga e di colonna;
il suo determinante si chiama minore
principale di ordine k;
• sottomatrice principale di guida o di
testa la sottomatrice A k di ordine k
ricavata scegliendo le prime k righe
e le prime k colonne; il suo determinante
si chiama minore principale
di guida (o di testa) di ordine k, e lo
indicheremo con M k .
Utilizzando questa definizione siamo in
grado di caratterizzare il segno delle matrici
simmetriche.

Teorema 0.19 (Criterio di Sylvester)
Una matrice simmetrica A ∈ M(n, n)
è
• definita positiva se e solo se tutti i
suoi minori principali di guida sono
> 0;
• definita negativa se e solo se tutti i
suoi minori principali di guida sono
< 0 quando di ordine dispari, > 0
quando di ordine pari;
• indefinita se det A ≠ 0 e non vale
nessuna delle due sopra.
Vale un criterio analogo per le matrici
semidefinite positive in cui si usano le
sottomatrici principali invece di quelle
principali di guida.
esempi

esempi

Ricordiamo il legame tra convessità (concavità)
e matrice Hessiana.
Teorema 0.20 Sia f : A −→ R derivabile
due volte sull’insieme A ⊆ R n
aperto e convesso; allora
• f è convessa su A se e solo se, per
ogni x ∈ A, H f (x) è semidefinito
positivo,
• f è concava su A se e solo se, per
ogni x ∈ A, H f (x) è semidefinito
negativo.

Pericolo 0.21 Attenzione: il Teorema
0.20 permette di ricavare la concavità
o la convessità di una funzione f se
l’insieme A è aperto e convesso.
Se poi f è convessa (concava) su un’aperto
convesso A e continua su B = A∪fr A
(o B = A ∪ C con C ⊆ fr A) allora f
risulta convessa (concava) su B.
Su insiemi diversi (ad esempio una retta
o una sua porzione in R 2 , o il piano
R 2 privato degli assi) non abbiamo a
disposizione risultati 1 .

esempi
f(x 1 , x 2 ) = x 1 ln x 2
CE = {x ∈ R 2 : x 2 > 0}
∇f(x) =
(
ln x 2 , x )
1
x 2
H f (x) =
⎛ ⎞
1
0
x 2
⎜
⎝ 1
− x ⎟
1⎠
x 2
x 2 2
trH f (x) = − x 1
x 2 2
det H f (x) = − 1 x 2 2

caso Hessiano costante

caso Hessiano variabile

Problemi di massimo e minimo
libero
Il problema è quello di trovare massimi
e/o minimi locali (relativi) e/o globali
(assoluti) di una funzione f : A −→ R
dove A ⊆ R n . Puntualizziamo alcune
cose.
(i) Ci limitiamo ad analizzare casi in cui
f sia derivabile due volte su A e quindi,
rispetto al caso di una variabile, lasciamo
da parte i problemi legati alla non
continuità ed alla non derivabilità.

(ii) Se A è aperto (nei nostri esercizi ciò
accade spesso quando A è il CE) parliamo
di problemi di estremo libero
(o interno); Se A non è aperto (nei
nostri esercizi ciò accade spesso quando
A è definito da alcuni vincoli di uguaglianza
o diseguaglianza ed è più piccolo del
CE) parliamo di problemi di estremo
vincolato. La differenza di fatto viene
dalla presenza di punti di frontiera.
Per indagare la presenza, fra essi, di
punti di massimo e minimo occorrono
tecniche diverse che rendono più difficili
i problemi di estremo vincolato.

Problemi di estremo libero.
Iniziamo spiegando come si determinano
punti di massimo e minimo locale e poi
vediamo sotto quali condizioni i punti di
estremo locale possono essere o non essere
globali.
Strumenti a disposizione per trovare
i punti di massimo o minimo locale
Abbiamo a disposizione tre teoremi analoghi
al caso di una variabile
• condizione necessaria del primo ordine
• condizione necessaria del secondo ordine
• condizione sufficiente del secondo ordine

Condizione necessaria del primo
ordine
Teorema 0.22 (Fermat) Consideriamo
f : A −→ R con A ⊆ R n . Se a ∈
int A è un punto di minimo (o massimo)
locale per f e f è derivabile in
a allora
∇f(a) = 0. (1)

Il Teorema di Fermat afferma che gli
unici punti interni candidati ad essere
punti di minimo o massimo locale per
funzioni derivabili sono quelli che annullano
la derivata.
Tali punti si dicono punti stazionari
(o punti critici).
Restano fuori i punti di frontiera che
stanno anche in A e i punti di non derivabilità.
Anche essi devono essere messi fra i
candidati per l’ultima fase di ricerca.

Condizione necessaria del secondo
ordine
Teorema 0.23 Sia f : A −→ R continua
su A ⊆ R n . Sia a ∈ int A un
punto stazionario in cui esiste H f (a).
Se a è un punto di minimo (massimo)
locale allora
H f (a) è semidefinito positivo
(
Hf (a) è semidefinito negativo ) .

Condizione sufficiente del secondo
ordine
Teorema 0.24 Sia f : A −→ R continua
su A ⊆ R n . Sia a ∈ int A un
punto stazionario in cui esiste H f (a).
Se allora
H f (a) è definito positivo
(
Hf (a) è definito negativo )
allora a è un punto di minimo (massimo)
locale

Metodi
Problemi di estremo libero locale
La ricerca dei punti di estremo libero
locale si effettua (in grandi linee) nella
seguente maniera.
1. Si determinano i punti stazionari (detti
anche punti critici), cioè quei punti
x 0 ∈ R n , interni al CE, per cui
∇f(x 0 ) = 0.
Tali punti saranno i candidati ad essere
punti di massimo e minimo.

2 0
2. Si calcola l’Hessiano H f (x) e lo si valuta
nei punti stazionari:
• (condizione necessaria): se x 0 è
punto di minimo allora H f (x 0 ) è
semidefinita positiva;
• (condizione necessaria): se x 0 è
punto di massimo allora H f (x 0 ) è
semidefinita negativa;
• (condizione sufficiente): se H f (x 0 )
è definita positiva allora x 0 è punto
di minimo;
• (condizione sufficiente): se H f (x 0 )
è definita negativa allora x 0 è punto
di massimo;
• (condizione sufficiente): se H f (x 0 )
è indefinita allora x 0 non è né punto
di minimo né punto di massimo, e
prende il nome di punto di sella 2 .

Quindi,
• se l’Hessiano è definito o indefinito
abbiamo una informazione completa:
ad esempio se è definito positivo sappiamo
che x 0 è punto di minimo;
• se l’Hessiano è semidefinito ma non
nullo abbiamo una informazione parziale:
ad esempio se è semidefinito positivo
sappiamo che x 0 non è punto
di massimo; resta da decidere se è
punto di minimo o di sella;
• se l’Hessiano è nullo non abbiamo
alcuna informazione.

esempi

Punti critici liberi e loro natura
Vediamo alcune idee per stabilire se un
punto critico è estremale locale o globale.
Abbiamo già parlato delle condizioni
necessarie e sufficienti del secondo ordine
che servono per vedere se un punto critico
è estremale locale.
Ne vediamo altri (anche per estremali
globali).
Non vi sono metodi “sicuri”.

1. Verificare la definizione di punto di
massimo/minimo locale tramite la soluzione
di una disequazione.
Esempio. f(x) = x 4 1 + x4 2

2. Studiare le restrizioni di f rispetto a
delle rette passanti per il punto stazionario.
Tale metodo serve solamente per far
vedere che x 0 è punto di sella e si basa
sul seguente risultato.
Teorema 0.25 (sulla restrizione locale)
Se f ha un punto di massimo/minimo
locale in x 0 allora ogni restrizione
di f a rette passanti per x 0 , ha in
x 0 un massimo/minimo locale.
Esempio. f(x) = x 4 1 + (x 2 − 1) 3

3. Usando la convessità/concavità come
riportato dal seguente risultato.
Teorema 0.26 Sia f : A −→ R
convessa (rispettivamente concava)
su A convesso e sia x 0 punto stazionario.
Allora x 0 è punto di minimo (rispettivamente
massimo) globale su A.
Se invece f è convessa (rispettivamente
concava) solo in I(x 0 , r) ∩ A
(dove I(x 0 , r) è un fissato intorno
di x 0 ) allora x 0 è punto di minimo
(rispettivamente massimo) locale su
A.
Utilizzando tale risultato assieme al
Teorema 0.20, possiamo dedurre che
un punto stazionario è di minimo o
massimo locale e/o globale su A studiando
il segno dell’Hessiano.

Esempio.

Problemi di massimo e minimo
vincolato
esempi

In questo caso la teoria è ancora più
delicata rispetto al caso non vincolato.
La forma standard di scrittura di tali
problemi sarà
⎧
min / max f(x)
g 1 (x) ≤ 0
⎪⎨ .
g m (x) ≤ 0 (2)
h 1 (x) = 0
. ⎪⎩
h p (x) = 0.
La f si dice spesso “funzione obbiettivo”
mentre le g i e h j con i = 1, . . . , m e j =
1, . . . , p si dicono “funzioni vincolari”.

esempi

Strumenti a disposizione
L’analogo del teorema di Fermat qui è
il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange
(Condizioni di Kuhn-Tucker).
esempio con un vincolo di uguaglianza

esempio con un vincolo di disuguaglianza

esempio con più vincoli di disuguaglianza

Caso generale
La condizione necessaria ∇f(x) = 0
diventa più complessa. Essa dice che se
un punto è di massimo o minimo locale
allora esistono dei moltiplicatori λ 1 , . . . , λ m ,
µ 1 , . . . , µ p tali che x, λ i (i = 1, . . . , m)
e µ j (j = 1, . . . , p) risolvono il sistema:
⎧
m∑
∇f(x) + λ i ∇g i (x)
⎪⎨
+
i=1
p∑
µ j ∇h j (x) = 0
j=1
λ i g i (x) = 0,
∀i,
(3)
g i (x) ≤ 0,
∀i,
⎪⎩
h j (x) = 0, ∀j.
Inoltre si deve avere
• λ i ≥ 0 se x è punto di minimo,
• λ i ≤ 0 se x è punto di massimo.

Il sistema visto sopra si dice sistema di
Kuhn–Tucker associato al problema (2).
I punti x tali che esistono dei moltiplicatori
che soddisfano il sistema (3) si
dicono punti stazionari vincolati.
Attenzione: quanto detto vale sotto opportune
ipotesi di regolarità che nei problemi
proposti saranno sempre verificate.
Le variabili λ i e µ j prendono il nome di
moltiplicatori di Lagrange o di Kuhn–
Tucker.
La seconda equazione del sistema prende
il nome di condizione di complementarietà.

Operativamente il teorema di Kuhn-
Tucker si usa come il Teorema di Fermat:
occorre innanzitutto scrivere il problema
nella forma standard, scrivere poi il sistema
di Kuhn-Tucker associato e trovare
i punti che lo risolvono: essi saranno i
candidati ad essere punti di massimo e
minimo.
Notate che nella parte interna della regione
il sistema si riduce a chiedere
∇f(x) = 0.

esempi nei casi visti in precedenza: un
vincolo di uguaglianza

esempi nei casi visti in precedenza: un
vincolo di disuguaglianza

esempi nei casi visti in precedenza: più
vincoli di disuguaglianza

Natura dei punti stazionari vincolati
Purtroppo non abbiamo un buon metodo
generale per indagare la natura dei punti
stazionari vincolati (cioè per dire se sono
effettivamente punti di massimo o minimo
locale o globale).
Esistono delle condizioni necessarie e
sufficienti del secondo ordine per estremali
locali (Hessiano orlato) che non consideriamo.

Problemi di estremo globale
Una volta trovati i punti che soddisfano
le condizioni necessarie di Kuhn–
Tucker possiamo comunque indagare la
loro natura utilizzando i seguenti strumenti
(in parte già visti in precedenza)
• Uso della definizione (studiando opportune
disuguaglianze).
• Uso di restrizioni opportune per negare
che il punto sia estremale.
• Teorema di esistenza di Weierstrass.
• Teorema su ottimalità e convessità nel
caso vincolato:
Teorema 0.27 Sia f : A −→ R
convessa (rispettivamente concava)
su A convesso e sia x 0 punto stazionario
vincolato con moltiplicatori λ ≥ 0
(rispettivamente ≤ 0). Allora x 0
è punto di minimo (rispettivamente
massimo) globale su A.

esempi dell’uso dei primi due strumenti

esempi

esempi

Esercizio 0.1 Trovare massimi e minimi
globali (se esistono) della funzione
f(x 1 , x 2 ) = x 2 1 − 2x 1 − x 2
sull’insieme
{
}
A = x ∈ R 2 : x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 1 + x 2 ≤ 8
Soluzione. Disegnamo la regione ammissibile
A
.
❅
✻x 2
❅
❅ (0, 8)
❅
❅
❅
❅
x 1 ≥ 0
✲
❅
❅
❅
❅
❅
❅
x 1 + x 2 ≤ 8
✠
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅❅❅
✻x 2 ≥ 0
(8, 0)
x 1
✲
Figure 1: regione ammissibile

Scriviamo ora il problema nella forma
standard
⎧
max / min x ⎪⎨
2 1 − 2x 1 − x 2
−x 1 ≤ 0
−x ⎪⎩ 2 ≤ 0
x 1 + x 2 − 8 ≤ 0.
Siamo in presenza di n = 2 variabili e
m = 3 vincoli:
g 1 (x) = −x 1 , g 2 (x) = −x 2 , g 3 (x) = x 1 +x 2 −8.
Osserviamo che A è chiuso e limitato
(compatto) e f è continua su A.
Dunque, per il Teorema di Weierstrass,
esistono massimo e minimo.
Per trovarli si risolve il sistema di Kuhn–
Tucker (3) trovando tutti i punti stazionari
e poi confrontiamo i valori assunti da f
su essi.
In tal modo non siamo in grado di sapere
se ci sono altri punti di massimo o min-

Il gradiente della funzione obiettivo risulta
( ) 2x1 − 2
∇f(x) =
−1
mentre quelli dei tre vincoli sono
( ) −1
∇g 1 (x) = , ∇g
0
2 (x) =
( 1
∇g 3 (x) = .
1)
( 0
,
−1)
A questo punto il sistema di Kuhn–Tucker
risulta ⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
2x 1 − 2 − λ 1 + λ 3 = 0
−1 − λ 2 + λ 3 = 0
−λ 1 x 1 = 0
−λ 2 x 2 = 0
λ 3 (x 1 + x 2 − 8) = 0
−x 1 ≤ 0
−x 2 ≤ 0
x 1 + x 2 − 8 ≤ 0
(4)
con l’ulteriore vincolo sul segno dei moltiplicatori
λ i che dovranno essere ≥ 0 per
la ricerca dei punti di minimo e ≤ 0 per
la ricerca dei punti di massimo.

1. Consideriamo il caso in cui i tre vincoli
g i (x) ≤ 0 siano verificati con il segno
di minore stretto (

2. Ricerchiamo il punto stazionario su un
lato della regione ammissibile. Questo
significa che uno dei tre vincoli deve
essere verificato con il segno di uguaglianza
mentre gli altri due con il segno di disuaglianza
stretta. Dobbiamo vedere
perciò tre casi

Caso g 1 (x) = 0. Essendo g 2 (x) < 0
e g 3 (x) < 0, dalla condizione di
complementarietà si ricava λ 2 = λ 3 =
0 ed il sistema
⎧
diventa
2x 1 − 2 − λ 1 = 0
⎪⎨ −1 = 0
−x 1 = 0
−x ⎪⎩ 2 < 0
x 1 + x 2 − 8 < 0
che risulta impossibile (la seconda
equazione risulta un po’ difficile da
risolvere!). Quindi non esistono punti
stazionari sul primo lato.

Caso g 2 (x) = 0. Essendo g 1 (x) < 0
e g 3 (x) < 0, dalla condizione di
complementarietà si ricava λ 1 = λ 3 =
0 ed il sistema
⎧
diventa
2x 1 − 2 = 0
⎪⎨ −1 − λ 2 = 0
−x 1 < 0
−x ⎪⎩ 2 = 0
x + x 2 − 8 < 0
che implica la soluzione
⎧
x 1 = 1
⎪⎨ x 2 = 0
λ 1 = 0
λ ⎪⎩ 2 = −1
λ 3 = 0.
Quindi l’unico punto stazionario è
x 1 = (1, 0) che può essere punto
di massimo (in quanto tutti e tre
i moltiplicatori sono non positivi).

Caso g 3 (x) = 0. Essendo g 1 (x) < 0
e g 2 (x) < 0, dalla condizione di
complementarietà si ricava λ 1 = λ 2 =
0 ed il sistema
⎧
diventa
2x 1 − 2 + λ 3 = 0
⎪⎨ −1 + λ 3 = 0
x 1 > 0
x ⎪⎩ 2 > 0
x 1 + x 2 = 8
che implica la soluzione
⎧
x 1 = 1 2
⎪⎨ x 2 = 15
2
λ 1 = 0
λ 2 = 0
⎪⎩ λ 3 = 1.
Quindi ( l’unico ) punto stazionario è
x 2 = 12
, 15 che può essere punto
2
di minimo (in quanto tutti e tre i
moltiplicatori sono non negativi).

3. A questo punto dobbiamo (teoricamente)
analizzare il caso in cui due vincoli
siano verificati sottoforma di uguaglianza
ed il terzo invece con la disuguaglianza
stretta. Questo equivale a considerare
quei punti che risultano dall’intersezione
di due dei tre vincoli. Nel nostro caso
i tre vertici del triangolo che sono
P 1 = (0, 0), P 2 = (0, 8), P 3 = (8, 0).
Potremmo anche per questi verificare
se valgono le condizioni di Kuhn-Tucker,
tuttavia è più conveniente inserirli subito
tra i punti candidati (tanto sono un
numero finito) e andare avanti.

Abbiamo quindi determinato cinque punti
candidati. Passiamo ad esaminare (e confrontare
tra loro) i valori assunti dalla
funzione obiettivo in tali punti:
f(1, 0) = −1,
f
( 1
2 , 15
2
)
= − 33
4 ,
f(0, 0) = 0, f(0, 8) = −8, f(8, 0) = 48.
Quindi il punto x 2 = (
2 1, 15
2
) è di minimo
globale mentre P 3 = (8, 0) è di massimo
globale.