Equazioni differenziali - Istituto per le Applicazioni del Calcolo

Università LUISS Guido Carli, A.A. 2009-2010 (I semestre)
Metodi Matematici per la Finanza
SECONDA PARTE:
Equazioni Differenziali e alle Differenze
Prof. Fausto Gozzi
(in collaborazione con Dott.ssa Alessandra Cretarola)

Indice
1 Introduzione ai sistemi dinamici 5
1.0.1 Obiettivi della seconda parte del corso . . . . . . . . . . . . . 5
1.0.2 Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Prime definizioni ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Sistemi dinamici descritti da equazioni differenziali o alle differenze
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Alcune osservazioni utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 L’evoluzione di un deposito in banca . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Modelli di crescita della popolazione e di marketing . . . . . . 12
1.2.3 Modello preda-predatore (Lotka - Volterra) . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Modello di crescita di Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Mercato competitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.6 Gestione (Management) di produzione . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Una definizione formale di sistema dinamico . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Esistenza ed unicità delle soluzioni 19
2.1 Soluzioni: il caso a tempi discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Soluzioni locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Esistenza ed unicità globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Soluzioni: il caso a tempi continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Soluzioni locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Esistenza ed unicità globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Equazioni alle differenze ed equazioni differenziali lineari 29
3.1 ED del primo ordine lineari (caso n = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 EDO del primo ordine lineari (caso n = 1) . . . . . . . . . . . . . . . 30
Bibliografia 32
3

4 INDICE

Capitolo 1
Introduzione ai sistemi dinamici
1.0.1 Obiettivi della seconda parte del corso
Lo scopo principale della seconda parte del corso è quello di fornire i concetti base
della teoria matematica dei sistemi dinamici partendo da alcune applicazioni ben
note in economia, management, e finanza. In particolare, gli argomenti trattati
riguarderanno:
• i risultati matematici e gli strumenti usati per formalizzare e studiare alcuni
modelli ben noti in economia e finanza frequentemente incontrati in letteratura;
• alcuni metodi di base per risolvere problemi semplici e affrontare problemi più
complessi che coinvolgono equazioni differenziali (e alle differenze).
1.0.2 Notazioni
Le lettere in grassetto denotano i vettori (o funzioni che mappano numeri reali in
vettori). Le componenti dei vettori non sono in grassetto.
1.1 Prime definizioni ed esempi
Molti problemi applicati in economia, management e finanza sono di natura dinamica.
Generalmente parlando, non possono essere compresi (o predetti, o anche
controllati) semplicente osservandoli ad un certo istante; è necessario poter osservare
la loro evoluzione nel tempo. Per maggiori dettagli ed un’approfindita trattazione,
si legga ad esempio l’introduzione di [4], o il primo capitolo di [2].
Il primo passo nella costruzione un modello è quello di “identificare” le variabili
che descrivono completamente il problema che stiamo trattando. Tali variabili sono
comunemente chiamate variabili di stato. Dato che il problema è di natura dinamica,
ciò che interessa maggiormente è lo studio dell’evoluzione di tali variabili di stato al
variare del tempo 1 . Questo significa che, se indichiamo con x il vettore delle variabili
1 Naturalmente, nello studio del problema possono esserci altri obiettivi. In alcuni casi, può essere
interessante lo studio del comportamento delle variabili di stato (e.g. monotonia, convessità,
punti estremali, comportamento asintotico,...); in altri casi risulta interessante controllare il com-
5

6 Introduzione ai sistemi dinamici
di stato, siamo interessati a studiare la funzione
dove
x : T → X ⊆ R n
• T è un sottoinsieme assegnato di R e rappresenta l’insieme dei tempi nei quali
vogliamo calcolare il valore della variabile di stato;
• X è un sottoinsieme assegnato di R n (n è il numero delle componenti della
variabile di stato che stiamo considerando), dove vive la variabile di stato (di
solito dipende dal tipo di problema: ad esempio se, per n = 1, x rappresenta
un prezzo, è naturale richiedere che prezzi siano ≥ 0 e quindi X = [0, +∞)).
Tale funzione x è, euristicamente, il cuore di un sistema dinamico n-dimensionale e
descrive l’evoluzione nel tempo della variabile di stato. Naturalmente x dipenderà
dal valore dei parametri che compaiono nel modello, specialmente dai dati iniziali.
Non daremo qui la definizione formale di Sistema Dinamico (in breve SD da adesso
in avanti), lasciandola per la sezione 1.3.
L’insieme dei tempi T può essere sostanzialmente di due tipi:
• T ⊆ N che è il caso di un SD a tempi discreti;
• T è un intervallo di R possibilmente non limitato, e questo è il caso di un SD
a tempi continui.
Se la funzione x è nota in forma esplicita allora possiamo utilizzare gli strumenti
necessari per studiare una funzione di questo tipo (che è comunemente chiamata una
curva in R n , si veda ad esempio [6, Sezione 4.5] per una teoria base sulle curve). Ma
di solito, x non è esplicitamente nota. Nella sottosezione seguente, descriviamo cosa
è comunemente noto in questi modelli.
1.1.1 Sistemi dinamici descritti da equazioni differenziali o alle
differenze
In molti modelli dinamici, sono note le seguenti cose:
• il valore x 0 dello stato ad un certo istante t 0 (di solito, ma non necessariamente,
il primo oppure l’ultimo);
• la legge di evoluzione, che andiamo a studiare distinguendo il caso a tempi
discreti da quello a tempi continui.
portamento delle variabili di stato nel raggiungere certi stati, oppure massimizzare alcune funzioni
obiettivo, e così via. Vedremo queste cose più avanti in alcuni esempi.

1.1 Prime definizioni ed esempi 7
Tempi discreti. La legge di evoluzione è una relazione tra il valore x (t) della
variabile di stato al tempo t e i suoi valori ad istanti successivi, i.e. in forma
generale è rappresentata nel modo seguente:
G (t, x (t) , x (t + 1) , x (t + 2) , ..., x (t + k)) = 0
∀t ∈ T
dove G : T × X k+1 → R p è una funzione assegnata. L’espressione sopra è
chiamata Equazione alle Differenze (in breve ED da adesso in poi) di ordine
k (dato che coinvolge i valori della variabile di stato da x (t) a x (t + k)). Il
numero p rappresenta il numero di equazioni. Un caso particolare più semplice
(quando p = n) è quello in cui è possibile riscrivere l’equazione sopra come
x (t + k) = g (t, x (t) , x (t + 1) , x (t + 2) , ..., x (t + k − 1))
∀t ∈ T
per una funzione assegnata g : T × X k → R n . Tali ED sono chiamate ED
in forma normale. L’ED è detta autonoma se G (o equivalentemente, g) non
dipende da t. Se invece lo è, l’ED è detta non autonoma.
Tempi continui. La legge di evoluzione in questo caso è una relazione tra il
valore x (t) della variabile di stato al tempo t e le sue successive derivate allo
stesso istante, i.e. in forma generale è rappresentata nel modo seguente:
(
)
F t, x (t) , x ′ (t) , x ′′ (t) , ..., x (k) (t) = 0 ∀t ∈ T
dove F : T × X 0 × X 1 × X 2 × . . . X k → R p è una funzione assegnata (X i ⊆ R n è
l’insieme dove vogliamo vincolare la i−esima derivata della variabile di stato).
L’espressione sopra è chiamata Equazione Differenziale Ordinaria (in breve
EDO da adesso in poi) di ordine k (dato che coinvolge i valori delle derivate
fino all’ordine k). Il numero p rappresenta il numero di equazioni. Come per le
ED un caso particolare più semplice (quando p = n) è quello in cui è possibile
riscrivere l’equazione sopra come:
x (k) (t) = f
(
)
t, x (t) , x ′ (t) , x ′′ (t) , ..., x (k−1) (t)
∀t ∈ T
per una funzione assegnata f : T × X 0 × X 1 × X 2 × . . . X k−1 → R n . Tali
EDO sono chiamate EDO in forma normale. L’EDO è detta autonoma se F
(o, equivalentemente, f) non dipende da t. Se invece lo è, l’EDO è detta non
autonoma.
In questi casi parleremo di Sistemi Dinamici descritti da ED (o da EDO). Possiamo
anche dire che le ED assegnate (o le EDO) sono le rappresentazioni locali di un
Sistema Dinamico.
In entrambi i casi descritti sopra, quando il numero p delle equazioni è strettamente
maggiore di 1, talvolta si può parlare di “Sistemi di ED o di EDO”.

8 Introduzione ai sistemi dinamici
Da adesso in avanti, considereremo soltanto SD la cui legge di evoluzione è una ED
o EDO del primo ordine in forma normale:
x (t + 1) = g (t, x (t)) ,
∀t ∈ T
x ′ (t) = f (t, x (t)) , ∀t ∈ T.
Questa legge di evoluzione sarà accoppiata alla condizione x (t 0 ) = x 0 ∈ X. Di
solito, ma non sempre, t 0 sarà il primo punto dell’insieme dei tempi T. Per questa
ragione, la condizione x (t 0 ) = x 0 è di solito chiamata “condizione iniziale”. Ma può
accadere che t 0 sia il punto finale (o un qualsiasi altro punto) di T e buona parte
della teoria che svilupperemo funzionerà ugualmente. Specificheremo le differenze se
ce ne saranno.
Il risultato di questo accoppiamento sono i cosiddetti Problemi di Cauchy (in
breve PC da adesso in avanti):
{ x (t + 1) = g (t, x (t)) , ∀t ∈ T
x (t 0 ) = x 0 ∈ X;
{ x ′ (t) = f (t, x (t)) , ∀t ∈ T
x (t 0 ) = x 0 ∈ X;
(1.1)
(1.2)
faremo loro riferimento come PC-ED e PC-EDO. Vedremo che sotto opportune ipotesi
(che nei nostri esempi saranno quasi sempre verificate), la soluzione di tali problemi
di Cauchy esiste ed è unica (si veda il Capitolo 2). Per evidenziare la dipendenza di
tali soluzioni dal dato iniziale, le denoteremo
x (t; t 0 , x 0 )
o semplicemente x (t; x 0 ) quando t 0 = 0 è fissato (talvolta, quando sarà chiaro dal
contesto, scriveremo semplicemente x (t)).
Diamo ora alcune definizioni che saranno utili più avanti:
• l’immagine della funzione x (·; t 0 , x 0 ) cioè l’insieme C = {x (t; t 0 , x 0 ) , t ∈ T} è
chiamato l’orbita (del SD) associata al dato iniziale (t 0 , x 0 ). Si tratta di un
sottoinsieme di R n .
• La famiglia delle curve integrali del SD è la famiglia delle curve { x (t; t 0 , x 0 ) , t 0 ∈
T, x 0 ∈ X } . Spesso t 0 è fissato una volta per tutte e allora la famiglia delle
curve integrali del SD è la famiglia delle curve {x (t; t 0 , x 0 ) , x 0 ∈ X}. Le curve
integrali sono spesso anche chiamate traiettorie del SD. Ogni curva integrale
è un sottoinsieme di T × R n .
• Un punto x 0 ∈ X tale che per ogni t e t 0 la funzione costante x (t; t 0 , x 0 ) = x 0
è una soluzione del problema di Cauchy (1.1) o (1.2) è chiamato punto di
equilibrio.

1.1 Prime definizioni ed esempi 9
1.1.2 Alcune osservazioni utili
Osservazione 1.1.1. Osserviamo che, per dare senso ad un PC-ED come (1.1)
abbiamo solo bisogno di richiedere che x (t) ∈ X, mentre, per dare senso ad un PC-
EDO come (1.2), bisogna richiedere che la funzione x (·) sia differenziabile in ogni
punto t ∈ T. Ciò significa che lo studio di equazioni differenziali ordinarie richiede
in generale più ipotesi di regolarità sulle funzioni coinvolte.
Osservazione 1.1.2. Una volta che sappiamo come studiare una ED od una EDO
del primo ordine in forma normale, risulta molto semplice trattare ED o EDO del
k-esimo ordine in forma normale. Infatti ogni ED o EDO del k-esimo ordine in
forma normale è equivalente ad una ED o EDO del primo ordine in forma normale
con kn variabili.
Per verificarlo nel caso di una EDO con n = 1, consideriamo una qualsiasi EDO di
ordine k > 1 scritta in forma normale
(
)
x (k) (t) = f t, x (t) , x ′ (t) , x ′′ (t) , ..., x (k−1) (t) ∀t ∈ T (1.3)
dove f : T × X 0 × . . . × X k−1 → R (X i ⊆ R). Consideriamo ora la funzione
definita come
y : T → R k
y 1 (t) = x (t)
y 2 (t) = x ′ (t)
y 3 (t) = x ′′ (t)
y k−1 (t) = x (k−2) (t)
y k (t) = x (k−1) (t) .
E’ evidente che, se x : T → R è k-volte differenziabile ed è soluzione di (1.3), allora
l’applicazione y : T → R k è ben definita, differenziabile e soddisfa, ∀t ∈ T:
⎧
y 1 ′ (t) = x′ (t) = y 2 (t)
⎪⎨
y 2 ′ (t) = x′′ (t) = y 3 (t)
.
y ⎪⎩
k−1 ′ (t) = x(k−1) (t) = y k (t)
y
k ′ (t) = x(k+1) (t) = f ( t, x (t) , x ′ (t) , x ′′ (t) , ..., x (k−1) (t) )
così y è una soluzione della seguente EDO del primo ordine:
y ′ (t) = h (t, y (t))
.
dove X = X 0 × . . . × X k−1 e
h : T × X → R k

10 Introduzione ai sistemi dinamici
⎛
h (t, y) =
⎜
⎝
y 2
y 3
.
y k
f (t, y 1 , y 2 , y 3 , ..., y k−1 , y k )
⎞
.
⎟
⎠
Il caso n > 1 è completamente analogo. Si veda ad esempio [5, pp.274-275].
Osservazione 1.1.3. Nei modelli e nelle applicazioni che vedremo, l’obiettivo principale
sarà lo studio delle proprietà delle traiettorie di stato. Prima di intraprendere
questo studio però, abbiamo bisogno di sapere che le soluzioni di PC-ED come (1.1)
(e/o di PC-EDO come (1.2)) esistano e che possibilmente siano uniche. La mancanza
di esistenza od unicità per qualche dato iniziale x 0 ∈ X è di solito qualcosa che
non auspichiamo in un modello: vorrebbe dire che la funzione di stato non esiste,
oppure che partendo dallo stesso punto iniziale sono possibili molteplici evoluzioni.
Questa è la ragione per cui prima di tutto (dopo gli esempi) cercheremo di stabilire
alcuni risultati di esistenza ed unicità delle soluzioni. Nel capitolo 2, Sezione 2.1 e
2.2 rispettivamente, daremo un insieme di condizioni che garantiscano esistenza ed
unicità delle soluzioni.
1.2 Esempi
1.2.1 L’evoluzione di un deposito in banca
Se un certo capitale C > 0 è affidato ad un deposito bancario all’istante t = 0, allora
il suo valore verrà incrementato grazie ai tassi di interesse (ove previsti 2 ) pagati
dalla banca. Consideriamo il modello a tempi discreti misurando il tempo in anni.
Scegliamo come variabile di stato x (t) che rappresenta l’ammontare del capitale nel
deposito durante l’anno t ∈ N. Sia r (t) il tasso di interesse annuale relativo all’anno t
(i.e. il tasso di interesse applicato nel periodo (t, t + 1)) e assumiamo che non ci siano
altri fattori che possano influenzare l’andamento di x (t). Allora x deve soddisfare il
seguente PC-ED { x (t + 1) = (1 + r (t)) x (t) , ∀t ∈ N;
(1.4)
x (0) = C.
Si può ottenere euristicamente un modello analogo a tempi continui, nel modo
seguente. Assumiamo sempre che il tempo venga misurato in anni ma in più ora
vogliamo conoscere il valore del capitale x (t) non solo per t ∈ N ma anche per
t ∈ (∆t) N per un “piccolo” ∆t > 0 assegnato. 3 Ciò significa che il PC-ED (1.4)
diventa { x (t + ∆t) = (1 + r∆t (t)) x (t) , ∀t ∈ (∆t) N;
x (0) = C,
2 Per un’agile e utile introduzione all’argomento si suggerisce di consultare il libro “Banca
Bassotti” di G. Cloza, Editore: Stampa Alternativa, 2001.
3 Questo significa che siamo interessati a conoscere il valore di x al tempo
0, ∆t, 2∆t, 3∆t, . . . , n∆t, . . ., i.e. ai multipli di un’unità di tempo assegnata ∆t. Prendendo
∆t sempre più piccolo (mesi, giorni, ore, secondi, e così via) ci avviciniamo sempre di più ad un
modello a tempi continui.

1.2 Esempi 11
dove adesso r ∆t (t) è il tasso di interesse applicato durante il periodo (t, t + ∆t).
L’equazione alle differenze sopra può quindi essere riscritta come
e dividendo per ∆t, otteniamo
x (t + ∆t) − x (t) = r ∆t (t) x (t) , ∀t ∈ (∆t) N,
x (t + ∆t) − x (t)
= r ∆t (t)
x (t) , ∀t ∈ (∆t) N. (1.5)
∆t
∆t
Adesso possiamo, informalmente, mandando ∆t a 0, passare ad un modello a tempi
continui. Naturalmente il passaggio al limite richiederebbe sapere che tale limite
esiste, ma ciò non è ovvio a priori. Non entriamo nei dettagli del problema e andiamo
avanti semplicemente, assumendo che “ogni cosa funzioni” nel calcolo del limite. Il
termine a destra tende a x ′ (t). In quello a sinistra, assumiamo (ed è ragionevole nel
modello) che la quantità r ∆t(t)
∆t
, quando ∆t → 0, abbia un limite: il cosiddetto tasso
di interesse istantaneo al tempo t che chiamiamo δ (t). Allora il limite della (1.5)
quando ∆t → 0 è (aggiungendo la condizione iniziale):
{ x ′ (t) = δ (t) x (t) ∀t ∈ R + ;
(1.6)
x(0) = C.
Osserviamo che questo è un possibile analogo a tempi continui del modello (1.4) ma
non è l’unico. Informalmente parlando, possiamo dire che questo è il più intuitivo.
In questo caso, la relazione tra r e δ (il tasso di interesse a tempi discreti e continui
rispettivamente) può essere ottenuta, nel caso siano costanti, calcolando le soluzioni
dei due PC (1.4) e (1.6), (1 + r) t e e δt rispettivamente, e ponendole uguali per t ∈ N.
Ne segue che deve essere δ = ln (1 + r)).
Naturalmente, il tasso di interesse può variare nel tempo e può anche dipendere
dall’ammontare di capitale, così a tempi discreti si ha:
o a tempi continui,
x (t + 1) = (1 + r (t, x (t))) x (t) , x (0) = C,
x ′ (t) = δ (t, x (t)) x (t) x (0) = C.
Inoltre, possiamo pensare al caso in cui ci siano prelevamenti periodici nel conto. A
tempi discreti, questo porta ad una ED del tipo
x (t + 1) = (1 + r (t)) x (t) − k (t) , ∀t ∈ N;
dove k (t) è una funzione assegnata che esprime il prelevamento al tempo t. Naturalmente
i prelevamenti possono avere diversa periodicità a seconda dell’unità di
misura del tempo assegnata. Per esempio possiamo decidere di contare il tempo
in mesi e avere prelevamenti ogni 3 mesi. Assumendo che tali prelevamenti siano
costanti (uguali a k 0 > 0) avremmo
{
k0 , se t ∈ 3N
k (t) =
0, otherwise.
Si osservi che trovare un modello a tempi continui equivalente a questo è un compito
difficile.

12 Introduzione ai sistemi dinamici
1.2.2 Modelli di crescita della popolazione e di marketing
Sia x (t) la popolazione di una data specie in un certo ambiente al tempo t. Un
metodo classico di modellizzare la dinamica della popolazione è la cosiddetta legge
di Malthus, in base alla quale l’incremento della popolazione nell’unità di tempo è
proporzionale alla popolazione attraverso una costante a > 0 che rappresenta il tasso
di crescita per unità di tempo (i.e. la quantità ∆x
x
). In questo modo si ha il seguente
modello a tempi discreti
{ x (t + 1) − x (t) = ax (t) ;
x (0) = x 0 .
Un analogo a tempi continui si trova come nell’esempio precedente, scrivendo:
x ′ (t) = bx (t) ; x (0) = x 0 ,
dove b ha un significato diverso da a, dato che rappresenta il tasso istantaneo di
crescita (i.e. la quantità x′
x
). La relazione tra a e b è come quella trovata tra r e δ
nell’esempio precedente.
Un’altra possibilità più realistica è quella di assegnare (oltre la crescita descritta
sopra) un livello di saturazione M per la popolazione (il massimo numero di persone
che possono vivere in un dato ambiente, considerando cibo, risorse naturali, acqua,
aria, ecc.) nel modo seguente:
per un modello a tempi discreti o
x (t + 1) − x (t) = ax (t) (M − x (t)) ; x (0) = x 0
x ′ (t) = bx (t) (M − x (t)) ; x (0) = x 0
per un modello a tempi continui. Queste sono chiamate equazioni logistiche (Verhulst
le ha introdotte nel 1845). Lo studio del caso a tempi discreti è molto più complicato
dato che porta a dinamiche complesse e caos, si veda e.g. [5, pp.3263-368] and [4,
pp.505-512].
Questi due modelli possono essere visti come modelli di marketing dove x (t) rappresenta
il numero di clienti di una data azienda al tempo t. Per commenti su questi
modelli di marketing si veda [2, p.71-74].
Un modello più generale che include quelli precedentemente descritti può essere
scritto nel modo seguente (a tempi discreti):
x (t + 1) − x (t) = F (x (t)) − H (t) ; x (0) = x 0 (1.7)
dove F (x) è la funzione di crescita della popolazione (la differenza tra nascita e
morte) e H è una harvesting function (funzione di “raccolta”): H (t) rappresenta il
numero di individui che escono dal sistema nel periodo tra t e t + 1. La funzione

1.2 Esempi 13
F è di solito scritta come F (x) = xR (x) dove R (x) è il tasso di crescita della
popolazione. Nel caso di Malthus R è costante. Nel caso logistico R è decrescente
affine. In generale, si possono verificare differenti comportamenti. Per un maggiore
approfondimento, si veda e.g. [3]. Nel modellizzare la popolazione dei pesci (ma
anche bovini o altri animali) la funzione H è assegnata dall’industria della pesca.
Il PC-ED (1.7) è anche usato per modellizzare l’evoluzione di uno stock di risorse
rinnovabili, si veda e.g. [3].
1.2.3 Modello preda-predatore (Lotka - Volterra)
E’ un modello semplice a tempi continui che descrive l’evoluzione nel tempo di due
specie che interagiscono tra loro: la preda ed il predatore. Si tratta di un modello che
risolve il problema di sopravvivenza tra due specie diverse di animali, una delle quali
deve cibarsi dell’altra per sopravvivere. Chiamiamo x 1 (t) il numero (medio) delle
prede al tempo t e x 2 (t) il numero (medio) dei predatori al tempo t. Le equazioni
che modellizzano l’evoluzione sono:
⎧
⎨
⎩
x ′ 1 (t) = x 1 (t) (A − Bx 1 (t)) , x 1 (0) = x 10 ;
x ′ 2 (t) = x 2 (t) (−C + Dx 2 (t)) , x 2 (0) = x 20 .
(1.8)
Questo rappresenta un modello semplice di tali interazioni e fu proposto dagli studiosi
Lotka and Volterra. Per una spiegazione più dettagliata si veda [6, pp.443-445].
Si tratta di un modello non lineare che è stato ampiamente studiato in letteratura.
Per una trattazione approfondita si possono consultare [5, pp. 278-283] o [6, Sections
15.5, 15.6], oppure [4, Section 24.4]. Ricordiamo che le equazioni (1.8) sono
state impiegate da Goodwin per costruire il ben noto modello del ciclo di crescita di
Goodwin (si consulti [4, pp.458-464]).
Un altro esempio di modello dinamico della popolazione è il modello di Leslie, si
veda [6, pp.354-356].
1.2.4 Modello di crescita di Solow
Si consideri un’economia chiusa dove ogni agente possiede una quantità k 0 di capitale
al tempo t = 0. La quantità pro capite di capitale cambia al variare del tempo e si
assume che la sua evoluzione dipenda dalla produzione pro capite f P (k), dal tasso
di crescita della popolazione δ e dal consumo c(t), nel modo seguente:
a tempi discreti, e
k (t + 1) − k (t) = f P (k (t)) − δk (t) − c (t) ; k (0) = k 0
k ′ (t) = f P (k (t)) − δk (t) − c (t) ; k (0) = k 0

14 Introduzione ai sistemi dinamici
a tempi continui. Qui f P : [0, +∞) → [0, +∞) rappresenta la cosiddetta funzione di
produzione pro capite e si assume che soddisfi le seguenti condizioni:
f P ∈ C 2 ((0, +∞) ; R) ,
f P ′ > 0, f P ′′ < 0,
f P (0) = 0, f P (+∞) = +∞,
f ′ P (0) = +∞, f P (+∞) = 0.
Un esempio è f P (k) = k α per un certo α ∈ (0, 1). Inoltre la funzione c rappresenta
la polizza di consumo dell’agente economico. Ci sono differenti modi per sceglierla.
Una possibilità è quella di sceglierla in base ad un modello di ottimizzazione, i.e.
scegliere la traiettoria c che massimizza un funzionale assegnato (si veda un corso
di ottimizzazione dinamica per avere un’idea). Un’altra possibilità più semplice è di
sceglierla in base ad una feedback rule assegnata, i.e. scegliere c(t) come una funzione
assegnata del capitale al tempo t. Una scelta ben nota è
c (t) = (1 − s) f P (k (t)) ,
dove s ∈ (0, 1) è il tasso di risparmio (i.e. la proporzione di produzione che non è
stata impiegata per il consumo). In questo secondo caso, si ha
a tempi discreti e
k (t + 1) − k (t) = sf P (k (t)) − δk (t) ; k (0) = k 0
k ′ (t) = sf P (k (t)) − δk (t) ; k (0) = k 0 (1.9)
a tempi continui. Per uno studio approfondito del modello, si veda e.g. [1, Ch. 2]
oppure [4, Sezioni 13.2 and 24.2.3]).
1.2.5 Mercato competitivo
Questo esempio è tratto da [2, p.74-77]. Qui delineiamo il modello riferendoci a quel
libro per una descrizione più completa. Consideriamo un mercato con n individui
che competono dividendosi l’intero mercato (e.g. gestori di compagnie telefoniche).
Chiamiamo x (t) il vettore delle quote di mercato per ciascuna compagnia così da
avere ∑ n
i=1 x i (t) = 1, per ogni t ≥ 0. Chiamiamo poi A la matrice n × n dei
coefficienti di transizione (a ij è la porzione di clienti della j-esima compagnia che
passerà alla compagnia i nel prossimo periodo). Si assume che A sia costante. Per
costruzione si ha:
n∑
a ij = 1, ∀j = 1, ..., n.
i=1
Allora il vettore x (t) soddisfa il PC-ED omogeneo a tempi discreti
x (t + 1) = Ax (t) ; x (0) = x 0 ,

1.3 Una definizione formale di sistema dinamico 15
dove x 0 rappresenta la distribuzione iniziale delle quote di mercato. Un analogo a
tempi continui del modello a tempi discreti è
x ′ (t) = (A − I) x (t) ; x (0) = x 0 .
Un modello simile utilizzato per descrivere l’aumento o la diminuzione del numero di
auto in una città (od in uno stato, o qualsiasi altro luogo) è discusso in [2, p.74-77].
1.2.6 Gestione (Management) di produzione
Si consideri un’azienda che fa scorte di beni utilizzati per la produzione in un certo
deposito (“storehouse”). Se ci sono ad esempio n beni, le loro quantità possono essere
rappresentate da un vettore x = (x 1 , ..., x n ) ∈ R n . Naturalmente, queste quantità
varieranno nel tempo conseguentemente a:
• il loro utilizzo nella produzione (-);
• l’arrivo di nuovi stocks comprati dall’azienda (+);
• altri eventi attesi od inattesi (declini, furti, incendi, donazioni,...) (+ o -).
Allora è chiaro che il problema di gestire il magazzino è un problema dinamico.
Il vettore x rappresenta lo stato del sistema “storehouse”. Dipende dal tempo e
può essere scritto come x (t), dove t appartiene ad un certo insieme di tempi che
indicheremo con T. Un primo tentativo di modellizzare tale comportamento dinamico
può essere il seguente:
x (t + 1) = −B (t) + A (t, x (t)) + N (t, x (t)) ; x (0) = x 0 ,
dove B è una funzione positiva del tempo che fornisce la quantità utilizzata per la
produzione ad ogni periodo t (si potrebbe pensare che non dipenda da t, come effettivamente
la produzione non dovrebbe essere condizionata dalle quantità immagazzinate).
Qui A è una funzione positiva che fornisce le quantità comprate dall’azienda
nel periodo t; dipende anche da x, ritenendo ragionevole che l’azienda osservi le
quantità immagazzinate per decidere quanta merce comprare. Per concludere, N è
una quantità aleatoria che rappresenta tutti i cambiamenti inaspettati (che possono
dipendere o non dipendere da x).
Esercizio 1.2.1. Si discuta la formulazione del problema appena illustrato, si presenti
una possibile alternativa ed un modello a tempi continui commentandolo.
1.3 Una definizione formale di sistema dinamico
Ci occupiamo ora di dare una definizione formale di sistema dinamico che possa
favorire una comprensione più profonda di questo oggetto matematico e delle sue
applicazioni. Partiamo con una prima definizione.

16 Introduzione ai sistemi dinamici
Definizione 1.3.1. Un sistema dinamico è dato da un insieme X, (l’insieme degli
stati, di solito chiamato lo spazio di fase) un insieme T (l’insieme dei tempi), un
insieme di traiettorie {x (·; t 0 , x 0 )} (t0 ,x 0 )∈T×X, che soddisfano le seguenti proprietà:
1. ∀ (t 0 , x 0 ) ∈ T × X si ha x (t 0 ; t 0 , x 0 ) = x 0 ;
2. ∀ (t 0 , x 0 ) ∈ T × X si ha x (·; t 0 , x 0 ) : T → X;
3. ∀x 0 ∈ X and t 0 , t 1 , t 2 ∈ T si ha
x (t 2 ; t 0 , x 0 ) = x (t 2 ; t 1 , x (t 1 ; t 0 , x 0 ))
L’idea che si nasconde dietro la definizione appena enunciata è la seguente. Un sistema
dinamico è sostanzialmente dato dall’insieme di tutte le traiettorie della variabile
di stato x, al variare del dato iniziale (o finale, o un qualsiasi altro) x 0 . Sono assegnati
un insieme di tempi possibili T ed un insieme di stati possibili X. Pensando a
quanto visto nella Sezione 1.1, possiamo dire euristicamente che {x (·; x 0 )} (t0 ,x 0 )∈T×X
corrisponde all’insieme delle soluzioni dei problemi di Cauchy (1.1) o (1.2) quando
(t 0 , x 0 ) varia in T × X.
Osservazione 1.3.2. Le tre proprietà sopra elencate richiedono coerenza tra il sistema
dinamico e l’insieme di soluzioni dei problemi di Cauchy. Le prime due sono
abbastanza chiare, dato che stabiliscono la condizione iniziale ed il fatto che tutte le
traiettorie sono definite in T con valori in X. La terza proprietà è probabilmente è a
prima vista un po’ più oscura: sostanzialmente, dice che la seconda parte di una traiettoria,
che parte da un determinato punto, può essere vista come un punto diverso
spostato nel tempo. Corrisponde alle proprietà di esistenza ed unicità che vedremo
nel prossimo capitolo.
Esaminiamo ora il caso autonomo.
Definizione 1.3.3. Un sistema dinamico autonomo è dato da un insieme X, (l’insieme
degli stati, di solito chiamato lo spazio di fase) un insieme T (l’insieme dei
tempi), un istante t 0 ∈ T, un insieme di traiettorie {x (·; x 0 )} x0 ∈X
, che soddisfano
le seguenti proprietà:
1. ∀x 0 ∈ X si ha x (t 0 ; x 0 ) = x 0 ;
2. ∀x 0 ∈ X si ha x (·; x 0 ) : T → X;
3. ∀x 0 ∈ X and t 1 , t 2 ∈ T tale che t 1 + t 2 ∈ T si ha
x (t 1 + t 2 ; x 0 ) = x (t 2 ; x (t 1 ; x 0 ))
La differenza tra l’ultima definizione data e quella generale è la seguente. In questo
caso l’istante iniziale (o finale, o un qualsiasi altro) t 0 è fissato una volta per tutte
mentre lo stato iniziale x 0 varia in X. Sostanzialmente questo è dovuto al fatto che

1.3 Una definizione formale di sistema dinamico 17
nel caso autonomo, identificare lo stato richiede solo di conoscere il punto iniziale
e la distanza dal tempo iniziale. Questo non succede nel caso non autonomo dove
anche l’istante iniziale deve essere noto.
Pensando a quanto visto nella sezione 1.1, possiamo dire euristicamente che {x (·; x 0 )} x0 ∈X
corrisponde all’insieme delle soluzioni dei problemi di Cauchy (1.1) o (1.2), quando
t 0 è fissato e facciamo variare x 0 in X.
Un istante iniziale (o finale , o un qualsiasi altro) t 0 è fissato così come lo spazio degli
stati X.
Un altro modo di guardare un sistema dinamico autonomo è il seguente (per brevità,
tralasciamo la discussione del caso non autonomo). Invece di concentrarsi sulle traiettorie
di stato che variano con il tempo, si potrebbe pensare di focalizzare l’attenzione
sulle applicazioni φ t : X → X, definite per ogni t ∈ T come segue :
φ t (x 0 ) = x (t; t 0 , x 0 ) .
L’idea è che per ogni τ ∈ T, un sistema dinamico induce una trasformazione dello
spazio degli stati X in se stesso, ovvero la mappa φ t . Studiare le proprietà di tali
mappe è sostanzialmente equivalente a studiare le proprietà delle traiettorie, ma con
un diverso punto di vista.
Dal punto di vista economico, possiamo pensare all’esempio seguente: si considerino
un istante iniziale e vari agenti corrispondenti a varie condizioni iniziali; la mappa
φ t dice dove sono gli agenti al tempo t, ed in questo modo fornisce un’immagine
globale di un sistema complesso ad un certo istante. La singola traiettoria descrive
l’evoluzione di un singolo agente. La seguente definizione (si veda e.g. [5, p.378])
mette in luce questa importante caratteristica.
Definizione 1.3.4. Un sistema dinamico autonomo è dato da un insieme X (l’insieme
degli stati, di solito chiamato lo spazio di fase) un insieme T (l’insieme dei
tempi), un insieme di mappe di evoluzione { φ t} , che soddisfano le seguenti proprietà:
t∈T
1. φ 0 = Id X (assumendo che t = 0 è il primo punto di T ).
2. φ t : X → X, ∀t ∈ T
3. φ t+s = φ t ◦ φ s , ∀t, s ∈ T tale che t + s ∈ T .
Le mappe φ t sono oggetti matematici che descrivono l’evoluzione dinamica del sistema;
la mappa φ t porta il valore dello stato iniziale x (0) nel valore dello stato x (t)
al tempo t, che corrisponde al valore iniziale assegnato. Valori iniziali diversi portano
in generale a diversi valori al tempo t.
Si osservi che con questa definizione di sistema dinamico, data una qualsiasi condizione
iniziale la traiettoria seguita dal sistema è data da x (t; x 0 ) = φ t (x 0 ), con
t ∈ T.
Inoltre, l’immagine di questa traiettoria sarà chiamata orbita associata a x 0 e sarà
indicata da Or (x 0 ) = { φ t (x 0 ) , t ∈ T } ⊆ X. Se l’orbita associata a x 0 è costante,
i.e. se φ t (x 0 ) = x 0 , ∀t ∈ T, allora x 0 è detto punto di equilibrio del sistema
dinamico.

18 Introduzione ai sistemi dinamici

Capitolo 2
Esistenza ed unicità delle soluzioni
In questo capitolo daremo la definizione di soluzione di equazioni alle differenze (ED)
ed equazioni differenziali ordinarie (EDO) e per i problemi di Cauchy (PC) associati.
Vedremo anche i risultati fondamentali di esistenza ed unicità delle soluzioni che
forniranno una base per l’intera teoria sui sistemi dinamici.
Iniziamo con il caso a tempi discreti che è molto semplice. Poi studieremo il caso a
tempi continui che richiede maggiore attenzione.
2.1 Soluzioni: il caso a tempi discreti
Prima di tutto introduciamo il modello di base.
• X è un sottoinsieme assegnato di R n ;
• assegnati gli istanti iniziale e finale −∞ ≤ T 0 ≤ T ≤ +∞, poniamo T =
[T 0 , T ] ∩ Z, dato che siamo nel caso a tempi discreti;
• la funzione g (chiamata dinamica ) è definita da T × X → R n .
Partiamo con la definizione di soluzione globale, che è quella che si cerca solitamente.
Definizione 2.1.1. Una funzione x : T → X è una soluzione globale dell’ED
x (t + 1) = g (t, x (t)) , ∀t ∈ T (2.1)
se soddisfa (2.1), i.e. l’equazione x (t + 1) = g (t, x (t)) per ogni t ∈ T.
È abbastanza chiaro che le soluzioni di (2.1), se esistono, in generale non sono uniche.
Infatti la semplice ED
x (t + 1) = x (t) , ∀t ∈ T
ha infinite soluzioni: le costanti. Ciò è dovuto al fatto che la condizione non è stata
specificata. Così il problema naturale che consideriamo nei modelli applicati e che
caratterizza “in modo naturale” esistenza ed unicità è il problema di Cauchy come
(1.1). Enunciamo ora la definizione di soluzione di problema di Cauchy in questo
contesto.
19

20 Esistenza ed unicità delle soluzioni
Definizione 2.1.2. Una funzione x : T → X è una soluzione globale del PC-ED
{ x (t + 1) = g (t, x (t)) ∀t ∈ T
x (t 0 ) = x 0 t 0 ∈ T, x 0 ∈ X
(2.2)
se soddisfa (2.2), i.e. l’equazione x (t + 1) = g (t, x (t)) per ogni t ∈ T e la condizione
iniziale x (t 0 ) = x 0 .
2.1.1 Soluzioni locali
In molti casi esistono soluzioni ma non sono definite su tutto l’insieme T. In questo
caso non possiamo dire che esiste una soluzione globale nel senso della Definizione
2.1.2, dato che non è pienamente soddisfatta. Questo fenomeno è comune maggiormente
a tempi continui e lo studieremo in dettaglio nella prossima sezione. Per
questa ragione introduciamo il concetto di soluzione locale. Iniziamo da un esempio
nel caso unidimensionale dove una soluzione globale non esiste.
Esempio 2.1.3. (n = 1, T = N, X = [0, +∞)) Il PC-ED
x (t + 1) = −2 + √ x (t), t ∈ N
x (0) = 4
non ammette unna soluzione globale. Infatti otteniamo con una semplice iterazione,
x (0) = 4,
x (1) = −2 + √ x (0) = 0,
x (2) = −2 + √ x (1) = −2,
x (3) = −2 + √ x (2) non definita in R.
Questo è il motivo per cui si introduce il concetto di soluzione locale. Diamo la
definizione di soluzione locale per un CP-DE ma una simile può essere data per ED.
Evidenziamo il fatto che questo concetto è molto più importante nel caso a tempi
continui, come vedremo nella prossima sezione.
Definizione 2.1.4. Il problema di Cauchy (2.2) ammette una soluzione locale se
esiste un intorno di t 0 , che indichiamo con J (t 0 ), contenente almeno un elemento
t 1 ∈ T, t 1 ≠ t 0 , e una funzione x : J (t 0 ) → X tale che x soddisfi
x ′ (t) = g (t, x (t)) , ∀t ∈ J (t 0 ) ∩ T
x (t 0 ) = x 0 .
Tale funzione x è chiamata una soluzione locale di (2.2). Se prendiamo J come
intorno destro (o sinistro) di t 0 , allora parliamo di soluzione locale a destra o a
sinistra.

2.1 Soluzioni: il caso a tempi discreti 21
2.1.2 Esistenza ed unicità globale
Passiamo ora allo studio di esistenza ed unicità per problemi di Cauchy come 2.2).
Ciò che vedremo implicherà automaticamente risultati per le equazioni alle differenze.
Assumiami che t 0 è il primo punto di T 1 In questo caso, il CP-DE fornisce un
algoritmo per calcolare la soluzione ricorsivamente. (sia t = t 0 per semplicità):
x (0) = x 0 , x (1) = g (0, x (0)) , x (2) = g (1, x (1)) , ...
e così via. Questo algoritmo permette di calcolare la soluzione in un numero finito
di passi se T < +∞, altrimenti fornisce solo un modo di definire induttivamente
la soluzione. L’algoritmo non genera una soluzione soltanto se ad un certo punto
g (t, x (t)) non è ben definito. Questo succede e.g. nell’esempio 2.1.3 visto sopra e
negli esempi seguenti.
Esempio 2.1.5. (n = 1, T = N, X = (0, +∞))
Otteniamo
x (t + 1) = −2 + ln x (t) , t ∈ N
x (0) = e.
x (0) = 4, x (1) = −2 + ln x (0) = −1,
x (2) = −2 + ln x (1) , non definita in R.
Esempio 2.1.6. (n = 1, T = N, X = [0, +∞))
dove si ha
x (t + 1) = 2x (t) − √ x (t), t ∈ N
x (0) = 1 3 ,
x (0) = 1 3 , x (1) = 2 3 − √
1
3 ,
x (2) = 2
( √ )
2 1
3 − −
3
x (3) = non definita in R.
√
2
3 − √
1
3 < 0,
Abbiamo il risultato seguente, la cui dimostrazione si fa semplicemnte per induzione.
1 Osserviamo che, se t 0 non è il primo istante di T, allora l’algoritmo per trovare una soluzione
può dare solo valori per t > t 0. Per t < t 0, si dovrebbe andare nell’altra direzione. Per
dare una spiegazione, facciamo un passo in più. Consideriamo l’ED per t = t 0 − 1 ottenendo
x (t 0) = g (t 0 − 1, x (t 0 − 1)). Poi cerchiamo di trovare x (t 0 − 1) da questa equazione, se possibile.
Naturalmente, questo algoritmo all’indietro potrebbe rivelarsi molto più complesso dell’algoritmo
in avanti descritto nel testo.

22 Esistenza ed unicità delle soluzioni
Teorema 2.1.7. Dati T ⊆ N, X ⊆ R n , g : T ×X → R n , x 0 ∈ X, la soluzione globale
di (2.2) esiste ed è unica se e solo se la successione {x (t)} t∈T
definita ricorsivamente
da
x (0) = x 0 , x (1) = g (0, x (0)) , ..........x (t + 1) = g (t, x (t)) , ....
è ben definita per ogni t ∈ T.
Se g : T × X → X, allora la soluzione di (2.2) esiste ed è unica per ogni dato
iniziale x 0 ∈ X.
Esercizio 2.1.8. Nell’Esempio 2.1.5: dimostrare che per ogni dato iniziale x (0) ≥ 0
esiste un istante t tale che x (t) < 0, cosi che la soluzione non è mai definita per
tutti i t ∈ N a prescindere dalla condizione iniziale.
Esercizio 2.1.9. Nell’Esempio 2.1.6: provare, senza lìaiuto di un calcolatore, che
x (2) < 0. Inoltre provare che se x (0) ≥ 1 allora la soluzione globale è ben definita e
che strettamente crescente. Cosa possiamo dire per x < 1?
Osservazione 2.1.10. Per quanto riguarda l’esistenza, i punti dove g (t, x 0 ) = x 0
per ogni t ∈ T sono punti speciali. Infatti, se il sistema parte da questi punti, allora
esiste sempre un’unica soluzione costante x (t, x 0 ) = x 0 per ogni t ∈ T. Questi punti
sono chiamati punti di equilibrio. Anche se non esistono soluzioni che partono da
altri punti, sicuramente esistono soluzioni che partono da punti di equilibrio.
2.2 Soluzioni: il caso a tempi continui
In questa sezione estendiamo i concetti di esistenza ed unicità delle soluzioni introdotti
precedentemente, al caso a tempi continui.
Qui il modello di base è il seguente:
• X è un sottoinsieme assegnato di R n ;
• assegnati gli istanti iniziale e finale −∞ ≤ T 0 ≤ T ≤ +∞, poniamo T =
[T 0 , T ] ∩ R, dato che siamo nel caso a tempi continui;
• la funzione f (chiamata dinamica) è definita da T × X → R n .
Analogamente al caso a tempi discreti, iniziamo dalla definizione di soluzione
globale, che è quella che solitamente si va a cercare.
Definizione 2.2.1. Una funzione x : T → X è una solution globale classica
dell’EDO
x ′ (t) = f (t, x (t)) , ∀t ∈ T (2.3)
se è differenziabile in ogni t ∈ T e soddisfa (2.3).

2.2 Soluzioni: il caso a tempi continui 23
Osserviamo che qui richiediamo la differenziabilità della funzione x (·). È abbastanza
chiaro che soluzioni di (2.3), se esistono, in generale non sono uniche. Infatti
analogamente al caso a tempi discreti, la semplice EDO
x ′ (t) = 0,
∀t ∈ T
ha infinite soluzioni: le costanti. Sappiamo che questo è dovuto al fatto che non è
stata specificata la condizione iniziale. Allora il problema naturale che consideriamo
nei modelli applicati e che “caratterizza” esistenza ed unicità è di nuovo il PC come
(1.2). Enunciamo ora la definizione di soluzione per un problema di Cauchy nel caso
a tempi continui.
Definizione 2.2.2. Una funzione x : T → X è una soluzione globale classica del
PC-EDO { x ′ (t) = f (t, x (t)) ∀t ∈ T
(2.4)
x (t 0 ) = x 0 t 0 ∈ T, x 0 ∈ X
se è differenziabile in ogni t ∈ T e soddisfa (2.4).
Osservazione 2.2.3. Ogni soluzione del problema di Cauchy (2.4) è chiamata una
curva integrale dell’EDO.
Integrando, possiamo dare un’altra definizione di soluzione per (2.3) e per (2.4).
Definizione 2.2.4. Una funzione x : T → X è una soluzione globale debole di (2.4)
se la funzione
s → f (s, x (s))
è integrabile su [t 0 , t] per ogni t ∈ T (si veda e.g. [5, p.216] per la definizione di
integrabilità) in T e
∫ t
x (t) = x 0 + f (s, x (s)) ds,
t 0
∀t ∈ T. (2.5)
Similarmente x : T → X è una soluzione globale debole di (2.3) se esiste t 0 ∈ T e
x 0 ∈ X tale che (2.5) è verificata (equivalentemente se
∫
x (·) ∈ f (s, x (s)) ds,
ricordando che l’integrale indefinito di una funzione è l’insieme di tutte le primitive).
Esempio 2.2.5. Caso in cui esiste una soluzione globale debole che non è una
soluzione globale classica. Sia
⎧
⎨ 1
h (t) = t − 1 , t ≠ 1
⎩ 0, t = 1
{ x ′ (t) = h (t) x (t) , ∀t ≥ 0
x (0) = x 0
x 0 ∈ R

24 Esistenza ed unicità delle soluzioni
La funzione
x (t) = x 0 |t − 1|
è una soluzione globale debole ma non è classica dato che non è differenziabile in
t = 1.
Esercizio 2.2.6. Verificare l’ultima affermazione sopra operando una sostituzione
nel PC-EDO. Trovare anche un altro esempio di questo tipo.
2.2.1 Soluzioni locali
In molti casi esistono soluzioni ma non sono differenziabili su tutto l’insieme T. In
questo caso non possiamo dire che esistono soluzioni globali nel senso della Definizione
2.2.2, dato che non sono pienamente verificate. Allora, riformuliamo il concetto di
soluzione locale introdotto nella sezione precedente, adattandolo al nostro modello a
tempi continui.
Seguendo l’idea del caso a tempi discreti, iniziamo con un esempio nel caso unidimensionale
dove non esistono soluzioni globali.
Esempio 2.2.7. (n = 1, T = R + , X = R) Il PC-EDO
{ x ′ (t) = x 2 (t) ,
x (0) = x 0 ∈ R
ammette una soluzione globale su T = R + se e solo se x 0 ≤ 0, come vedremo in
un esempio nel prossimi capitoli.Osserviamo che l’analogo problema a tempi discreti
PC-ED
{ x(t + 1) − x(t) = x 2 (t),
x(0) = x 0 ∈ R
ammette una soluzione globale su T = N per ogni dato iniziale x 0 ∈ R. Questa è una
conseguenza diretta del Teorema 2.1.7.
Vediamo ora la definizione di soluzione locale per PC-EDO ma una simile si può
dare per equazioni differenziali ordinarie.
Definizione 2.2.8. Il problema di Cauchy (2.4) ammette una soluzione locale se
esiste un intorno di t 0 , che chiamiamo J (t 0 ) e una funzione x : J (t 0 ) → X tale che
x è differenziabile in J (t 0 ) e soddisfa
{ x ′ (t) = f (t, x (t)) , ∀t ∈ J (t 0 ) ∩ T
x (t 0 ) = x 0 .
Questa funzione x è chiamata una soluzione locale di (2.4). Se J è un intorno
destro (o sinistro) di t 0 , allora diciamo che è una soluzione locale a destra (o a
sinistra).
Vediamo ora come è facile ottenere esistenza ed unicità di soluzioni locali, mentre è
molto più difficile ottenere soluzioni globali.

2.2 Soluzioni: il caso a tempi continui 25
Esistenza ed unicità locale
L’analisi per il caso a tempi continui è più difficile. Prima di tutto non abbaimo un
algoritmo ricorsivo per calcolare la soluzione. Inoltre è molto più complicato garantire
esistenza ed unicità di soluzioni globali (classiche o deboli). Si veda l’Esempio 2.2.7.
Vediamo ora due teoremi molto importanti. Il primo teorema stabilisce un risultato
generale per l’esistenza di soluzioni locali. Durante la trattazione, un intorno di
(t 0 , x 0 ) sarà sempre inteso come prodotto di due
(
intorni
)
sferici, i.e. I (t
( 0 , x
) 0 ) =
I 1 (t 0 ) × I 2 (x 0 ). Useremo anche la notazione I 1 t
+
0 (rispettivamente I1 t
−
0 ) per
indicare un intorno destro (rispettivamente sinistro) di t 0 e la notazione I ( t + 0 , x )
0
(rispettivamente I ( t − 0 , x ( ) ( )
0)
) per indicare I1 t
+
0 × I2 (x 0 ) (rispettivamente I 1 t
−
0 ×
I 2 (x 0 )). Per concludere, assegneremo una volta per tutte gli istanti iniziale e finale
−∞ ≤ T 0 ≤ T ≤ +∞ e porremo T = [T 0 , T ] ∩ R.
Teorema 2.2.9 (Peano). Sia X ⊆ R n , f :T × X → R n , sia (t 0 , x 0 ) ∈ T × X. Se
esiste un intorno di (t 0 , x 0 ), che chiamiamo I (t 0 , x 0 ) ⊆ T×X tale che f è continua su
I, allora esiste una soluzione locale x di (2.4). Se prendiamo I ( t + 0 , x ) ( )
0 o I t
−
0 , x 0
allora otteniamo solo soluzioni locali a destra o a sinistra.
Dimostrazione 2.2.10. La dimostrazione di questo teorema è piuttosto complessa e
fa uso di argomenti di compattezza su spazi di funzioni appropriati. Nel caso potesse
interessare, si può guardare ad esempio [7, Section 3.1].
In questo teorema si assume che x 0 ∈ IntX. Se x 0 ∈ F rX, i.e. x 0 si trovo sul bordo
di X, valgono ancora alcuni risultati di esistenza. Abbiamo ad esempio il corollario
seguente che sarà utile per lo studio dell’esempio di Peano ed altri simili che vedremo
più avanti.
Corollario 2.2.11. Sia X un intervallo reale, f : T × X → R, sia (t 0 , x 0 ) ∈ T × X.
Sia x 0 ∈ F rX. Se esiste un intorno di ( t + 0 , ) ( x+ 0 (respectively t
−
0 , x − )
0 ), che chiamiamo
I ( t + 0 , ) ( x+ 0 ⊆ T × X (rispettivamente I t
−
0 , x − )
0 ⊆ T × X) tale che f è continua
e non-negativa (rispettivamente non-positiva) su I, allora esiste una soluzione locale
a destra (rispettivamente a sinistra) x di (2.4).
Passiamo ora al ben noto teorema di esistenza ed unicità locale. Prima di enunciarlo,
abbiamo bisogno di introdurre la seguente definizione.
Definizione 2.2.12. Una funzione h : X → Y , X, Y spazi metrici (di solito, ma non
necessariamente sottoinsiemi di R n ) è Lipschitziana su X se esiste una costante
M > 0 tale che
d Y (h (x 1 ) − h (x 2 )) ≤ Md X (x 1 − x 2 ) , ∀x 1 , x 2 ∈ X.
h è localmente Lipschitziana su X se per ogni x ∈X esiste un intorno che lo contiene
dove h è Lipschitziana.
Una funzione f : A × X → Y , A ⊆ R, X, Y spazi metrici, è Lipschitziana in x,
uniformemente rispetto a t ∈ A se esiste una costante M > 0 tale che
d Y (f (t, x 1 ) − f (t, x 2 )) ≤ Md X (x 1 − x 2 ) , ∀t ∈ A, ∀x 1 , x 2 ∈ X.

26 Esistenza ed unicità delle soluzioni
f è localmente Lipschitziana nella variabile x, uniformemente rispetto a t se per
ogni (t 0 , x 0 ) ∈ A × X esiste un intorno di (t 0 , x 0 ), che chiamiamo I (t 0 , x 0 ) dove f è
Lipschitziana in x, uniformemente rispetto a t.
Teorema 2.2.13 (Cauchy, Lipschitz, Picard). Sia f : T × X → R n , let (t 0 , x 0 ) ∈
T ×X. Se esiste un intorno di (t 0 , x 0 ), che chiamiamo I (t 0 , x 0 ) ⊆ T ×X tale che, su
I, f è Lipschitziana in x, uniformemente rispetto a t, allora esiste un’unica soluzione
locale x di (2.4). Se prendiamo I ( t + 0 , x 0)
o I
(
t
−
0 , x 0
)
allora abbiamo solo soluzioni
locali uniche a destra o a sinistra.
Dimostrazione 2.2.14. Per la dimostrazione di questo risultato fondamentale, su
consulti e.g. [5, pp.263-264].
Corollario 2.2.15. Sia f : T × X → R n , sia (t 0 , x 0 ) ∈ T × X. Se esiste un intorno
di (t 0 , x 0 ), che chiamiamo I (t 0 , x 0 ) ⊆ T × X tale che, su I, ∂f esiste ed è continua,
∂x
allora esiste un’unica soluzione locale x di (2.4).
Corollario 2.2.16. Sia f : T × X → R n , e assumiamo che esista un insieme aperto
X 0 ⊆ X tale che, ad ogni istante (t 0 , x 0 ) ∈ T ×X 0 la derivata parziale ∂f esiste ed è
∂x
continua. Allora per ogni (t 0 , x 0 ) ∈ T × X 0 esiste un’unica soluzione locale x di (2.4)
con l’accordo che se t 0 è sul bordo di T, la soluzione è solo a destra o a sinistra.
In molti esempi, l’insieme X 0 sarà scelto il più grande possibile, i.e. la parte interna
di X denotata da IntX.
Osservazione 2.2.17. Un diretta e fondamentale conseguenza del corollario 2.2.16
è che, sulla regione T × X 0 le curve integrali non si incrociano. È sufficiente argomentarlo
per contraddizione. Se due curve integrali si incrociano in un dato
(t 0 , x 0 ) ∈ T × X 0 , allora questo vorrebbe dire che esistono due soluzioni che escono
da questo punto. Questo però non può succedere in virtù del teorema di unicità.
2.2.2 Esistenza ed unicità globale
In generale siamo interessati all’esistenza ed all’unicità globale. Nel caso a tempi
continui, le otteniamo però molto difficilmente, anche se la funzione f ha un buon
anadamento come visto sopra. Vediamo ora alcune condizioni che garantiscono esistenza
ed unicità globale.
Da adesso in poi assumiamo in questa sezione che le ipotesi del Corollario 2.2.16
sopra sono soddisfatte, i.e. f : T × X → R n , ed esiste un insieme aperto X 0 ⊆ X
tale che, ad ogni (t 0 , x 0 ) ∈ T × X 0 , ∂f esiste ed è continua. In questo caso per ogni
∂x
(t 0 , x 0 ) ∈ T × X 0 esiste un’unica soluzione locale x (·; t 0 , x 0 ) di (2.4). Prendiamo
ora tale soluzione. Sarà sicuramente definita su un certo intervallo [t 0 − δ, t 0 + δ].
Possiamo quindi considerare un nuovo problema di cauchy (cercando una soluzione
y) con la stessa EDO e condizione iniziale all’istante t 0 + δ uguale a x (t 0 + δ).
{
y ′ (t) = f (t, y (t)) ∀t ∈ T
y (t 0 + δ) = x (t 0 + δ) .

2.2 Soluzioni: il caso a tempi continui 27
Se (t 0 + δ, x (t 0 + δ)) ∈ T × X 0 and t 0 + δ non è l’ultimo punto di T allora di nuovo
abbiamo un’unica soluzione locale y. Tale soluzione è detta prolungamento a
destra della soluzione locale x. In maniera simile, si può definire un prolungamento
a sinistra.
Definizione 2.2.18 (Soluzione massimale). Chiamiamo
T max = sup {t > t 0 | la soluzione locale di (2.4) ammette un prolungamento a destra} .
In maniera simile, si può definire T min . La soluzione prolungata può allora essere
definita su (T min , T max ) che è chiamato intervallo massimale di esistenza. Questa
soluzione prolungata sarà chiamata la soluzione massimale del problema di Cauchy
(2.4). Naturalemnte se T ⊆ (T min , T max ) allora la soluzione locale è globale.
Abbiamo i seguenti risultati molto importanti.
Teorema 2.2.19. Se X = R n e f o ∂f
∂x sono limitate sulla striscia T × Rn , allora
esiste un’unica soluzione globale di (2.4).
Teorema 2.2.20. Se x (t) = x (t; t 0 , x 0 ) è la soluzione locale di (2.4) e x (t) è
limitata per ogni t tale che x (t) esiste, allora la soluzione locale può essere prolungata
ad una globale.
Osservazione 2.2.21. Punti speciali sono i punti dove f (t, x 0 ) = 0 per ogni t ∈
T. Se il sistema parte da questi punti, allora esiste sempre una soluzione costante
x (t, x 0 ) = x 0 per ogni t ∈ T (che è unica se e.g. vale Corollario 2.2.15). Questi
punti sono chiamati punti di equilibrio. Anche se non esistono soluzioni globali
che partono da altri punti, sicuramente esisteranno soluzioni globali che partono dai
punti di equilibrio.

28 Esistenza ed unicità delle soluzioni

Capitolo 3
Equazioni alle differenze ed
equazioni differenziali lineari
Iniziamo lo studio delle equazioni alle differenze e delle equazioni differenziali lineari,
e dei problemi di Cauchy associati.
Partiamo dal caso n = 1 i.e. il caso uni-dimensionale. Vedremo alcuni metodi per
calcolare la soluzione, sia nel caso a tempi discreti che nel caso a tempi continui.
3.1 ED del primo ordine lineari (caso n = 1)
Iniziamo con la definizione di equazione alle differenze lineare.
intervallo assegnato di N, possibilmente l’intero insieme N.
Qui T sarà un
Definizione 3.1.1. Una equazione alle differenze (ED) del primo ordine definita in
T è detta lineare se la funzione g (i.e. la dinamica) è lineare o affine, quindi se è
del tipo
x (t + 1) = a D (t) x (t) + b D (t) , t ∈ T
dove a D , b D : T → R sono funzioni assegnate. Se b D è 0 allora l’ED è detta lineare
omogenea. Altrimenti, è detta non omogenea.
Di solito lo spazio degli stati è R. In alcuni modelli applicati, è richiesto uno spazio
degli stati diverso. Se non è specificato, assumiamo in questo capitolo che X = R.
Teorema 3.1.2. Fissato (t 0 , x 0 ) ∈ T × R, esiste sempre un’unica soluzione del
problema di Cauchy (PC-ED)
{ x (t + 1) = aD (t) x (t) + b D (t) , t ∈ T
x (t 0 ) = x 0 .
(3.1)
Nel caso lineare uni-dimensionale abbaimo una formula per la soluzione. La enunceremo
ma senza dimostrazione. Si può trovare una dimostrazione in e.g. in [5,
p.339].
29

30 Equazioni alle differenze ed equazioni differenziali lineari
Proposizione 3.1.3. L’unica soluzione su T = [t 0 , +∞)∩Z del problema di Cauchy
{ x (t + 1) = aD (t) x (t) + b D (t) , t ∈ T
è data da
che nel caso omogeneo è
x (t 0 ) = x 0 ,
( t−1
)
( ∏ ∑t−1
t−1
)
∏
x (t) = x 0 a D (s) + b D (s) a D (s)
s=t 0 s=t 0 r=s+1
( t−1
)
∏
x (t) = x 0 a D (s)
s=t 0
(3.2)
(3.3)
e nel caso in cui a D è costante, è
x (t) = x 0 a t−t 0
D
t−1
+ ∑
b D (s) a t−s−1
D
. (3.4)
s=t 0
Osservazione 3.1.4. Osserviamo che la soluzione è data dalla somma di cue termini:
1. la soluzione dell’ED omogenea associata, che dipende linearmente dal dato
inziale;
2. la soluzione della non omogenea quando scegliamo come dato iniziale 0 al tempo
t 0 .
Possiamo dire che la soluzione generale è una funzione affine (lineare nel caso omogeneo)
del dato iniziale.
3.2 EDO del primo ordine lineari (caso n = 1)
Prima di tutto enunciamo la definizione di EDO del primo ordine lineare. Qui T sarà
un intervallo assegnato di R, possibilmente tutto R.
Definizione 3.2.1. Un’equazione differenziale ordinaria (EDO) del primo ordine
definita in T è detta lineare se la funzione f (i.e. la dinamica) è lineare o affine,
così è del tipo
x ′ (t) = a C (t) x (t) + b C (t) , t ∈ T
dove a C , b C : T → R sono funzioni assegnate. Se b C è 0 allora l’EDO è detta lineare
omogenea. Altrimenti, è detta non omogenea.
Per queste equazioni vale il seguente teorema che è un po’ più potente dell’applicazione
al caso lineare dei risultati visti precedetemente.
Teorema 3.2.2. Si assuma che a C e b C sono funzioni continue su T. Allora, fissato
ogni (t 0 , x 0 ) ∈ T × R esiste sempre un’unica soluzione del problema di Cauchy (PC-
EDO)
{ x ′ (t) = a C (t) x (t) + b C (t) , t ∈ T
(3.5)
x (t 0 ) = x 0 .

3.2 EDO del primo ordine lineari (caso n = 1) 31
Osservazione 3.2.3. Applicando il Teorema 2.2.19 al caso lineare otterremmo esistenza
ed unicità di (3.5) su [t 0 , T ] per ogni T finito. Il Teorema 3.2.2 stabilisce
sistenza ed unicità anche su [t 0 , +∞).
Nel caso lineare uni-dimensionale abbiamo una formula esplicita per la soluzione,
come nel caso a tempi discreti. La enunciamo ma senza la dimostrazione. Per un
maggiore approfondimento, si consulti e.g. in [6, pp.407-408]. Si veda anche [2] per
una trattazione unificata del caso a tempi discreti e continui.
Proposizione 3.2.4. L’unica soluzione su T = [T 0 , T 1 ] ∩ R del problema di Cauchy
(PC-EDO)
{ x ′ (t) = a C (t) x (t) + b C (t) , t ∈ T
x (t 0 ) = x 0 , t 0 ∈ T, x 0 ∈ R,
è data da
che nel caso omogeneo è
R t
∫ t R
x (t) = x 0 e
t a C (s)ds t
0 + b C (s) e s aC(r)dr ds (3.6)
t 0
R t
x (t) = x 0 e
t a C (s)ds
0
(3.7)
e nel caso in cui a C è costante
x (t) = x 0 e a C(t−t 0 ) +
∫ t
b C (s) e aC(t−s) ds.
t 0
(3.8)
Osservazione 3.2.5. Come nel caso a tempi discreti, la soluzione è somma di due
termini:
1. la soluzione dell’EDO omogenea associata, che dipende linearmente dal dato
inziale;
2. la soluzione della non omogenea quando scegliamo come dato iniziale 0 al tempo
t 0 .
Di nuovo, possiamo dire che la soluzione generale è una funzione affine (lineare nel
caso omogeneo) del dato iniziale.

32 Equazioni alle differenze ed equazioni differenziali lineari

Bibliografia
[1] R.J. Barro and X. Sala-i-Martin (1995), Economic Growth, Mc Graw-Hill,
New York.
[2] E. Castagnoli, L. Peccati (1996), La matematica in azienda: strumenti e modelli
vol 4 (sistemi dinamici con applicazioni), (EGEA) (1);
[3] G.I. Bischi, On discrete time models in population dynamics, draft.
[4] G. Gandolfo (1997), Economic Dynamics (Springer) (1,2).
[5] A. Guerraggio, S. Salsa (1997), Metodi matematici per l’economia e le scienze
sociali, (Giappichelli), (1,2);
[6] A. Simon, K. Blume, Mathematics for economists.
[7] L.C. Piccinini, G Stampacchia, G. Vidossich (1978), Equazioni differenziali
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33