Equazioni differenziali - Istituto per le Applicazioni del Calcolo

2.1 Soluzioni: il caso a tempi discreti 21
2.1.2 Esistenza ed unicità globale
Passiamo ora allo studio di esistenza ed unicità per problemi di Cauchy come 2.2).
Ciò che vedremo implicherà automaticamente risultati per le equazioni alle differenze.
Assumiami che t 0 è il primo punto di T 1 In questo caso, il CP-DE fornisce un
algoritmo per calcolare la soluzione ricorsivamente. (sia t = t 0 per semplicità):
x (0) = x 0 , x (1) = g (0, x (0)) , x (2) = g (1, x (1)) , ...
e così via. Questo algoritmo permette di calcolare la soluzione in un numero finito
di passi se T < +∞, altrimenti fornisce solo un modo di definire induttivamente
la soluzione. L’algoritmo non genera una soluzione soltanto se ad un certo punto
g (t, x (t)) non è ben definito. Questo succede e.g. nell’esempio 2.1.3 visto sopra e
negli esempi seguenti.
Esempio 2.1.5. (n = 1, T = N, X = (0, +∞))
Otteniamo
x (t + 1) = −2 + ln x (t) , t ∈ N
x (0) = e.
x (0) = 4, x (1) = −2 + ln x (0) = −1,
x (2) = −2 + ln x (1) , non definita in R.
Esempio 2.1.6. (n = 1, T = N, X = [0, +∞))
dove si ha
x (t + 1) = 2x (t) − √ x (t), t ∈ N
x (0) = 1 3 ,
x (0) = 1 3 , x (1) = 2 3 − √
1
3 ,
x (2) = 2
( √ )
2 1
3 − −
3
x (3) = non definita in R.
√
2
3 − √
1
3 < 0,
Abbiamo il risultato seguente, la cui dimostrazione si fa semplicemnte per induzione.
1 Osserviamo che, se t 0 non è il primo istante di T, allora l’algoritmo per trovare una soluzione
può dare solo valori per t > t 0. Per t < t 0, si dovrebbe andare nell’altra direzione. Per
dare una spiegazione, facciamo un passo in più. Consideriamo l’ED per t = t 0 − 1 ottenendo
x (t 0) = g (t 0 − 1, x (t 0 − 1)). Poi cerchiamo di trovare x (t 0 − 1) da questa equazione, se possibile.
Naturalmente, questo algoritmo all’indietro potrebbe rivelarsi molto più complesso dell’algoritmo
in avanti descritto nel testo.