Equazioni differenziali - Istituto per le Applicazioni del Calcolo

2.2 Soluzioni: il caso a tempi continui 25
Esistenza ed unicità locale
L’analisi per il caso a tempi continui è più difficile. Prima di tutto non abbaimo un
algoritmo ricorsivo per calcolare la soluzione. Inoltre è molto più complicato garantire
esistenza ed unicità di soluzioni globali (classiche o deboli). Si veda l’Esempio 2.2.7.
Vediamo ora due teoremi molto importanti. Il primo teorema stabilisce un risultato
generale per l’esistenza di soluzioni locali. Durante la trattazione, un intorno di
(t 0 , x 0 ) sarà sempre inteso come prodotto di due
(
intorni
)
sferici, i.e. I (t
( 0 , x
) 0 ) =
I 1 (t 0 ) × I 2 (x 0 ). Useremo anche la notazione I 1 t
+
0 (rispettivamente I1 t
−
0 ) per
indicare un intorno destro (rispettivamente sinistro) di t 0 e la notazione I ( t + 0 , x )
0
(rispettivamente I ( t − 0 , x ( ) ( )
0)
) per indicare I1 t
+
0 × I2 (x 0 ) (rispettivamente I 1 t
−
0 ×
I 2 (x 0 )). Per concludere, assegneremo una volta per tutte gli istanti iniziale e finale
−∞ ≤ T 0 ≤ T ≤ +∞ e porremo T = [T 0 , T ] ∩ R.
Teorema 2.2.9 (Peano). Sia X ⊆ R n , f :T × X → R n , sia (t 0 , x 0 ) ∈ T × X. Se
esiste un intorno di (t 0 , x 0 ), che chiamiamo I (t 0 , x 0 ) ⊆ T×X tale che f è continua su
I, allora esiste una soluzione locale x di (2.4). Se prendiamo I ( t + 0 , x ) ( )
0 o I t
−
0 , x 0
allora otteniamo solo soluzioni locali a destra o a sinistra.
Dimostrazione 2.2.10. La dimostrazione di questo teorema è piuttosto complessa e
fa uso di argomenti di compattezza su spazi di funzioni appropriati. Nel caso potesse
interessare, si può guardare ad esempio [7, Section 3.1].
In questo teorema si assume che x 0 ∈ IntX. Se x 0 ∈ F rX, i.e. x 0 si trovo sul bordo
di X, valgono ancora alcuni risultati di esistenza. Abbiamo ad esempio il corollario
seguente che sarà utile per lo studio dell’esempio di Peano ed altri simili che vedremo
più avanti.
Corollario 2.2.11. Sia X un intervallo reale, f : T × X → R, sia (t 0 , x 0 ) ∈ T × X.
Sia x 0 ∈ F rX. Se esiste un intorno di ( t + 0 , ) ( x+ 0 (respectively t
−
0 , x − )
0 ), che chiamiamo
I ( t + 0 , ) ( x+ 0 ⊆ T × X (rispettivamente I t
−
0 , x − )
0 ⊆ T × X) tale che f è continua
e non-negativa (rispettivamente non-positiva) su I, allora esiste una soluzione locale
a destra (rispettivamente a sinistra) x di (2.4).
Passiamo ora al ben noto teorema di esistenza ed unicità locale. Prima di enunciarlo,
abbiamo bisogno di introdurre la seguente definizione.
Definizione 2.2.12. Una funzione h : X → Y , X, Y spazi metrici (di solito, ma non
necessariamente sottoinsiemi di R n ) è Lipschitziana su X se esiste una costante
M > 0 tale che
d Y (h (x 1 ) − h (x 2 )) ≤ Md X (x 1 − x 2 ) , ∀x 1 , x 2 ∈ X.
h è localmente Lipschitziana su X se per ogni x ∈X esiste un intorno che lo contiene
dove h è Lipschitziana.
Una funzione f : A × X → Y , A ⊆ R, X, Y spazi metrici, è Lipschitziana in x,
uniformemente rispetto a t ∈ A se esiste una costante M > 0 tale che
d Y (f (t, x 1 ) − f (t, x 2 )) ≤ Md X (x 1 − x 2 ) , ∀t ∈ A, ∀x 1 , x 2 ∈ X.