Equazioni differenziali - Istituto per le Applicazioni del Calcolo

1.1 Prime definizioni ed esempi 9
1.1.2 Alcune osservazioni utili
Osservazione 1.1.1. Osserviamo che, per dare senso ad un PC-ED come (1.1)
abbiamo solo bisogno di richiedere che x (t) ∈ X, mentre, per dare senso ad un PC-
EDO come (1.2), bisogna richiedere che la funzione x (·) sia differenziabile in ogni
punto t ∈ T. Ciò significa che lo studio di equazioni differenziali ordinarie richiede
in generale più ipotesi di regolarità sulle funzioni coinvolte.
Osservazione 1.1.2. Una volta che sappiamo come studiare una ED od una EDO
del primo ordine in forma normale, risulta molto semplice trattare ED o EDO del
k-esimo ordine in forma normale. Infatti ogni ED o EDO del k-esimo ordine in
forma normale è equivalente ad una ED o EDO del primo ordine in forma normale
con kn variabili.
Per verificarlo nel caso di una EDO con n = 1, consideriamo una qualsiasi EDO di
ordine k > 1 scritta in forma normale
(
)
x (k) (t) = f t, x (t) , x ′ (t) , x ′′ (t) , ..., x (k−1) (t) ∀t ∈ T (1.3)
dove f : T × X 0 × . . . × X k−1 → R (X i ⊆ R). Consideriamo ora la funzione
definita come
y : T → R k
y 1 (t) = x (t)
y 2 (t) = x ′ (t)
y 3 (t) = x ′′ (t)
y k−1 (t) = x (k−2) (t)
y k (t) = x (k−1) (t) .
E’ evidente che, se x : T → R è k-volte differenziabile ed è soluzione di (1.3), allora
l’applicazione y : T → R k è ben definita, differenziabile e soddisfa, ∀t ∈ T:
⎧
y 1 ′ (t) = x′ (t) = y 2 (t)
⎪⎨
y 2 ′ (t) = x′′ (t) = y 3 (t)
.
y ⎪⎩
k−1 ′ (t) = x(k−1) (t) = y k (t)
y
k ′ (t) = x(k+1) (t) = f ( t, x (t) , x ′ (t) , x ′′ (t) , ..., x (k−1) (t) )
così y è una soluzione della seguente EDO del primo ordine:
y ′ (t) = h (t, y (t))
.
dove X = X 0 × . . . × X k−1 e
h : T × X → R k