Equazioni differenziali - Istituto per le Applicazioni del Calcolo

1.1 Prime definizioni ed esempi 7
Tempi discreti. La legge di evoluzione è una relazione tra il valore x (t) della
variabile di stato al tempo t e i suoi valori ad istanti successivi, i.e. in forma
generale è rappresentata nel modo seguente:
G (t, x (t) , x (t + 1) , x (t + 2) , ..., x (t + k)) = 0
∀t ∈ T
dove G : T × X k+1 → R p è una funzione assegnata. L’espressione sopra è
chiamata Equazione alle Differenze (in breve ED da adesso in poi) di ordine
k (dato che coinvolge i valori della variabile di stato da x (t) a x (t + k)). Il
numero p rappresenta il numero di equazioni. Un caso particolare più semplice
(quando p = n) è quello in cui è possibile riscrivere l’equazione sopra come
x (t + k) = g (t, x (t) , x (t + 1) , x (t + 2) , ..., x (t + k − 1))
∀t ∈ T
per una funzione assegnata g : T × X k → R n . Tali ED sono chiamate ED
in forma normale. L’ED è detta autonoma se G (o equivalentemente, g) non
dipende da t. Se invece lo è, l’ED è detta non autonoma.
Tempi continui. La legge di evoluzione in questo caso è una relazione tra il
valore x (t) della variabile di stato al tempo t e le sue successive derivate allo
stesso istante, i.e. in forma generale è rappresentata nel modo seguente:
(
)
F t, x (t) , x ′ (t) , x ′′ (t) , ..., x (k) (t) = 0 ∀t ∈ T
dove F : T × X 0 × X 1 × X 2 × . . . X k → R p è una funzione assegnata (X i ⊆ R n è
l’insieme dove vogliamo vincolare la i−esima derivata della variabile di stato).
L’espressione sopra è chiamata Equazione Differenziale Ordinaria (in breve
EDO da adesso in poi) di ordine k (dato che coinvolge i valori delle derivate
fino all’ordine k). Il numero p rappresenta il numero di equazioni. Come per le
ED un caso particolare più semplice (quando p = n) è quello in cui è possibile
riscrivere l’equazione sopra come:
x (k) (t) = f
(
)
t, x (t) , x ′ (t) , x ′′ (t) , ..., x (k−1) (t)
∀t ∈ T
per una funzione assegnata f : T × X 0 × X 1 × X 2 × . . . X k−1 → R n . Tali
EDO sono chiamate EDO in forma normale. L’EDO è detta autonoma se F
(o, equivalentemente, f) non dipende da t. Se invece lo è, l’EDO è detta non
autonoma.
In questi casi parleremo di Sistemi Dinamici descritti da ED (o da EDO). Possiamo
anche dire che le ED assegnate (o le EDO) sono le rappresentazioni locali di un
Sistema Dinamico.
In entrambi i casi descritti sopra, quando il numero p delle equazioni è strettamente
maggiore di 1, talvolta si può parlare di “Sistemi di ED o di EDO”.