Equazioni differenziali - Istituto per le Applicazioni del Calcolo

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12 Introduzione ai sistemi dinamici 1.2.2 Modelli di crescita della popolazione e di marketing Sia x (t) la popolazione di una data specie in un certo ambiente al tempo t. Un metodo classico di modellizzare la dinamica della popolazione è la cosiddetta legge di Malthus, in base alla quale l’incremento della popolazione nell’unità di tempo è proporzionale alla popolazione attraverso una costante a > 0 che rappresenta il tasso di crescita per unità di tempo (i.e. la quantità ∆x x ). In questo modo si ha il seguente modello a tempi discreti { x (t + 1) − x (t) = ax (t) ; x (0) = x 0 . Un analogo a tempi continui si trova come nell’esempio precedente, scrivendo: x ′ (t) = bx (t) ; x (0) = x 0 , dove b ha un significato diverso da a, dato che rappresenta il tasso istantaneo di crescita (i.e. la quantità x′ x ). La relazione tra a e b è come quella trovata tra r e δ nell’esempio precedente. Un’altra possibilità più realistica è quella di assegnare (oltre la crescita descritta sopra) un livello di saturazione M per la popolazione (il massimo numero di persone che possono vivere in un dato ambiente, considerando cibo, risorse naturali, acqua, aria, ecc.) nel modo seguente: per un modello a tempi discreti o x (t + 1) − x (t) = ax (t) (M − x (t)) ; x (0) = x 0 x ′ (t) = bx (t) (M − x (t)) ; x (0) = x 0 per un modello a tempi continui. Queste sono chiamate equazioni logistiche (Verhulst le ha introdotte nel 1845). Lo studio del caso a tempi discreti è molto più complicato dato che porta a dinamiche complesse e caos, si veda e.g. [5, pp.3263-368] and [4, pp.505-512]. Questi due modelli possono essere visti come modelli di marketing dove x (t) rappresenta il numero di clienti di una data azienda al tempo t. Per commenti su questi modelli di marketing si veda [2, p.71-74]. Un modello più generale che include quelli precedentemente descritti può essere scritto nel modo seguente (a tempi discreti): x (t + 1) − x (t) = F (x (t)) − H (t) ; x (0) = x 0 (1.7) dove F (x) è la funzione di crescita della popolazione (la differenza tra nascita e morte) e H è una harvesting function (funzione di “raccolta”): H (t) rappresenta il numero di individui che escono dal sistema nel periodo tra t e t + 1. La funzione
1.2 Esempi 13 F è di solito scritta come F (x) = xR (x) dove R (x) è il tasso di crescita della popolazione. Nel caso di Malthus R è costante. Nel caso logistico R è decrescente affine. In generale, si possono verificare differenti comportamenti. Per un maggiore approfondimento, si veda e.g. [3]. Nel modellizzare la popolazione dei pesci (ma anche bovini o altri animali) la funzione H è assegnata dall’industria della pesca. Il PC-ED (1.7) è anche usato per modellizzare l’evoluzione di uno stock di risorse rinnovabili, si veda e.g. [3]. 1.2.3 Modello preda-predatore (Lotka - Volterra) E’ un modello semplice a tempi continui che descrive l’evoluzione nel tempo di due specie che interagiscono tra loro: la preda ed il predatore. Si tratta di un modello che risolve il problema di sopravvivenza tra due specie diverse di animali, una delle quali deve cibarsi dell’altra per sopravvivere. Chiamiamo x 1 (t) il numero (medio) delle prede al tempo t e x 2 (t) il numero (medio) dei predatori al tempo t. Le equazioni che modellizzano l’evoluzione sono: ⎧ ⎨ ⎩ x ′ 1 (t) = x 1 (t) (A − Bx 1 (t)) , x 1 (0) = x 10 ; x ′ 2 (t) = x 2 (t) (−C + Dx 2 (t)) , x 2 (0) = x 20 . (1.8) Questo rappresenta un modello semplice di tali interazioni e fu proposto dagli studiosi Lotka and Volterra. Per una spiegazione più dettagliata si veda [6, pp.443-445]. Si tratta di un modello non lineare che è stato ampiamente studiato in letteratura. Per una trattazione approfondita si possono consultare [5, pp. 278-283] o [6, Sections 15.5, 15.6], oppure [4, Section 24.4]. Ricordiamo che le equazioni (1.8) sono state impiegate da Goodwin per costruire il ben noto modello del ciclo di crescita di Goodwin (si consulti [4, pp.458-464]). Un altro esempio di modello dinamico della popolazione è il modello di Leslie, si veda [6, pp.354-356]. 1.2.4 Modello di crescita di Solow Si consideri un’economia chiusa dove ogni agente possiede una quantità k 0 di capitale al tempo t = 0. La quantità pro capite di capitale cambia al variare del tempo e si assume che la sua evoluzione dipenda dalla produzione pro capite f P (k), dal tasso di crescita della popolazione δ e dal consumo c(t), nel modo seguente: a tempi discreti, e k (t + 1) − k (t) = f P (k (t)) − δk (t) − c (t) ; k (0) = k 0 k ′ (t) = f P (k (t)) − δk (t) − c (t) ; k (0) = k 0
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