Equazioni differenziali - Istituto per le Applicazioni del Calcolo

2.2 Soluzioni: il caso a tempi continui 23
Osserviamo che qui richiediamo la differenziabilità della funzione x (·). È abbastanza
chiaro che soluzioni di (2.3), se esistono, in generale non sono uniche. Infatti
analogamente al caso a tempi discreti, la semplice EDO
x ′ (t) = 0,
∀t ∈ T
ha infinite soluzioni: le costanti. Sappiamo che questo è dovuto al fatto che non è
stata specificata la condizione iniziale. Allora il problema naturale che consideriamo
nei modelli applicati e che “caratterizza” esistenza ed unicità è di nuovo il PC come
(1.2). Enunciamo ora la definizione di soluzione per un problema di Cauchy nel caso
a tempi continui.
Definizione 2.2.2. Una funzione x : T → X è una soluzione globale classica del
PC-EDO { x ′ (t) = f (t, x (t)) ∀t ∈ T
(2.4)
x (t 0 ) = x 0 t 0 ∈ T, x 0 ∈ X
se è differenziabile in ogni t ∈ T e soddisfa (2.4).
Osservazione 2.2.3. Ogni soluzione del problema di Cauchy (2.4) è chiamata una
curva integrale dell’EDO.
Integrando, possiamo dare un’altra definizione di soluzione per (2.3) e per (2.4).
Definizione 2.2.4. Una funzione x : T → X è una soluzione globale debole di (2.4)
se la funzione
s → f (s, x (s))
è integrabile su [t 0 , t] per ogni t ∈ T (si veda e.g. [5, p.216] per la definizione di
integrabilità) in T e
∫ t
x (t) = x 0 + f (s, x (s)) ds,
t 0
∀t ∈ T. (2.5)
Similarmente x : T → X è una soluzione globale debole di (2.3) se esiste t 0 ∈ T e
x 0 ∈ X tale che (2.5) è verificata (equivalentemente se
∫
x (·) ∈ f (s, x (s)) ds,
ricordando che l’integrale indefinito di una funzione è l’insieme di tutte le primitive).
Esempio 2.2.5. Caso in cui esiste una soluzione globale debole che non è una
soluzione globale classica. Sia
⎧
⎨ 1
h (t) = t − 1 , t ≠ 1
⎩ 0, t = 1
{ x ′ (t) = h (t) x (t) , ∀t ≥ 0
x (0) = x 0
x 0 ∈ R