Equazioni differenziali - Istituto per le Applicazioni del Calcolo

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26 Esistenza ed unicità delle soluzioni f è localmente Lipschitziana nella variabile x, uniformemente rispetto a t se per ogni (t 0 , x 0 ) ∈ A × X esiste un intorno di (t 0 , x 0 ), che chiamiamo I (t 0 , x 0 ) dove f è Lipschitziana in x, uniformemente rispetto a t. Teorema 2.2.13 (Cauchy, Lipschitz, Picard). Sia f : T × X → R n , let (t 0 , x 0 ) ∈ T ×X. Se esiste un intorno di (t 0 , x 0 ), che chiamiamo I (t 0 , x 0 ) ⊆ T ×X tale che, su I, f è Lipschitziana in x, uniformemente rispetto a t, allora esiste un’unica soluzione locale x di (2.4). Se prendiamo I ( t + 0 , x 0) o I ( t − 0 , x 0 ) allora abbiamo solo soluzioni locali uniche a destra o a sinistra. Dimostrazione 2.2.14. Per la dimostrazione di questo risultato fondamentale, su consulti e.g. [5, pp.263-264]. Corollario 2.2.15. Sia f : T × X → R n , sia (t 0 , x 0 ) ∈ T × X. Se esiste un intorno di (t 0 , x 0 ), che chiamiamo I (t 0 , x 0 ) ⊆ T × X tale che, su I, ∂f esiste ed è continua, ∂x allora esiste un’unica soluzione locale x di (2.4). Corollario 2.2.16. Sia f : T × X → R n , e assumiamo che esista un insieme aperto X 0 ⊆ X tale che, ad ogni istante (t 0 , x 0 ) ∈ T ×X 0 la derivata parziale ∂f esiste ed è ∂x continua. Allora per ogni (t 0 , x 0 ) ∈ T × X 0 esiste un’unica soluzione locale x di (2.4) con l’accordo che se t 0 è sul bordo di T, la soluzione è solo a destra o a sinistra. In molti esempi, l’insieme X 0 sarà scelto il più grande possibile, i.e. la parte interna di X denotata da IntX. Osservazione 2.2.17. Un diretta e fondamentale conseguenza del corollario 2.2.16 è che, sulla regione T × X 0 le curve integrali non si incrociano. È sufficiente argomentarlo per contraddizione. Se due curve integrali si incrociano in un dato (t 0 , x 0 ) ∈ T × X 0 , allora questo vorrebbe dire che esistono due soluzioni che escono da questo punto. Questo però non può succedere in virtù del teorema di unicità. 2.2.2 Esistenza ed unicità globale In generale siamo interessati all’esistenza ed all’unicità globale. Nel caso a tempi continui, le otteniamo però molto difficilmente, anche se la funzione f ha un buon anadamento come visto sopra. Vediamo ora alcune condizioni che garantiscono esistenza ed unicità globale. Da adesso in poi assumiamo in questa sezione che le ipotesi del Corollario 2.2.16 sopra sono soddisfatte, i.e. f : T × X → R n , ed esiste un insieme aperto X 0 ⊆ X tale che, ad ogni (t 0 , x 0 ) ∈ T × X 0 , ∂f esiste ed è continua. In questo caso per ogni ∂x (t 0 , x 0 ) ∈ T × X 0 esiste un’unica soluzione locale x (·; t 0 , x 0 ) di (2.4). Prendiamo ora tale soluzione. Sarà sicuramente definita su un certo intervallo [t 0 − δ, t 0 + δ]. Possiamo quindi considerare un nuovo problema di cauchy (cercando una soluzione y) con la stessa EDO e condizione iniziale all’istante t 0 + δ uguale a x (t 0 + δ). { y ′ (t) = f (t, y (t)) ∀t ∈ T y (t 0 + δ) = x (t 0 + δ) .
2.2 Soluzioni: il caso a tempi continui 27 Se (t 0 + δ, x (t 0 + δ)) ∈ T × X 0 and t 0 + δ non è l’ultimo punto di T allora di nuovo abbiamo un’unica soluzione locale y. Tale soluzione è detta prolungamento a destra della soluzione locale x. In maniera simile, si può definire un prolungamento a sinistra. Definizione 2.2.18 (Soluzione massimale). Chiamiamo T max = sup {t > t 0 | la soluzione locale di (2.4) ammette un prolungamento a destra} . In maniera simile, si può definire T min . La soluzione prolungata può allora essere definita su (T min , T max ) che è chiamato intervallo massimale di esistenza. Questa soluzione prolungata sarà chiamata la soluzione massimale del problema di Cauchy (2.4). Naturalemnte se T ⊆ (T min , T max ) allora la soluzione locale è globale. Abbiamo i seguenti risultati molto importanti. Teorema 2.2.19. Se X = R n e f o ∂f ∂x sono limitate sulla striscia T × Rn , allora esiste un’unica soluzione globale di (2.4). Teorema 2.2.20. Se x (t) = x (t; t 0 , x 0 ) è la soluzione locale di (2.4) e x (t) è limitata per ogni t tale che x (t) esiste, allora la soluzione locale può essere prolungata ad una globale. Osservazione 2.2.21. Punti speciali sono i punti dove f (t, x 0 ) = 0 per ogni t ∈ T. Se il sistema parte da questi punti, allora esiste sempre una soluzione costante x (t, x 0 ) = x 0 per ogni t ∈ T (che è unica se e.g. vale Corollario 2.2.15). Questi punti sono chiamati punti di equilibrio. Anche se non esistono soluzioni globali che partono da altri punti, sicuramente esisteranno soluzioni globali che partono dai punti di equilibrio.
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