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34 2. PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI OLOMORFE 4. La proprietà di Cauchy come caratterizzazione dell’olomorfia Ora possiamo ripercorrere la teoria fin qui costruita. Partiamo da una funzione f olomorfa: il Teorema di Goursat implica la continuità di f ′ , pertanto possiamo utilizzare la formula di Gauss-Green che ci permette di dimostrare il Teorema integrale di Cauchy, da cui a sua volta si ottiene la Formula integrale di Cauchy per le derivate e dunque il Teorema di Goursat stesso. Sembra la storia del serpente che si mangia la coda... ecco perché è importante che siamo in grado di dimostrare il Teorema integrale di Cauchy senza utilizzare l’ipotesi che f sia C 1 . Il percorso logicamente corretto è: vale il Teorema integrale di Cauchy per poligoni (indipendentemente dalla regolarità di f ′ ), da cui si ricava la Formula integrale di Cauchy per le derivate e infine il Teorema di Goursat. Il Teorema integrale di Cauchy rappresenta una proprietà talmente insita nel concetto stesso di olomorfia che può essere interpretato come una condizione necessaria e sufficiente. Questo è, in sostanza, il contenuto del seguente teorema, dovuto a Morera Vale infatti Teorema 2.13 (Teorema di Morera). Siano A un sottoinsieme aperto di C ed f : A → C una funzione continua tale che ∫ f(z)dz = 0 Γ per ogni curva Γ regolare semplice e chiusa contenuta in A. Allora f è olomorfa in A. Dim. Fissiamo ad arbitrio un punto z o e veridichiamo che f è olomorfa in z o . A tal scopo, cominciamo con l’osservare che l’integrale di f lungo un qualunque camino generalmente regolare dipende solo dai punti di partenza e di arrivo. Se, infatti, Γ 1 e
4. CARATTERIZZAZIONE DELL’OLOMORFIA 35 Γ 2 sono due archi che partono da uno stesso punto z 1 e finiscono in uno stesso punto z 2 , poniamo Γ la curva chiusa che percorre prima Γ 1 e poi Γ 2 in senso inverso. Per ipotesi abbiamo ∫ Γ f(z)dz = 0. D’altra parte, per costruzione, si ha ∫ ∫ ∫ f(z)dz = f(z)dz − f(z)dz. Γ Γ 1 Γ 2 Dunque effettivamente ∫ ∫ f(z)dz = f(z)dz Γ 1 Γ 2 Ciò ci autorizza ad assegnare la funzione primitiva F : A → C, F (z) = ∫ z z o f(ζ)dζ. Verifichiamo che F è olomorfa con F ′ = f, ovvero che lim ∆z→0 F (z + ∆z) − F (z) ∣ ∆z − f(z) ∣ = 0.
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