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48 3. FUNZIONI MEROMORFE: SINGOLARITÀ E RESIDUI
† singolarità eliminabile (o apparente) se esiste il lim
z→zo
f(z) ∈
C.
† polo se esiste il lim
z→zo
|f(z)| = +∞,
† singolarità essenziale altrimenti, cioè se non esiste il
lim
z→z o
|f(z)|.
Diciamo infine che una funzione f è meromorfa su A se è
olomorfa in tutti i punti A, escluso al più un numero finito dove
ha delle singolarità di tipo polare.
Passiamo poi a classificare le singolarità mediante i coefficienti
della serie di Lauent. Lasciamo al lettore come esercizio
la dimostrazione del seguennte risultato.
Proposizione 3.7. Sia f una funzione olomorfa su A\{z o },
e indichiamo il suo sviluppo di Laurent come in 3.3. Le seguenti
affermazioni sono equivalenti:
i) z o è una singolarità eliminabile,
ii) a k = 0 per ogni k < 0, cioè
f(z) = ∑ k≥0
a k (z − z o ) k ,
iii) f è olomorfa su A 1 ,
iv) f è limitata in un intorno di z o .
Per quel che riguarda i poli, abbiamo invece che:
Proposizione 3.8. Sia f una funzione olomorfa su A\{z o },
e indichiamo il suo sviluppo di Laurent come in 3.3. Le seguenti
affermazioni sono equivalenti:
1 In questo caso, sottointendiamo che f sia definita in z o come
f(z o ) = lim
z→z o
f(z).