file pdf - Istituto per le Applicazioni del Calcolo

50 3. FUNZIONI MEROMORFE: SINGOLARITÀ E RESIDUI
dove
ϕ(z) = a −p + a −p+1 (z − z o ) + · · ·
è a una funzione olomorfa, con ϕ(z o ) ≠ 0.
Per esclusione, arriviamo alla seguente caratterizzazione delle
singolarità essenziali.
Proposizione 3.10. Sia f una funzione olomorfa su A \
{z o }, e indichiamo il suo sviluppo di Laurent come in 3.3. Le
seguenti affermazioni sono equivalenti:
i) z o è una singolarità essenziale,
ii) a k ≠ 0 per un numero infinito di indici negativi k < 0,
iii) comunque scelto un intero p, la funzione f(z) (z − z o ) p ha
ancora una singolarità essenziale in z o .
Enunciamo infine, senza dimostrazione, un risultato “sorprendente”.
Teorema 3.11 (Teorema di Casorati Weierstrass). z o è una
singolarità essenziale se, e solo se, per ogni disco D r centrato
in z o , l’immagine attraverso f di D r \ {z o } è densa nel piano
complesso.
Ciò significa che, comunque scegliamo un numero complesso
λ, un margine d’errore ε ed un limite di tolleranza δ, riusciamo
a trovare un valore di z che dista da z o al più δ e tale che f(z)
dista da λ al più ε.
Esercizio 1.7. Verificare che
1) sin z ha una singolarità eliminabile in z = 0,
z
2) sinz ha un polo di ordine 1 in z = −1,
z + 1
1
3) ha un polo in z = 0,
sin z