file pdf - Istituto per le Applicazioni del Calcolo

è olomorfa su A e vale
3. FORMULE INTEGRALI DI CAUCHY 29
F ′ (z) = f(z).
3. Formule integrali di Cauchy
Vediamo ora una conseguenza alquanto profonda del
Teorema integrale di Cauchy.
Teorema 2.9 (Formula integrale di Cauchy). Siano D un
dominio regolare e limitato e f : D → C una funzione continua
sulla chiusura di D ed olomorfa nell’interno di D. Allora,
comunque scelto un punto z nell’interno di D, vale la formula
(2.6) f(z) = 1
2πi
∫
∂ + D
f(ζ)
ζ − z dζ.
Dim. Fissiamo ad arbitrio un punto z o ∈ D e costruiamo la
funzione ausiliaria
ϕ(z) = f(z)
z − z o
.
Per calcolare l’integrale di ϕ sulla frontiera di D, consideriamo
un disco D r centrato in z o di raggio r, e scegliamo r abbastanza
piccolo in modo che tale disco sia contenuto nell’interno di D.
Consideriamo ora il dominio
D ′ = D \ D r .
D ′ è un dominio regolare la cui frontiera orientata in modo standard
è data da ∂ + D ′ = ∂ + D ∪ ∂ − D r . Poiché ϕ è olomorfa nell’interno
di D ′ e continua fin sulla chiusura, possiamo applicare
il Teorema integrale di Cauchy, che afferma
∫
0 =
∂ + D ′
f(z)
z − z o
dz =
∫
∂ + D
f(z)
z − z o
dz +
∫
∂ − D r
f(z)
z − z o
dz.