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3. FORMULE INTEGRALI DI CAUCHY 33
z + h appartiene al disco D r che è esterno a Γ. Concludendo
∫
∣
Γ
∣ ∫
f(ζ) h ∣∣∣
(ζ − z − h)(ζ − z) dζ ≤
2
∫
≤
Γ
Γ
∣ f(ζ) h ∣∣∣
∣
dζ
(ζ − z − h)(ζ − z) 2
m |h|
(R − r)R dζ = m |h|
lungh (Γ),
2 (R − r)R2 da cui discende immediatamente la (2.11) e dunque la tesi.
□
Dim. del Teorema 2.10. Introduciamo la notazione
F (z) = 1 ∫
f(ζ)
2πi ζ − z dζ.
∂ + D
La formula integrale di Cauchy asserisce che F coincide con la
funzione di partenza f, che sappiamo essere olomorfa. Pertanto
possiamo applicare il Lemma di erivazione sotto il segno di integrale,
che ci dà esattamente la nostra tesi.
□
Osserviamo esplicitamente che la Formula integrale di Cauchy per le derivate
asserisce, in particolare, che la derivata di una funzione olomorfa
è a sua volta olomorfa. Questa proprietà ha interesse in sè, tanto
che viene isolata in un teorema a sé stante, attribuito a Goursat.
Teorema 2.12 (Teorema di Goursat). Siano A un sottoinsieme
aperto di C e f : A → C una funzione olomorfa. Allora
anche f ′ è olomorfa su A.
Il Teorema integrale di Cauchy rappresenta una proprietà talmente
insita nel concetto stesso di olomorfia che può essere interpretato
come una condizione necessaria e sufficiente. Questo
concetto sarà trattato nella prossima sezione.