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46 3. FUNZIONI MEROMORFE: SINGOLARITÀ E RESIDUI studiare le funzioni olomorfe su corone circolari. Introduciamo una notazione per le corone circolari: se z o è un numero complesso e r < R sono due numeri positivi, indichiamo la corona circolare centrata in z o di raggio interno r e raggio esterno R con C rR (z o ) = {z ∈ C : r < |z − z o | < R}. Se, poi, il raggio interno r è uguale a zero, con la scrittura C 0R (z o ) intendiamo il disco di raggio R centrato in z o , privato del suo centro (cioè di z o stesso). ∂D R (z o) z o ∂D ρ(z o) Teorema 3.5 (Teorema di Laurent). Siano 0 ≤ r < R e f : C rR (z o ) → C una funzione olomorfa. Allora esiste un’unica serie del tipo +∞∑ a k (z − z o ) k k=−∞ che converge a f puntualmente assolutamente sulla corona circolare C rR (z o ) ed uniformemente sui compatti ivi contenuti. Inoltre
2. SERIE DI LAURENT E SINGOLARITÀ 47 l’espressione esplicita dei coefficienti è data da (3.2) a k = 1 ∫ f(z) dz, 2πi (z − z o ) k+1 ∂ + D ρ dove ∂ + D ρ indica una circonferenza (orientata in modo standard) di raggio ρ centrata in z o contenuta nella corona circolare (ovvero con ρ compreso fra r e R). Lo sviluppo in serie (3.3) f(z) = k=0 +∞∑ k=−∞ } {{ } parte analitica a k (z − z o ) k è noto come sviluppo in serie di Laurent. Osserviamo che possiamo decomporre la serie di Laurent in +∞∑ ∞∑ f(z) = a k (z − z o ) k 1 + a −k . (z − z o ) k k=1 } {{ } parte singolare Osservazione 3.6. Se, inoltre, f è olomorfa su tutto il cerchio D R (z o ), la parte singolare dello sviluppo di Laurent scompare, cioè la serie di Laurent si riduce a quella di Taylor. Infatti, per k ≤ −1, la funzione f(z)/(z −z o ) k+1 è olomorfa su D R (z o ), come conseguenza della “regola della catena” (1.6). Segue allora dal Teorema integrale di Cauchy che il suo integrale lungo il cammino chiuso regolare ∂ + D ρ (z o ) è nullo, ovvero che il coefficiente a k - dato da (3.2) - è uguale a zero. Passiamo ora allo studio delle singolarità. Definizione 3.2. Siano A un sottoinsieme aperto di C, z o un punto di A, e f una funzione f : A \ {z o } → C. Diciamo che z o è un punto di singolarità isolata per f se la funzione f é olomorfa su A \ {z o }. Classifichiamo poi le singolarità come segue:
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