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12 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ
In tal caso, il valore di tale limite (che sarà un numero reale) si
dice derivata parziale rispetto a x di u in (x o , y o ) e si indica con
∂u
∂x (x o, y o ) o ∂ x u(x o , y o ) o u x (x o , y o ).
x
y
x
y
Figura 1. A sinistra, abbiamo disegnato in verde
la curva u(x, 0) e in blu la rispettiva retta tangente.
A destra, in verde è la curva u(0, y) e in blu la
rispettiva retta tangente.
In modo del tutto simile, diremo che u ammette derivata parziale
rispetto a y in (x o , y o ) se esiste, finito, il limite del rapporto
incrementale nella direzione delle y:
u(x o , y) − u(x o , y o )
lim
.
y→x o y − y o
In tal caso, il valore di tale limite (che sarà un numero reale) si
dice derivata parziale rispetto a y di u in (x o , y o ) e si indica con
∂u
∂y (x o, y o ) o ∂ y u(x o , y o ) o u y (x o , y o ).
Diciamo poi che u è differenziabile in (x o , y o ) se
(i) u ammette derivate parziali rispetto a x e y in (x o , y o ),
(ii) vale la relazione