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3. FORMULE INTEGRALI DI CAUCHY 31
Pertanto
∣∣∣∣ ∫
∂ + D r
∫
f(z)
2π
dz − 2πif(z o )
z − z o
∣ ≤ εdθ = 2πε.
Riassumendo, abbiamo verificato la definizione di (2.7).
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Un’importantissima conseguenza della formula integrale di Cauchy
è che le funzioni olomorfe ammettono derivate di ogni ordine.
Inoltre, vale una formula di rappresentazione integrale anche per
le derivate.
Teorema 2.10 (Formula integrale di Cauchy per le derivate).
Siano D un dominio regolare e limitato e f : D → C una funzione
continua sulla chiusura di D ed olomorfa nell’interno di D.
Allora f è derivabile infinite volte in ogni punto z ∈ D. Inoltre
vale la formula
(2.8) f (k) (z) = 1
2πi
per ogni intero k.
∫
∂ + D
f(ζ)
(ζ − z) k dζ,
Premettiamo alla dimostrazione del teorema un lemma.
Lemma 2.11 (Derivazione sotto il segno di integrale). Siano
Γ una curva semplice generalmente regolare e f : Γ → C una
funzione continua. Indichiamo con Ω l’insieme C Γ e con F
la funzione
F : Ω → C, F (z) = 1 ∫
2π Γ
f(ζ)
ζ − z dζ.
Supponiamo poi che F sia olomorfa su Ω. Allora F ammette
derivate di qualunque ordine, che saranno a loro volta funzioni
olomorfe. Inoltre, la derivata di ordine k si può rappresentare