Caso n > 1: ricerca punti di equilibrio, stabilità e studi qualitativi nel ...

Caso n > 1: ricerca punti di equilibrio, stabilità e studi qualitativi nel caso non lineare
Corso di Metodi Matematici per le Scienze Economiche e Finanziarie
Prof. Fausto Gozzi
Siano T = R e X = Y = R
Es. 1 Calcolare i punti di equilibrio dei seguenti sistemi non lineari, studiarne la stabilità e la natura:
a)
{ x ′ (t) = x(t) + y 2 (t) − 2
y ′ (t) = x(t) + y(t);
b)
{ x ′ (t) = −x(t) + x 2 (t)
y ′ (t) = 2 − 2y(t).
Es. 2 Studiare la stabilità e la natura del punto di equilibrio (x ∗ , y ∗ ) = (0, 0) del sistema
e del punto (¯x, ȳ) = (1, 0) del sistema
{
x ′ (t) = e y(t)−x2 (t) − 1
y ′ (t) = 2x(t) − y 2 (t),
{ x ′ (t) = 2(x(t) − 1) 2 − y(t)
y ′ (t) = −2x(t) − y 2 (t) + 2.
Es. 3 Dato il sistema {
x ′ (t) = 2x(t) − sin y(t) + e 2y(t) − 1
y ′ (t) = x(t),
mostrare che l'origine è un punto di equilibrio, e studiarne la stabilità e la natura.
Es. 4 Si considerino i seguenti sistemi di equazioni dierenziali non lineari:
a)
{ x ′ (t) = x(t)(x(t) − y(t) − 2)
y ′ (t) = x(t) − y 2 (t);
b)
{ x ′ (t) = −2x(t) + 2y 2 (t)
y ′ (t) = x 2 (t) − y(t).
• Calcolare i punti di equilibrio, studiarne la stabilità e la natura quando possibile.
• Scrivere le equazioni delle isocline a tangente orizzontale e a tangente verticale e disegnarne il graco.
• Tracciare il ritratto di fase.
Es. 5 Dato il sistema non lineare
{ x ′ (t) = y(t) − x(t)
y ′ (t) = x 2 (t) + y(t) − 2,
• determinare i pinti di equilibrio, studiarne la stabilità e la natura;
• scrivere le equazioni delle isocline a tangente orizzontale e a tangente verticale e disegnarne il graco;
• disegnare qualitativamente le curve integrali nel primo quadrante.

Siano T = N e X = Y = R + .
Es. 6 (Modello di Lotka-Volterra discreto). Si consideri la seguente versione discreta del modello preda-predatore
{ x(t + 1) = (1 + a)x(t) − x(t)y(t) − x 2 (t)
y ′ (t) = 1 2y(t) + x(t)y(t),
dove x(t), y(t) rappresentano il numero di prede e predatori al tempo t e a ∈ R + .
• Determinare i punti di equilibrio e studiarne la stabilità nel caso a = 1.
• Determinare i punti di equilibrio al variare di a ∈ R + e stabilire per quali valori di a si ha stabilità
asintotica.