Tutorato di Analisi 3 - Dipartimento di Matematica

( √1
3. F (x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ) = + x1 − 1 − e −y1 + cos y 2 , log(cosh x 1 ) − sin(x 1x 2 )
1 + x 2 1 + y1
2 + arctan y 2
).
(a) F è di classe C 1 in
(
un intorno dell’origine, inoltre
)∣ F (0, 0, 0, 0) = (0, 0)
e ∂F
∂y (0, 0, 0, 0) = e −y1 − sin y 2
2y 1 sin(x 1x 2) 1
=
(1+y1) 2 2 1+y2
∣∣∣∣(x1,x 2
( )
( ) 2,y 1,y 2)=(0,0,0,0)
−1 ( )
1 0
∂F
1 0
= è invertibile (con T =
0 1
∂y (0, 0, 0, 0) = ),
0 1
dunque per il teorema della funzione implicita ∃ r, ρ > 0 e g ∈
∈ C 1 (B r ((0, 0)), B ρ ((0, 0))) tale che F (x 1 , x 2 , g 1 (x), g 2 (x)) ≡ 0 ∀x ∈ B r ((0, 0)).
(b) Supponendo r ≤ 1 2 e ρ ≤ 1 si ha che ‖F (x 1, x 2 , 0, 0)‖ =
√ (√1
= + x1 − 1 ) 2
+ (log(cosh x 1 ) − sin(x 1 x 2 ))
1 + x 2 =
√ 2
(√1
= + x1 − 1 + 1 − 1 ) 2
+ (log(1 + (cosh(x 1 ) − 1)) − sin(x 1 x 2 ))
1 + x 2 ≤
√ 2
(∣∣
√
≤ 1 + x1 − 1 ∣ +
∣ 1 − 1 ∣) ∣∣∣ 2
+ (|log(1 + (cosh(x 1 ) − 1))| + |sin(x 1 x 2 )|)
1 + x 2
2 (∣ ∣∣∣∣ (√
≤
√ 1 + x1 − 1 ) (√ 1 + x 1 + 1 )
∣ ∣) 2 ∣∣∣
√ 1 + x1 + 1 ∣ + x 2 ∣∣∣
+ (2| cosh(x 1 ) − 1| + |x 1 x 2 |) 2 ≤
1 + x 2
√ (
|x 1 |
≤ √ 1 + x1 + 1 + |x ) 2 (
2|
+ e
1 − 1 + 2 |ex1 −x1 − 2|
+ x2 1 + ) 2 x2 2
≤
2
2
√
2
(
) 2
√
(
≤ (|x 1 | + 2|x 2 |) 2 + |e x1 − 1| + |e −x1 − 1| + r2
≤ (3r) 2 + 6|x 1 | + r 2
≤
2
2)
√
(
≤ 9r 2 + 6r + r )
√
2 36
=
2 4 r2 + 169
√
205
4 r2 = r ≤ 15 r, dunque per
2 2
avere sup ‖F (x 1 , x 2 , 0, 0)‖ ≤ 15
x∈B r(0,0)
2 r ≤ ρ 4 = ρ
≤
ρ
4‖T ‖ ∞ 2‖T ‖ è sufficiente
prendere ρ = r
30 ; inoltre, I 2 − T ∂F
∂y (x 1, x 2 , y 1 , y 2 ) =
( 1 − e
−y 1
)
sin y 2
= 2y1 sin(x1x2)
− 1 − 1 , dunque essendo ∣ ∣
∣1 − e −y1 ≤ 3|y 1 | ≤
(1+y1) 2 2 1+y2
2 ∣ ≤ 3ρ, | sin(y 2 )| ≤ |y 2 | ≤ ρ,
∣ −2y 1 sin(x 1 x 2 ) ∣∣∣∣
≤ 2|y 1 || sin(x 1 x 2 )| ≤
(1 + y1 2)2 ≤ 2ρ|x 1 x 2 | ≤ 2ρ x2 1 + x 2 2
≤ ρr 2 ≤ ρr ≤ ρ2
2
30 ≤ ρ ∣ ∣∣∣
30 e 1 − 1
1 + y2
2 ∣ =
= y2 2
1 + y 2 2
≤ y2 2 ≤ ρ 2 ≤ ρ, allora per avere
sup
∥ I 2 − T ∂F
∂y (x 1, x 2 , y 1 , y 2 )
∥ ≤
sup
∥ I 2 − T ∂F
∂y (x 1, x 2 , y 1 , y 2 )
∥ ≤ 6ρ ≤
∞
(x 1,x 2,y 1,y 2)∈B r((0,0))×B ρ((0,0))
≤ 2
(x 1,x 2,y 1,y 2)∈B r((0,0))×B ρ((0,0))