Tutorato di Analisi 3 - Dipartimento di Matematica

≤ 1 1
è sufficiente prendere ρ =
2 12 , e di conseguenza r = ρ 30 = 1
360 .
(c) Essendo √ 1 + x 1 − 1
− e −g1(x1,x2) + cos(g 2 (x 1 , x 2 )) ≡ 0 ∀x ∈ B r ((0, 0)),
1 + x 2 d ( √1
+ x1 − 1 − e −g1(x1,x2) + cos(g 2 (x 1 , x 2 )))∣
=
dx 1 1 + x 2
∣∣∣(x1,x 2)=(0,0)
allora 0 =
(
1
=
2 √ + ∂g 1
(x 1 , x 2 )e −g1(x1,x2) − ∂g 2
(x 1 , x 2 ) sin(g 1 (x 1 , x 2 )))∣
=
1 + x 1 ∂x 1 ∂x 2
∣∣∣(x1,x 2)=(0,0)
= 1 2 + ∂g 1
(0, 0) ⇒ ∂g 1
(0, 0) = − 1 ∂x 1 ∂x 1 2 e 0 = d ( √1
+ x1 − 1 −
dx 2 1 + x 2
)∣ (
−e −g1(x1,x2) 1
+ cos(g 2 (x 1 , x 2 ))
=
∣∣(x1,x 2)=(0,0) (1 + x 2 ) 2 +
+ ∂g 1
(x 1 , x 2 )e −g1(x1,x2) − ∂g 2
(x 1 , x 2 ) sin(g 1 (x 1 , x 2 )))∣
=
∂x 2 ∂x 2
∣∣∣(x1,x 2)=(0,0)
= 1 + ∂g 2
(0, 0) ⇒ ∂g 2
(0, 0) = −1, analogamente log(cosh x 1 )−
∂x 2 ∂x 2
− sin(x 1x 2 )
1 + g1 2(x 1, x 2 ) + arctan(g 2(x 1 , x 2 )) ≡ 0 ∀x ∈ B r ((0, 0)), dunque 0 =
= d (
log(cosh x 1 ) − sin(x 1x 2 )
dx 1 1 + g1 2(x 1, x 2 ) + arctan(g 2(x 1 , x 2 )))∣
=
(
∣∣∣(x1,x 2)=(0,0)
= tanh x 1 − −2g 1(x 1 , x 2 ) ∂g1
∂x 1
(x 1 , x 2 ) sin(x 1 x 2 ) + ( 1 + g1(x 2 1 , x 2 ) ) (x 2 cos(x 1 x 2 ))
(1 + g1 2(x 1, x 2 )) 2 +
)∣
∂g 2
∂x
+ 1
(x 1 , x 2 )
1 + g2 2(x =
1, x 2 )
∣∣∣∣(x1,x ∂g 2
(0, 0) ⇒ ∂g 2
(0, 0) = 0 e 0 =
∂x 1 ∂x 1
2)=(0,0)
= d (
log(cosh x 1 ) − sin(x 1x 2 )
dx 2 1 + g1 2(x 1, x 2 ) + arctan(g 2(x 1 , x 2 )))∣
=
(
∣∣∣(x1,x 2)=(0,0)
= − −2g 1(x 1 , x 2 ) ∂g1
∂x 2
(x 1 , x 2 ) sin(x 1 x 2 ) + ( 1 + g1(x 2 1 , x 2 ) ) (x 1 cos(x 1 x 2 ))
(1 + g1 2(x 1, x 2 )) 2 +
)∣
∂g 2
∂x
+ 2
(x 1 , x 2 )
1 + g2 2(x =
1, x 2 )
∣∣∣∣(x1,x ∂g 2
(0, 0) ⇒ ∂g 2
(0, 0) = 0; quindi,
∂x 2 ∂x 2
〈( 2)=(0,0)
∂g1
g 1 (x 1 , x 2 ) = g 1 (0, 0) + (0, 0), ∂g ) 〉
1
(0, 0) , (x 1 , x 2 ) +
∂x 1 ∂x
(√ )
2
+o x 2 1 + x2 2 = − x (√ )
1
2 − x 2 + o x 2 1 + x2 2 e g 2 (x 1 , x 2 ) = g 2 (0, 0)+
〈( ∂g2
+ (0, 0), ∂g ) 〉 (√ ) (√ )
2
(0, 0) , (x 1 , x 2 ) + o x 2 1
∂x 1 ∂x + x2 2 = o x 2 1 + x2 2
2
(
)
4. F (x, y) = sin(xy) + x cos y, e x+y 1
−
1 + x 2 + y 2 .
(a) F è di classe C 1 ( in un intorno dell’origine con F (0, 0) = (0,)∣ 0), inoltre
∂F
y cos(xy) + cos y x cos(xy) − x sin y ∣∣∣∣(x,y)=(0,0)
∂(x, y) (0, 0) = e x+y 2x
−
e x+y 2y
=
−
(1+x 2+y 2) 2
(1+x 2 +y 2 ) 2
( )
( ) −1 ( )
1 0
∂F
1 0
= è invertibile (con T =
1 1
∂(x, y) (0, 0) =
),
−1 1