Tutorato di Analisi 3 - Dipartimento di Matematica

+y 2 + z 2 ≤ 1, z = 0 } , f(x n , y n , z n ) n→+∞
→ −∞, dunque l’estremo superiore
non sarà raggiunto sul bordo ( inferiore E 1 di E e perciò sarà un
massimo; inoltre, ∇f(x, y, z) = 2xy 2 , 2x 2 y, 1 )
≠ (0, 0, 0) ∀(x, y, z) ∈
z
E, quindi questo massimo non sarà raggiunto all’interno di E e
dunque verrà necessariamente realizzato sul suo bordo superiore E 2 =
= { (x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z > 0 } : per il teorema dei moltiplicatori
di Lagrange, le coordinate dei ⎧punti in cui viene raggiunto
2xy 2 = 2λx
⎪⎨ 2x 2 y = 2λy
1
il massimo sono soluzioni del sistema
z = 2λz ⇐⇒
x ⎪⎩
2 + y 2 + z 2 = 1
⎧
z > 0
2x ( y 2 − λ ) ⎧
= 0
⎪⎨ 2y ( x 2 − λ ) x ( )
y 2 − 1
2z = 0
= 0 ⎪⎨
2 y ( )
x 2 − 1
⇐⇒ λ = 1
2z = 0
2
2z
⇐⇒ λ = 1
2
x ⎪⎩
2 + y 2 + z 2 2z
; se fosse y 2 =
2
= 1 x ⎪⎩
2 + y 2 + z 2 = 1
z > 0
z > 0
= 1
2z 2 , allora avrei x2 = 1
2z 2 , perché y ≠ 0, dunque 1 = x2 + y 2 + z 2 =
= 1
2z 2 + 1
2z 2 + z2 = z4 + 1
z 2 ⇐⇒ 0 = z 4 − z 2 + 1 = ( z 2 − 1 ) 2
+ z 2 , che
è assurdo, dunque dev’essere x = 0 ⇒
⇒ − y
2z
2
= 0 ⇒ y = 0 ⇒ z = 1, quindi sup
6. γ(t) = ( cos 3 t, sin 3 t ) per t ∈ [0, π]
E
f = max f = f(0, 0, 1) = 0
E
(a) ‖ ˙γ(t)‖ = ∥ ( 3 sin t cos 2 t, 3 sin 2 t cos t )∥ ∥ = 3| sin t|| cos t|‖(cos t, sin t)‖ =
√
= 3| sin t|| cos t| cos 2 t + sin 2 t = 3| sin t|| cos t| = 0 se t = π 2 , dunque
γ non ( è regolare; tuttavia, è regolare a tratti perché ‖ ˙γ(t)‖ ≠ 0 ∀t ∈
∈ 0, π ) ( π
)
∪
2 2 , π ∫ π
∫ π
∫ π
2
(b) l(γ) = ‖ ˙γ(t)‖dt = 3| sin t|| cos t|dt = 3 sin t cos t+
0
0
0
∫ π
[ sin 2 ]
t
π [ ]
2
π
+3 − sin t cos t = 3 + 3 − sin2 t
= 3
π
2
2
0
2 π 2 + 3 2 = 3.
2
∫
√
∫ π √
∫ π
3
(c) |xy|dl =
3
|x(t)y(t)|‖ ˙γ(t)‖dt = | cos t sin t|3| sin t|| cos t| =
γ
0
0
∫ π
(2 cos t sin t) 2 ∫ π
sin 2 ∫
(2t) π
[
1 − cos(4t) t
= 3
dt = 3
dt =
dt = 3
0 4
0 4
0 8
8 −
] π
sin(4t)
= 3 32
0
8 π.
7. x n (k) = 1 + arctan ( )
k
n 2
k 2
Ponendo x(k) = 1 k 2 , si ha che x n
n→+∞
→ x in l 2 , perché ‖x n − x‖ 2 2 =