corso di fisica della materia condensata 2 - i semiconduttori

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e quindi la buca si comporta come una particella di carica +e.
LA DENSITA’ DEI PORTATORI IN UN SEMICONDUTTORE INTRINSECO
In un semiconduttore intrinseco, cioè privo di impurezze, il numero p di lacune/cm 3 in BV è
evidentemente uguale a quello n di elettroni in BC:
p = n
Per calcolare n si può integrare dal fondo di BC - che si trova all’energia della gap " g
- a
prodotto della probabilità di occupazione ! di Fermi-Dirac
1
f (") =
1+ exp[(" # µ)/k B
T]
!
!
" il
!
!
!
!
!
!
!
per la densità degli stati (per unità di volume del campione)
g(") = dN
d" = 1 $ *
2m e
&
2# 2 % ! 2
'
)
(
3
2
(" *"g )1
2
Si ottiene, per
#
1 & *
2m
n(T) = $ f (")g(")d" =
e
) 2 #
(" ," g
) 2
d"
" g
2% 2 (
' ! 2 + $
* exp[(" , µ) !/k B
T] =
" g
3
= 1 & *
2m e
) 2 3
2% 2 (
' ! 2 + exp(µ /kB T)- (k B
T) 2
exp(," g
/k B
T)
*
3
3
1
#
$
" g
&" ," g
)
( +
' k B
T *
= 1 & *
2m e
) 2 3 # 1
( + exp[(µ
2% 2 ' ! 2
2 2
,"g ) /k B
T]- (k B
T) $ x exp(,x)dx =
*
3
= 1 & 2m * e
k B
T ) 2
( + exp[(µ
2% 2 ' ! 2
,"g ) /k B
T]
*
0
3
(" # µ) /k B
T >>1
1
2
exp{,[(" ," g
) /k B
T]}d[(" ," g
) /k B
T] =
%
2 = 2 & m * ek B
T ) 2
( + exp[(µ
' 2%! 2 ,"g ) /k B
T] = N C
exp[(µ ," g
) /k B
T]
*
Qui, perciò, N C
ha il significato di una densità degli stati in banda di conduzione. La
concentrazione di buche p si ricava analogamente, considerando che però il fondo della banda si trova
a " = 0 e la probabilità di trovarvi uno stato occupato è
!
1
f "(#) =1$
1+ exp(# $ µ) /k B
T = 1
1+ exp(µ $#) /k B
T % exp(# $ µ)/k T B
Si ottiene infine
3
#
p(T) = 2 m * bk B
T & 2
% ( exp[)µ
$ 2"! 2 /kB T] = N V
exp[)µ /k B
T]
'
dove N V
ha il significato di una densità degli stati in banda di valenza.
Poiché, a ogni T, p(T) = n(T), uguagliando le due formule si ottiene
la dipendenza dalla temperatura del potenziale chimico: fig. 3
!