SVILUPPI DI TAYLOR E MACLAURIN / ESERCIZI PROPOSTI

2 M.GUIDA, S.ROLANDO
e x2 − cos x − 3 2
a) lim
x2
x→0 x 4 ..................................................................
11
24
e x − 1+log(1− x)
b) lim
...............................................................
− 1
x→0 tan x − x
2
log (1 + sin 2x)+1− √ 1+4x
c) lim
x→0 x 3 .....................................................
− 8 3
sin 2 x +2log(cosx)
d) lim
x→0 cosh (x 2 ................................................................[−1]
) − 1
8. Determinare ordine di infinitesimo e parte principale rispetto a 1 per x → +∞ delle seguenti
x
funzioni:
a) f (x) =e x 1 − e
sin x 1 ................................................................. 3,
1
6x
3
b) f (x) =e − 8 4
x 2 +cosh − 2.......................................................
x
128
4,
3x 4
9. Calcolare il seguente limite:
lim x − x 2 log 1+sin 1
x→+∞
x
............................................................................................. 1
2
10. Sia
f (x) =cos2x + x log (1 − 2x) .
a) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin di ordine 4 di f .... f (x) =1− 4x 2 − 2x 3 − 2x 4 + o x 4
b) Verificare che x 0 =0è punto critico per f, determinare le derivate di f fino all’ordine 4 in x 0
e stabilire la natura di x 0
..... f (0) = 0, f (0) = −8, f (0) = −12, f (4) (0) = −48, x 0 è punto di massimo relativo
f (x) − 1
c) Calcolare il limite lim
x→0 tan 2 ........................................................ [−4]
x
11. Sia
f (x) = 3√ sin x +sinh3x.
1+x
2
a) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin di ordine 3 di f................ f (x) =4x +4x 3 + o x 3
b) Trovare l’equazione della retta tangente al grafico di f in x 0 =0e stabilire se x 0 è punto di
flesso ...............................................[y =4x, x 0 è punto di flesso ascendente]
c) Determinare la parte principale di f rispetto a x per x → 0..............................[4x]
12. Sia
f (x) =3xe 5x2 +2sinx log (1 + 3x) − 3xe 2x .
a) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin di ordine 4 di f.................... f (x) =13x 4 + o x 4
b) Determinare la parte principale di f rispetto a x per x → 0 ........................... 13x 4
c) Calcolare f (0) ..........................................................................[0]
d) Stabilire la natura del punto critico x 0 =0................... [x 0 è punto di minimo relativo]
f (x)
e) Calcolare il limite lim
x→0 sinh 2 (5x 2 ) − x 4 +3x ...........................................
13
7 24
13. Scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine 3 delle seguenti funzioni nel punto base x 0 indicato:
a) f (x) =e sin x ,x 0 = π ...................... f (x) =1− (x − π)+ 1 2 (x − π)2 + o
(x − π) 3