II parte - Corso di Studi in Matematica

Numeri etecniche di calcolonella Terrafra i due fiumiLa terrafra i duefiumiLinea di costa nel III millennioArea di influenza delle primecittà stato sumere (IV-IIImillennio a. C.)Area di influenza degli Accadiall’epoca di Sargon I (2350 a. C.)Confini del regno di Hammurabi(1792-1750 a. C.)

Tavola cronologicaL’arte sumericanon ha come finela ricerca esteticadel bello, manasce comemanifestazionedello spiritoreligioso chepermea ognirealtà.StaticitàRipetizione“Stendardo di Ur” (metà III millennio a.C., BM)mosaico di conchiglie, lapislazzuli e calcare rosso che rappresenta scene di guerra

La statua di Gudea(Lagash, Mesopotamia, 2130 a.C.)Sulla tavoletta in grembo a Gudeaè incisa la rappresentazioneplanimetrica di un edificio.Posti a fianco del disegno vi sono unregolo graduato e un’asta arcuata,forse un compasso a corda.LouvreIn base alla ricostruzione del progetto di Gudea, a partire daldisegno e prendendo come riferimento la larghezza delle porte diaccesso valutata in due o tre metri, l’intero edificio avrebbe dovutoavere una lunghezza di circa 100 metri e una larghezza di 40.(Manzone, Navale 1988)

L’elemento architettonico più caratteristico dell’architetturamesopotamica è la Ziggurat, torre a terrazze.[1850] [1924]Ziggurat di Ur sulla cui sommità era costruito il tempio dedicato al diodella luna Nanna (L. Woolley)P. Bruegelil Vecchio (1563)La Ziggurat di Babilonia, laTorre di Babele, constava di 7terrazze.Era alta 90 metri e all’ultimopiano c’era la cella del DioMarduk.Torre di BabeleTavoletta (229 a. C) con la pianta e lemisure, Ricostruzione di Wiseman

Gilgamesh, V re della I dinastia di Uruk“Ercole sumerico”“I giorni dell’uomosono contati:qualunque cosa egli faccianon è altro che vento”L’epopea di Gilgamesh affronta igrandi temi dell’umanità:angoscia davanti alla morte,desiderio dell’immortalità e lavana ricerca della felicità.Gilgamesh, VIII sec a. C.Parigi, LouvreGilgamesh contro il toro celeste(sigillo cilindrico accadico)Fonti per la matematica mesopotamicacirca 300 tavolette di argilla scritte in caratteri cuneiformi risalenti atre periodi:3000-2100 a.C.Epoca paleobabilonese 1800-1595 a. C.Epoca Seleucide (304-141 a. C.)Tavole di calcoloTavole di problemiTavole di moltiplicazione, tavole diinversi, elenchi di misure conpassaggi da un’unità di ordineinferiore a una di ordine superiore eviceversa, tavole di potenze, tavole di radiciquadrate,ecc.con o senza soluzionericette di calcoloniente simbolismonessuna dimostrazione

I contributi decisivi allo studiodelle tavolette matematicherisalgono però solo agli anni1930-1960.Neugebauer, Thureau-Dangin,BruinsLettera di Pietro della Valle (1621),uno dei primi esempi di carattericuneiformi pervenuti in Europa.Roccia di Behistuncon iscrizione trilingueG.F. GrotefendH.C. RawlinsonJ. Oppert,F. Thureau-Dangincontribuirono alladecifrazione dellala scrittura cuneiforme(1802-1905)H.C. RawlinsonCaratteri delle matematiche mesopotamicheLa matematica non è intesa come un’attività speculativa astratta,ma un prodotto sociale generato dai bisogni di una società in continuaespansione. Nasce e si sviluppa nei templi come strumento perl’amministrazione della città (costruzione di edifici e canali,computo dei giorni necessari per condurre a termine un lavoro,divisione di eredità, calcolo di interessi, riscossione di imposte, …)I problemi hanno perlopiù una veste concreta e sono classificati aseconda del tipo di soluzione. Questo è dovuto alla funzione didatticadei testi e mostra una certa consapevolezza della generalità, anche senon c’è alcuna esigenza dimostrativa.sistema di numerazione sessagesimale posizionale“calcolo algebrico”: soluzione di problemi riconducibili a equazionidi 1° e 2° grado, particolari equazioni di grado superiore al 2°,particolari sistemi

La casa delle tavolette = la scuolaGli scribi costituivano una categoria dispecialisti di alto livello con competenzelinguistiche, matematiche e metrologicheErano potenti funzionari dello stato convarie specializzazioni.È documentata l’esistenza di scribi donneScribi, VIII sec. a.C.Scuole paleobabilonesi (1900-1500 a.C.):Nippur, Uruk, Ur, Mari, EblaMaterie di studio: lingua, grammatica e letteratura sumerica, matematiche,legislazione, musicaMetodo: copiare liste di parole (alberi, animali, oggetti, località, divinità,stelle,…), copiare vocabolari bilingui sumero-accadico, risolvere problemibasandosi su quelli risolti dal maestro [Sjöberg 1976]“Ricopiare testi modello costituiva una parte essenziale del programmadi studi delle scuole paleobabilonesi (1900-1500 a.C.). Molti testicontenevano elenchi e tabelle ... Eseguendo questi compiti diricopiatura, lo studente si esercitava nella scrittura cuneiforme e altempo stesso accumulava una piccola biblioteca personale di tavolette”[Friberg 1984]- testi didattici, dizionari bilingui- esercizi di scolari su piccoletavolette ovali che su un latoriportano lo scritto del maestroe dall’altro il “compito” dellostudente- testi letterari sulla scuola- testo d’esameFine III millennio a.C., Louvre

L’origine dei segni numerici e le“bullae” di argilla con gettoniBulla con gettoni, Susa,ca 3300 a.C., Louvre4 mucche70 montoniLe bullae molto probabilmenteservivano nelle transazionicommerciali. I gettoni contenutidescrivevano la merce inviata.Rompendo la bulla l’acquirentepoteva verificare se la mercecorrispondeva. Successivamente siiniziò ad imprimere sullasuperficiedella bulla i vari gettoniBassa Mesopotamia, 3100 a. C.1 10 60 600 3600 36000Passaggio dai gettoni ai simboli numericiAlcuni tipi di gettoni

Sistema di numerazione sumerico (2600 a. C.)Sistema di numerazione additivo, sessagesimalebasato sull’uso congiunto della base 60 e 10uomoEsisteva anche il termine šar-gal (= grande šar) per indicare216.000 (60 3 ), ma non il simboloColonna 160+10+10 = 80montoni60+60+10+10++10+10+6 = 166caprettiTavoletta sumerica, 2300 a. C.

La piùanticadivisione,2650 a. C.1 granaiod’orzo7 silàOgni uomoriceveI suoiuomini?36000 3600036000 360003600 3600 36003600 3600600 600 60600 600 6010 10 10 10 10 13 silà d’orzorimasti1 granaio d’orzo == 1152000 silà = 32×36000 silà 32×36000 : 7Il problema è il seguente:Il contenuto di un granaio d’orzo (32×36000 silà) è distribuitofra gli operai. Ciascuno riceve 7 silà e ne rimangono 3. Quantisono gli operai?Come ha trovato la soluzione lo scriba?Probabilmente con una serie di divisioni successive conopportune conversioni da un’unità a quellaimmediatamente inferiore. [Guitel 1963]32 × 36000resto 4 × 36000 pari a 40 × 3600resto 5 × 3600 pari a 30 × 600resto 2 × 600 pari a 20 × 60resto 6 × 60 pari a 36 × 10resto 1×10 pari a 10 × 1resto 374 × 360005 × 36004 × 6002 × 605×101La risposta è164571

Origine della base 60Teone di Alessandria (IV sec.), J. Wallis (1693):60 ha 12 divisori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60M. Cantor (1880): il numero dei giorni dell’anno arrotondato a 360 avrebbesuggerito la divisione del cerchio in 360 parti e il fatto che il latodell’esagono regolare inscritto è uguale al raggio avrebbe portato alla base 60G. Kewitsch (1904): 60 è la combinazione naturale di due sistemi più antichiuno in base 10 e uno in base 6O. Neugebauer (1927): il sistema metrologico è all’origine della base 60,infatti una grandezza di 60 unità può essere suddivisa senza difficoltà in diecimodi: in 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 parti ugualiConteggio sulle ditaCosì si arriva a 59 eil contare le decine sullaseconda mano spiegherebbela base ausiliaria 10Evoluzione della scritturaVerso il - 2500-2400 si assiste a un processo di astrazione che porta adutilizzare i due soli segni da cui il nome “cuneiforme”.La scrittura si ottiene per impressioneuccello3300 2600 2400 1800 a. C.pescespiga diorzo

Sistema di numerazione sessagesimaleposizionale babiloneseFa la sua comparsa nell’ambiente colto all’inizio del IImillennio a.C. come strumento per la matematica e poi (inepoca Seleucide) per l’astronomia matematica.I numeri da 1 a 59 sono scritti in modo additivo con la baseausiliaria 10, per i numeri superiori a 60 è utilizzato il principiodi posizione (il valore del simbolo dipende dal posto che occupa)Nel nostro sistema di numerazione decimale4818 = 4 × 1000 + 8 × 100 + 1×10 + 8 == 4 × 10= 1×603+ 8 × 104818 = 3600 + 1200 + 18 =2+ 20×60 + 182+ 1×101+ 8Nel sistema di numerazione sessagesimaleposizionale1 , 20 , 18 ; 0

1 , 20 , 18 ; 04818 604800 80 6018 60 1208 , 40 , 50 ; 031250 6031200 52050 480406088×60 2 + 40 ×60 + 50 = 28.800 + 2.400 + 50 = 31.250Manca lo zero sia in posizione mediale chefinale. Comparirà solo in epoca Seleucide10×6010×602520 +Testo V di Susa10×60 + 15 = 615235,60+ 10×60 + 5+ 10×60 + 5...Ci troviamo davanti a due tipi di ambiguità:- una derivante dalla mancanza dello zero- l’altra derivante dalla difficoltà di saperecome devono essere raggruppati i segni“Lo zero è la cifra più importante.È un colpo di genio fare di un nullaqualcosa, attribuendogli un nomee creando un simbolo per esso”[Van der Waerden 1954]

La tavola di moltiplicazione di un sistema dinumerazione in base n ha (n-1) 2 prodotti1 2 3 4 5 6 7 8 92 4 6 8 10 12 14 16 183 6 9 12 15 18 21 24 274 8 12 16 20 24 28 32 365 10 15 20 25 30 35 40 456 12 18 24 30 36 42 48 547 14 21 28 35 42 49 56 638 16 24 32 40 48 56 64 729 18 27 36 45 54 63 72 81La tavola di moltiplicazionedel sistema in base 60 comporta3481 prodotti.In realtà i matematici Babilonesi non costruirono sistematicamentetutte queste tavole, ma ne costruirono altre …FronteRetro50 × 25 = 1250 == 20 × 60+ 5010 × 25 = 250 == 4 × 60+ 10Tavola dimoltiplicazioneper 25 (ca 1600a.C.) [TMS, 35]Ci sono pervenute numerose tavole di moltiplicazione, di quadrati(n a-rán), di radici quadrate (n 2 -e n íb-si 8 ), di radici cubiche (n 3 -en ba-si 8 ), di somme di quadrati e di cubi, di inversi (igi n gál-bi1/n), ...

La divisioneLa divisione viene effettuata moltiplicando il dividendoper l’inverso del divisore.1 30=2 601 20=3 601 10=6 600;300;200;101602 1= 2×3 35 1= 5×6 60;10;400;50L’inverso di ogni numero regolare, cioè contenentecioè solo i fattori 2, 3, 5 ( i fattori primi di 60) èesprimibile con una frazione sessagesimale finita1 : 80 0, 1251082016404000,125 = 125/1000 = 1/80;7,30 =1 : 80 0; 7, 301 → 60564 → 240240076030+ =260760+1120=15120=18

116=160×1660=15460=124+6034=360+360×460×60=360+45602→ 0;3,45Le frazioni sessagesimali sono poste sullo stesso pianodegli interi.Questo è notevole se si pensa che il sistema di numerazioneindiano (che diviene il nostro) concerneva solo l’espressionedegli interi e si passò assai tardi alla nozione di frazionidecimali che cominciarono a diffondersi in Europa solo allafine del ‘500 [S. Stevin, De Thiende, 1585]Gli inversi dei numeri irregolari come 7, 11, 13, …danno luogo a frazioni sessagesimali infiniteperiodicheNella più antica tavola di inversi (1800 a.C. circa) ci sono gli inversidei numeri da 2 a 60.Quando si tratta di calcolare gli inversi di 7, 11, 13, …59 lo scribascrive che tali numeri non hanno inverso.In YBC 10529 (Yale) c’è il calcolo approssimato degli inversidi numeri irregolari, per es. 1/59 0;1,1,1 [MCT, 16]

1 : 70 0, 142857…107302820146056403550491…1 → 60 : 756 0; 8, 34, 17,...4 → 2402382 → 1201191 → 60…..Tabella di inversi di numeri compresi fra 1 e 3[MKT, I, 14-22]Louvre AO 6456 Igi 3 gál-bi 20

Approssimazione di2, circa 1800 a.C.YBC 7289MCT,42-43Sul lato del quadrato è scritto 30 e sulla diagonale sonosegnati i numeri 1; 24, 51, 10 e 42; 25, 35.La diagonale è ottenuta così: 42; 25, 35 = 30 × 1; 24, 51, 102×30 242; 25, 35 = 30 × 1; 24, 51, 10ABCAC = 30 230 21; 24, 51, 10 = 1, 414213approssimazione molto buona di2Questa tavoletta da sola non dimostra che i Babilonesiconoscessero il “teorema di Pitagora” nella sua generalità,ma esistono altre tavolette in cui questo teorema vieneusato in modo palese [p. e. MCT,142]

Plimpton 322 (1800 a.C., MCT, 38-39)La tavoletta mostra un elenco ordinato di numeri relativi a 15 terne pitagoriche,2 2 2cioè terne di numeri interi che soddisfano la relazione a + b = c2 2La I colonna della tavoletta presenta i valori corrispondenti al rapporto b amentre la II e la III i valori di b e di c, rispettivamente. L’ultima colonna indicainvece semplicemente i numeri d’ordine, da 1 a 15, delle terne.22a + b = c2Numerid’ordinec b a72 2 +65 2 =5184+4225= 9409=97 2È possibile che iBabilonesiconoscesseroil meccanismodi formazione dellaterne pitagoriche :a = 2uvb = uc = u22− v+ v22u e vu > vinteriEuclide, Elementi, X,28.1

Tavoletta AO 6484 (epoca Seleucide)Somma dei quadrati dei naturalida 1 a 10 (MKT, I, 99)“Quadrati da 1 volte 1 fino a 10 volte 10, 100Qual è il numero?Tu moltiplichi 1 per 1/3, trovi 1/3Tu moltiplichi 10 per 2/3, trovi 20/3.1/3 + 20/3, trovi 7.Tu moltiplichi 7 per 55, trovi 385.Il numero è 385”.⎛ 1 2 ⎞⎜1×+ 10 × ⎟ × 55 = 7 × 55 = 385⎝ 3 3 ⎠⎛ 1 2n⎞ n(n + 1)⎜ + ⎟ ×n = 10⎝ 3 3 ⎠ 22 2 2 2 1S = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)(2n+ 1)65n = 5234Lurje 19481111n = 554321 cubetto unitario4 cubetti unitari9 cubetti unitari16 cubetti unitari25 cubetti unitariLa somma dei cubettiunitari del solido ascalini rappresenta lasomma dei quadratidei numeri da 1 a 5.Assemblando tre di questisolidi ottengo unparallelepipedo di dimensioni5× (5+1) × 5 più una scalaformata da (1+2+3+4+5)cubetti unitari.n(n + 1)3S= n(n + 1) n + =2n(n + 1)= (2n+ 1)2nn+1n

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